2023学年广东省佛山市禅城区四校联考中考三模数学试题

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2023年初三模拟考试数学满分为120分，考试时间90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列实数中，最小的数为（    ）A.  B. 1 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先根据负指数幂进行计算，再根据实数的大小比较法则比较数的大小，即可得到答案．【详解】解：，，故选：A．【点睛】本题考查了实数的大小比较，负指数幂，熟练掌握：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2. 如图，，，则的度数是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可直接得到答案．【详解】∵，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．3. 当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段.下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，车标图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．4. 下列各式中，正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加法、乘法、除法逐项判断即可解答．【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式的加法、乘法、除法等知识点，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到点的坐标是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】把点的横坐标加2，纵坐标不变，据此即可解答．【详解】解：点向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为．故选：B．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律“左右横,上下纵,正加负减”是解答本题的关键．6. 如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ）A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】【分析】由直线公理可直接得出答案．【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．故选：B．【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．7. 如图是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当指针停止转动时，指针落在红色区域的概率是（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】用红色区域的圆心角除以周角度数即可．【详解】解：转动转盘，当指针停止转动时，指针落在红色区域的概率是，故选：D．【点睛】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．8. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（    ）  A. 3 B. 6 C. 9 D. 18【答案】D【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．【详解】解：以点为位似中心，作四边形的位似图形，，，四边形的面积是2，四边形的面积是18，故选：D．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确得出面积比是解决此题的关键．9. 如图，在中，，按如下步骤作图．第一步：作的平分线交于点；第二步：作的垂直平分线，交于点，交于点；第三步：连接．则下列结论正确的是（    ）        A.  B. 平分 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】如图，由角平分线和垂直平分线的性质可得，进而得到，最后运用平行线的判定定理即可说明B选项正确．【详解】解：如图：  ∵是的角平分，是的中垂线，∴，，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、垂直平分线的性质以及平行线的判定，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．10. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ）A. 当时， B. I与R的函数关系式是C. 当时， D. 当时，I的取值范围是【答案】D【解析】【分析】设I与R的函数关系式是，利用待定系数法求出，然后求出当时， ，再由，得到随增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．【详解】解：设I与R的函数关系式是，∵该图象经过点，∴，∴，∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意；当时， ，∵，∴随增大而减小，∴当时，，当时，，当时，I的取值范围是，故A、C不符合题意，D符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11. 若实数，满足，则_________．【答案】【解析】【分析】根据非负数的性质列出算式求出，的值，代入计算即可得到答案．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．12. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？__________．（填“可能”或“不可能”）【答案】不可能【解析】【分析】先求出方程的解，再根据三角形三边关系定理判断即可得到答案．