备战2022-2023学年重庆高一（下）学期期末数学仿真卷（二）

这是一份备战2022-2023学年重庆高一（下）学期期末数学仿真卷（二），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题(共20分，解答题等内容，欢迎下载使用。

备战2022-2023学年重庆高一（下）学期期末数学仿真卷（二）
一、单选题(共40分)
1．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一校考期末）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）
A． B． C． D．
2．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一校考期末）命题“，”的否定是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
3．(本题5分)（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：
169  966  151  525  271  937  592  408  569  683
471  257  333  027  554  488  730  863  537  039
据此估计的值为（    ）
A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75
4．(本题5分)（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）在正四棱台中， ，则该四棱台的体积为（    ）
A． B． C． D．
5．(本题5分)（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．

6．(本题5分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）边长为2的正六边形ABCDEF中，M为边CD上的动点，则的最小值为（    ）
A． B．6 C．4 D．
7．(本题5分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
8．(本题5分)（2021春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
二、多选题(共20分)
9．(本题5分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知向量，其中，下列说法正确的是（    ）
A．若，则；
B．若与夹角为锐角，则；
C．若，则在方向上投影向量为；
D．若，则



10．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知平面向量，，则下列说法正确的有（    ）
A． B．
C．向量在上的投影向量为 D．向量与的夹角为
11．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ）
A．
B．若，且的面积为，则的最小边长为2
C．若时，是唯一的，则
D．若时，周长的范围为
12．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）若复数z在复平面对应的点为Z，则下来说法正确的有（    ）
A．若，则Z在复平面内的轨迹为圆
B．若，则Z在复平面内的轨迹为椭圆
C．不可能存在复数z同时满足和
D．若，则的取值范围为[8，10]
三、填空题(共20分
13．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）设复数z满足（其中是虚数单位），则___________.
14．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）已知向量，，若，则实数a＝___．
15．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）已知长方体的顶点都在球O的表面上，且，则球O的表面积为___．
16．(本题5分)（2021春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在等腰梯形中，，，是腰上的动点，则的最小值为______________.
四、解答题(共70分)
17．(本题10分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）已知向量，满足，，且与的夹角为．
(1)求；
(2)若与相互垂直，求实数的值．




18．(本题12分)（2022春·重庆长寿·高一统考期末）某校为了了解学生一周内在生活方面的支出情况，从全校4000人中抽取一个容量为200的样本，样本中学生的生活方面的支出费用介于100元到180元之间．将抽样结果按如下方式分组：第一组，第二组，第三组，第四组．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．

(1)求这200个样本中分布在区间内的人数；
(2)估计这200名学生一周内在生活方面支出费用的平均值；
(3)用样本估计总体，从本校中任抽2名学生，求2人至少有一人一周在生活方面的支出费用为内的概率．





19．(本题12分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为线段的中点，为正方形对角线的交点．

(1)求证：面；
(2)求三棱锥的体积．




20．(本题12分)（2022春·重庆长寿·高一统考期末）某商场搞活动，只要购物达到300元以上的消费者就可以参加一次抽奖活动，抽奖活动有两种游戏供消费者选择．两种游戏规则如下：

游戏1
游戏2
袋子中球的数量和颜色
2个红球和2个白球
3个红球和1个白球
取球规则
依次不放回取2个球
获奖规则
两个球同色获奖；否则，无奖．
(1)游戏2中依次取出2个球一共有多少种结果，并用适当的符号表示这些结果；
(2)如果你是消费者你会选择哪一种抽奖游戏，说明你的理由．





21．(本题12分)（2022春·重庆长寿·高一统考期末）如图，正四棱锥中．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若，求二面角的余弦值．






22．(本题12分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）如图，在平面四边形ABCD中，.