【详解】解：，，或，即三边为6、11、20，，不符合三角形三边关系定理，这个三角形的第三边的长不可能是20，故答案为：不可能．【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出一元二次方程的解是解此题的关键．13. 化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷，丁烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“”的个数是_________．  【答案】16【解析】【分析】根据题目中的图形，可以发现“”的个数的变化特点，然后即可写出第7个庚烷分子结构式中“”的个数．详解】解：由图可得：甲烷分子结构中“”的个数是：，乙烷分子结构中“”的个数是：，丙烷分子结构中“”的个数是：，……庚烷分子结构中“”的个数是：，故答案为：16．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现“”的个数的变化特点．14. 如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，依次连接、、、得到四边形是__________．【答案】平行四边形【解析】【分析】根据中位线性质和平行四边形的判定条件，即可解答；【详解】解：、分别是、的中点，、分别是、的中点，，且，且，四边形为平行四边形，故答案为：平行四边形．【点睛】本题考查了中位线的性质，平行四边形的判定，能判断出是的中位线，是的中位线是解题的关键．15. 如图，是一根cm的绳子，一端拴在柱子（点A）上，另一端（点）拴着一只羊，为一道围墙，cm，cm，，则羊最大的活动区域的面积是__________．（结果保留）【答案】【解析】【分析】羊最大的活动区域的面积是一个扇形+一个小扇形的面积．详解】解：如图所示：大扇形的圆心角是90度，半径是3，∴面积，小扇形圆心角是，半径是1，∴面积，则羊最大的活动区域的面积是，故答案为：．【点睛】本题关键是从图中找出小羊的活动区域是由哪几个图形组成的．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16. 求不等式组的解集，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．【答案】不等式组的解集为，图见解析【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，即可得到解集，在数轴上画出解集即可．【详解】解：，解不等式①可得：，，，，，解不等式②可得：，，，，不等式组的解集为，在数轴上表示为：．【点睛】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，是解题的关键．17. 在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，调查统计了部分学生一周的课外阅读时长（单位：小时），整理数据后绘制出如下的统计图①和图②．  请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的学生人数为__________，图①中的值为__________；（2）求统计的这部分学生一周课外阅读时长的平均数、众数和中位数．【答案】（1）20；30    （2）统计的这部分学生一周课外阅读时长的平均数、众数和中位数分别为8，9，8【解析】【分析】（1）用条形统计图中的数据除以扇形统计图中对应的占比，即可得到总人数；再用学生一周的课外阅读时长为9小时的人数除以总人数，即可得到m的值；（2）按照平均数，众数和中位数的概念，依次求出即可．【小问1详解】解：本次接受调查的人数为（人）；根据条形统计图，学生一周的课外阅读时长为9小时的人数为6人，故学生一周的课外阅读时长为9小时的人数占比为，，故答案为：20；30【小问2详解】解：，观察条形统计图，9出出现的次数最多，故众数为9；将这组数据从小到大排列，其中位于中间的两个数都是8，故中位数为8，统计的这部分学生一周课外阅读时长的平均数、众数和中位数分别为8，9，8．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，平均数，众数，中位数的概念，熟知相关概念是解题的关键．18. 按下列程序计算，把答案填写在表格内，并回答下列问题：输入x32-2…输出答案11  …（1）根据上述计算你发现了什么规律？（2）你能说明你发现的规律是正确的吗？【答案】（1）输入除0以外的数，输出结果都为1；（2）见解析【解析】【分析】（1）输入-2时，输出结果为1，输入时，输出结果为1，即可得；（2）结合题意可将程序表示：，进行计算即可得．【详解】解：（1）输入-2时，输出结果为1，输入时，输出结果为1，故可得规律：输入除0以外的数，输出结果都为1；（2）结合题意可将程序表示为：，，所以发现的规律是正确的．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序和运算法则．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19. 佛山奇龙大桥犹如一架巨大的竖琴，横跨于东平水道上，是禅城区的“东大门”，大桥采用独塔斜拉桥结构，全长395米，已知主塔垂直于桥面于点，其中两条斜拉索、与桥面的夹角分别为和，两固定点、之间的距离约为，求主塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，）【答案】【解析】【分析】在中，利用正切的定义求出，然后根据得出，列方程求出即可解答．【详解】解：∵，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴，∴m，∴m．答：主塔的高度约为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键．20. 某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图（1）所示，成本y2与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）（1）分别求出y1、y2的函数关系式（不写自变量取值范围）；（2）通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？