(1)若，求线段AC的长：
(2)求线段AC长的最大值．


备战2022-2023学年重庆高一（下）学期期末数学仿真卷（二）
一、单选题(共40分)
1．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一校考期末）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复数的除法运算求解即可.
【详解】由题意得，
所以.
故选：D.
2．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一校考期末）命题“，”的否定是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】利用特称命题的否定为全称命题即得.
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：D.
3．(本题5分)（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：
169  966  151  525  271  937  592  408  569  683
471  257  333  027  554  488  730  863  537  039
据此估计的值为（    ）
A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75
【答案】B
【分析】由20组随机数中找出至少2次击中目标的包含的随机数的组数，即可求概率的值.
【详解】20组随机数中至少2次击中目标的包含的随机数为：
151  525  271   592  408  471  257  333  027  554  730   537  039
一个有组，
所以其3次射击至少2次击中目标的概率，
故选：B.
4．(本题5分)（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）在正四棱台中， ，则该四棱台的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出轴截面，过点作，结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可.
【详解】解：作出轴截面如图所示，过点作，垂足为，
因为正四棱台中，
所以，，，即梯形为等腰梯形，
所以，，
所以，该四棱台的体积为
故选：B.

5．(本题5分)（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意，画出示意图，在三角形OAB中利用正弦定理即求解.
【详解】解：如图所示，，由正弦定理可得，即，化简得，

故选：A.
6．(本题5分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）边长为2的正六边形ABCDEF中，M为边CD上的动点，则的最小值为（    ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】A
【分析】建立坐标系，利用平面向量的坐标运算结合二次函数的性质求解即可
【详解】如图：以正六边形的中心为原点，所在直线为轴，
的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
，
因为M为边CD上的动点，
所以，即，
解得
所以，
令，
则结合二次函数的性质可知，
故选：A.

7．(本题5分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的几何体，利用面面平行的性质结合平面的基本事实，探讨截面形状确定F点的位置，推理计算作答.
【详解】在正方体中，平面平面，而平面，平面，
平面平面，则平面与平面的交线过点B，且与直线EF平行，与直线相交，令交点为G，如图，

而平面，平面，即分别为与平面所成的角，
而，则，且有，
当F与C重合时，平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，，即G为棱中点M，
当点F由点C向点D移动过程中，逐渐增大，点G由M向点方向移动，
当点G为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形，
当点G在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点，
而点F与D不重合，此时，平面与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图，

因此，F为棱CD上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段（除点M外）上，即,
显然，，则，
所以线段的CF的取值范围是.
故选：D
【点睛】关键点睛：作过正方体三条中点的截面，找到过三点的平面与正方体表面的交线是解决问题的关键.
8．(本题5分)（2021春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】向量法. 以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，根据各点的坐标写出向量，点，对于点的设法，采用向量式，而后利用异面直线所成的角的向量计算公式列方程求解.
【详解】如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，

则，
设，设，
则，
，
异面直线PQ与AD成的角，
，
，
，
即，解得，
，
可得.
故选：C.
二、多选题(共20分)
9．(本题5分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知向量，其中，下列说法正确的是（    ）
A．若，则；
B．若与夹角为锐角，则；
C．若，则在方向上投影向量为；
D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据向量垂直的坐标表示直接求解可判断A；注意向量同向不满足题意可判断B；根据投影向量的定义直接求解，可判断C；根据性质可知与同向，然后可判断D.
【详解】若，则，解得，A正确；
若与夹角为锐角，则，解得，又当，，此时，与夹角为0，故B错误；
若，则，因为在方向上投影为，与同向的单位向量为，所以在方向上投影向量为，C正确；
若，则与同向，由上可知，此时，D正确.
故选：ACD.
10．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知平面向量，，则下列说法正确的有（    ）
A． B．
C．向量在上的投影向量为 D．向量与的夹角为
【答案】BCD
【分析】根据向量的模的坐标公式即可判断A；
根据根据数量积的坐标运算即可判断B；
根据，向量在上的投影向量为，即可判断C；
根据向量夹角的计算公式即可判断D.
【详解】解：对于A，，则，故A错；
对于B，，则，故B正确；
对于C，向量在上的投影向量为，故C正确；
对于D,，
又，
所以向量与的夹角为，故D正确.
故选：BCD.
11．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ）
A．
B．若，且的面积为，则的最小边长为2
C．若时，是唯一的，则
D．若时，周长的范围为
【答案】ABD
【分析】根据题干已知等式，利用正弦定理、三角和差公式可解得，再根据各个选项的条件逐一求解即可.
【详解】对于选项A：已知等式利用正弦定理化简得：
，整理得： ，即。
，则，故A选项正确；
对于选项B：因为，且的面积为，则由正弦定理得，而又，解得，所以，而，由余弦定理得：,则，所以三角形中边长为最小边，，故B选项正确；
对于选项C：当时，而又，由正弦定理，即，唯一，
，故C选项错误;
对于选项D：
，






，
则有 即，而，
所以周长 的范围为，故D选项正确.
故选：ABD.
12．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）若复数z在复平面对应的点为Z，则下来说法正确的有（    ）
A．若，则Z在复平面内的轨迹为圆
B．若，则Z在复平面内的轨迹为椭圆
C．不可能存在复数z同时满足和
D．若，则的取值范围为[8，10]
【答案】AD
【分析】设，根据题中的条件得到相应的轨迹，再分析、判断、计算可求解.
【详解】对于A，设，则有，可知Z在复平面内的轨迹为圆，故A正确；
对于B，设且，所以，
所以在复平面内的轨迹是以和为端点的线段，故B不正确；
对于C，设且，所以，
所以在复平面内的轨迹是以和为焦点，长轴为的椭圆，其方程为，若，则有，两者联立，有解，，所以存在复数z同时满足和，故C不正确；
对于D，设，若，则有，令


则，（）
令，可得，
所以，于是得，故D正确.
故选：AD.
三、填空题(共20分
13．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）设复数z满足（其中是虚数单位），则___________.
【答案】
【分析】利用复数的运算法则及其模的定义即可求解.
【详解】由已知条件得
，
则.
故答案为：.
14．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）已知向量，，若，则实数a＝___．
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示可得答案.
【详解】因为，所以，
即
所以，解得，
故答案为：.
15．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）已知长方体的顶点都在球O的表面上，且，则球O的表面积为___．
【答案】
【分析】由题意可得长方体外接球的直径为长方体的体对角线，所以根据已知条件求出体对角线的长，从而可求出球的直径，进而可求出球的表面积
【详解】在长方体中，因为，所以．
因为为球O的一条直径，所以球O的半径，
所以球O的表面积为．
故答案为：.
16．(本题5分)（2021春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在等腰梯形中，，，是腰上的动点，则的最小值为______________.
【答案】
【分析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出，即可求出．
【详解】解：以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，

因为，过点作交于点，所以，
所以，即，
所以，，设，其中，
，，
，
，
当时，取最小值．
故答案为：．
四、解答题(共70分)
17．(本题10分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）已知向量，满足，，且与的夹角为．
(1)求；
(2)若与相互垂直，求实数的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据数量积的定义求出，再根据结合数量积的运算律即可得解；
（2）由与相互垂直，可得，再根据数量积的运算律即可得解.
(1)解：因为，，且与的夹角为，
所以，
则；
(2)解：因为与相互垂直，
所以，
即，
即，解得.
18．(本题12分)（2022春·重庆长寿·高一统考期末）某校为了了解学生一周内在生活方面的支出情况，从全校4000人中抽取一个容量为200的样本，样本中学生的生活方面的支出费用介于100元到180元之间．将抽样结果按如下方式分组：第一组，第二组，第三组，第四组．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．