【答案】（1）y1＝;y2＝x2﹣4x+13；（2）5月出售每千克收益最大，最大为．【解析】【分析】（1）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1和y2的解析式；（2）由收益W=y1-y2列出W与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值．【详解】解：（1）设y1＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，，解得．∴y1＝﹣x+7．设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝．∴y2＝（x﹣6）2+1，即y2＝x2﹣4x+13．（2）收益W＝y1﹣y2，＝﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）＝﹣（x﹣5）2+，∵a＝﹣＜0，∴当x＝5时，W最大值＝．故5月出售每千克收益最大，最大为元．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值常用的方法21. 如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E为边BC上一点，连接DE．给出下列信息：①AB＝BC；②∠DEC=90°；③DE是⊙O的切线．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若CD=5，CE=4，求⊙O的直径．【答案】（1）①和②，③，真命题，证明见解析；（答案不唯一）    （2）【解析】【分析】（1）选择①和②为条件，③为结论，连接OD，由等边对等角可得出∠A＝∠C，∠A＝∠ODA，即可推出∠C＝∠ODA，从而可证明，再根据平行线的性质和∠DEC=90°，可证明∠ODE=∠DEC=90°，即，说明DE是⊙O的切线；（2）连接BD，由直径所对圆周角为直角得出．再结合等腰三角形三线合一的性质可得出AD=CD=5．又易证，即得出，代入数据即可求出AB的长．【小问1详解】解：选择①和②为条件，③为结论，且该命题为真命题．证明：如图，连接OD，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．∵OA=OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠C＝∠ODA，∴．∵∠DEC=90°，∴∠ODE=∠DEC=90°，即，∴DE是⊙O的切线．故答案为：①和②，③；（答案不唯一）【小问2详解】解：如图，连接BD，∵AB为直径，    ∴，即．∵AB=BC，∴AD=CD=5．在和中，∴，∴，即，∴．故圆O的直径为．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理以及三角形相似的判定和性质．解题的关键是连接常用的辅助线．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”，例如、、都是“不动点”，已知双曲线．（1）求双曲线上的“不动点”；（2）若抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”．①当时，求的取值范围；②如果，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围．【答案】（1）双曲线上的“不动点”为和；    （2）①；②【解析】【分析】（1）根据定义设“不动点”为，即可求解；（2）①设抛物线（、为常数）上的“不动点”为，根据抛物线上有且只有一个“不动点”，列不等式求解；②根据题意先求出抛物线解析式和直线，设直线r在直线下方且到直线的距离为m，直线交直线于点A，交直线r于点C，可得即可求出答案．【小问1详解】解：设双曲线上的“不动点”为，则，解得：，，∴双曲线上的“不动点”为和；【小问2详解】解：①设抛物线（、为常数）上的“不动点”为，则，∵抛物线上有且只有一个“不动点”，∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得：，∵，∴，∴；②当时，则，解得：，∴抛物线为，由（1）得：双曲线在第一象限上的“不动点”为，∴直线即直线，∵，∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，设直线r在直线下方且到直线的距离为m，直线交直线于点A，交直线r于点C，∴，，∴，设直线t与直线r关于直线l对称,∵当点C在点B上方时，抛物线上四个点到l的距离为m，∴；【点睛】本题考查反比例函数图像与性质、二次函数的图像与性质、新定义问题的求解等，综合性强、难度大．23. 如图1，在矩形中，，，点在线段上运动，设，现将纸片折叠，使点与点重合，得折痕（点为折痕与或的交点，点为折痕与或的交点），再将纸片还原．  （1）①当时，折痕的长为__________；②当__________时，点与点重合．（2）当点与点重合时，在图2中画出四边形，求证：四边形为菱形，并求出菱形的周长；（3）如图3，若点在边上，点在边上，线段与相交于点；连接，，用含的代数式表示四边形的面积．【答案】（1）①5；②3    （2）证明见解析，周长为    （3）【解析】【分析】（1）①当时，折痕的长正好等于矩形的长为5；②当点与点重合时，画出符合要求的图形，根据折叠的性质即可得到答案；（2）由由折叠的性质可得：，由矩形的性质可得，从而得到，则，从而得到，即可得证，设，则，，在中，，解方程即可得到答案；（3）作，交于，在中，，由勾股定理可得，，则，通过证明，可得，即，可得，最后由即可得到答案．【小问1详解】解：①折叠纸片，使点与点重合，得折痕，当时，点与点重合，即为重合，重合，，故答案为：5；②当点与点重合时，如图所示：  由折叠的性质可得：，当时，点与点重合，故答案为：3；【小问2详解】证明：根据题意画出图如图所示：，由折叠性质可得：，四边形为矩形，，，，，四边形为菱形，设，则，，在中，，，解得：，菱形的周长为；【小问3详解】解：如图所示，作，交于，，则四边形为矩形，，由折叠的性质可得：，设，则，在中，，即，解得：，，，，，，，，即，，．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练在掌握折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．