(1)求这200个样本中分布在区间内的人数；
(2)估计这200名学生一周内在生活方面支出费用的平均值；
(3)用样本估计总体，从本校中任抽2名学生，求2人至少有一人一周在生活方面的支出费用为内的概率．
【答案】(1)60；(2)147.2；(3)0.51
【分析】（1）利用题给条件即可直接求得这200个样本中分布在区间内的人数；
（2）利用频率分布直方图即可直接求得这200名学生一周内在生活方面支出费用的平均值的估计值；
（3）利用对立事件的概率去求从本校中任抽2名学生， 2人至少有一人一周在生活方面的支出费用为内的概率．
(1)这200个样本中分布在区间内的人数：
(2)样本中学生一周的消费的平均数为：

(3)样本中学生一周消费在区间内的频率为0.3，
用样本估计总体，则本校中一周生活消费在区间内的概率为0.3．
则从本校中任抽2人一周生活消费至少有一人在区间内的概率为：
.
19．(本题12分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为线段的中点，为正方形对角线的交点．

(1)求证：面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）证明，由线面平行的判定定理可得到证明；
（2）由即可求得答案.
（1）为正方形对角线的交点，即为的中点，为线段的中点，在中为中位线，
可得，面，面，
由线面平行的判定定理可得面；
（2）为等边三角形，且边长为2，可得,
因为棱柱为正棱柱，则面，


20．(本题12分)（2022春·重庆长寿·高一统考期末）某商场搞活动，只要购物达到300元以上的消费者就可以参加一次抽奖活动，抽奖活动有两种游戏供消费者选择．两种游戏规则如下：

游戏1
游戏2
袋子中球的数量和颜色
2个红球和2个白球
3个红球和1个白球
取球规则
依次不放回取2个球
获奖规则
两个球同色获奖；否则，无奖．
(1)游戏2中依次取出2个球一共有多少种结果，并用适当的符号表示这些结果；
(2)如果你是消费者你会选择哪一种抽奖游戏，说明你的理由．
【答案】(1)，，，，，，，，，，，共12个结果；(2)选择游戏2抽奖获奖的概率大些，理由见解析
【分析】（1）设游戏2中3个红球为，，，白球为b，利用列举法即可得出答案；
（2）利用古典概型分别求出选择两游戏的概率，从而可得出结论.
(1)解：设游戏2中3个红球为，，，白球为b，则依次取出2个球结果如下：
，，，，，，，，，，，共12个结果；
(2)解：游戏1获奖的概率为：，
游戏2获奖的概率为：，
由知，选择游戏2抽奖获奖的概率大些.
21．(本题12分)（2022春·重庆长寿·高一统考期末）如图，正四棱锥中．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）先证明线面垂直，再利用面面垂直判定定理证明平面PAC⊥平面PBD；
（2）先作出二面角的平面角，再去求其余弦值即可．
【详解】（1）设点O是AC与BD的交点，连接PO，

则由正四棱锥得：AC⊥BD且PO⊥面ABCD
又∵面ABCD，∴PO⊥BD，又∵，
∴BD⊥面PAC，又∵面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD
（2）过点O作OE⊥PC交PC于点E，连接BE，

由（1）知BD⊥平面PAC，平面PAC，
∴BD⊥PC，又∵OE⊥PC，且
∴PC⊥平面BOE，又∵平面BOE，∴PC⊥BE
则ÐBEO是二面角B-PC-A的平面角．
设，，则
在Rt△POC中，，，得，
在Rt△BOE中，∴
故二面角的余弦值为．
22．(本题12分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）如图，在平面四边形ABCD中，.

(1)若，求线段AC的长：
(2)求线段AC长的最大值．
【答案】(1)；(2)6
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出BD，再利用余弦定理计算作答.
（2）设，在中用余弦定理求出BD，用正弦定理表示出，再在中，利用余弦定理列式求解作答.
【详解】（1）在中，，，由余弦定理得：
，即，解得，
在中，，由余弦定理得：，
所以.
（2）设，
在中，由余弦定理得：，
由正弦定理得：，，
在中，由余弦定理得：
，
当且仅当，即时取“=”，此时，
所以当时，线段AC长取最大值6.
【点睛】方法点睛：三角形中已知两边及一边对角求第三边，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解.