北师大版八年级数学下册 第5章分式与分式方程章末复习 导学案
展开分式与分式方程章末复习
一､知识结构:
请你绘出本章知识网络图:
二､知识回顾:
1.认识分式
⑴分式的定义:如果A､B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母｡对于任意一个分式,______________都不能为零｡
注意事项
①分式与整式最本质的区别:分式的字母必须含有字母,即未知数;分子可含字母可不含字母｡
②分式有意义的条件:分母不为零,即分母中的代数式的值不能为零｡
③分式的值为零的条件:分子为零且分母不为零
⑵分式的基本性质:
用式子表示：
注意:①利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形,不改变分式值的大小,只改变形式｡
②应用基本性质时,要注意C≠0,以及隐含的B≠0｡
③注意“都”,分子分母要同时乘以或除以,避免只乘或只除以分子或分母的部分项,或避免出现分子､分母乘除的不是同一个整式的错误｡
分式的符号法则
分式的分子､分母与分式本身的符号,改变其中任何两个分式的值不变｡
注:分子与分母变号时,是指整个分子或分母同时变号,而不是指改变分子或分母中的部分项的符号.
考点对接
1.在代数式､､､､､a+中,分式的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2. 当分式的值为0时,x的值为( )
A.0 B.3 C.-3 D.±3
3.分式中,当x=-a时,下列说法正确的是( )
A.分式的值为0 B.分式无意义
C.当a≠-时,分式的值为0 D.当a≠时,分式的值为0
4.不改变分式的值把各式的分子与分母的系数化成整数:
5.约分:
6.已知分式的值为正整数,求a的值.
7.已知:求分式
2.分式的乘除
⑴两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的___________,分母相乘的积作为积的__________;两个分式相除,把除式的分子､分母__________后再与被除式相乘.
即: ____________________,____________________
⑵分式乘方:把分子､分母分别乘方.
即: ____________________
逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.
⑶最简分式: 分子与分母没有公因式的分式,叫做__________.
⑷分式的约分:利用分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分｡
考点对接
1.化简÷的结果是( )
A. B. C. D.2(x+1)
2.计算a3·()2的结果是( )
A.a B.a5 C.a6 D.a8
3. 化简:x÷·=( )
A.xy B. C. D.1
4.计算:·= .
5.计算:÷·(-)= .
6.化简:(x2-9)·÷(x+3)= .
7.计算:
÷·
8. 已知a2+10a+25=-|b-3|,求代数式的值.
3.分式的加减
(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子___________________；
上述法则用式子表示是: ___________________
(2)异号分母的分式相加减,先______________,化为_____________的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算;
上述法则用式子表示是: ______________________________________
分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式化成同分母的分式,这一过程称为分式的通分｡
最简公分母:最简单的公分母简称最简公分母｡
考点对接
1.化简-等于( )
A. B. C.- D.-
2.化简(+)+(-)·ab,其结果是( )
A. B. C. D.
3.化简-=_________.
4.若x2-6x+9与|y-2|互为相反数,则+的值为_________.
5.阅读下面题目的计算过程:
-=- ①
=x-3-2x+2 ②
=-x-1. ③
(1)上面计算过程从哪一步开始出现错误?请写出该步骤的代号 ;
(2)错误原因是 ;
(3)本题的正确结论是 .
6.先化简,再求值:(-)÷,其中a=3.
7.已知(x-3)2与2|y-2|互为相反数,试求++的值.
8.计算:--;
4.分式方程:_______________________________的方程叫做分式方程｡
⑴分式方程的解法:
注:解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时, _________________________,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根｡
⑵分式方程检验方法:将整式方程的解带入__________________,如果______________的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解(增根)｡
⑶列分式方程解应用题:
步骤:
考点对接
1.下列属于分式方程的是( )
A.- B.+=0 C.(x-1)=x D.-x=1
2.关于x的方程=2+无解,则m的值为( )
A.-5 B.-8 C.-2 D.5
3.分式方程=1的解为( )
A.x=-1 B.x= C.x=1 D.x=2
4.解分式方程+=,分以下四步,其中错误的一步是( )
A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程,得x=1
D.原方程的解为x=1
5.若关于x的方程=有增根,则m的值为( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
6.甲､乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作.甲队单独工作2天完成总量的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了1天,总量全部完成.那么乙队单独完成总量需要( )
A.6天 B.4天 C.3天 D.2天
7.炎炎夏日,甲安装队为A小区安装66台空调,乙安装队为B小区安装60台空调,两队同时开工且恰好同时完工,甲队比乙队每天多安装2台.设乙队每天安装x台,根据题意,下面所列方程中正确的是( )
A. B. C. D.
8. 解分式方程:
+=.
9.关于方程无解,求a的值.
10.某书店老板去图书批发市场购买某种图书.第一次用1200元购书若干本,并按该书定价7元出售,很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次提高了20%,他用1500元所购该书数量比第一次多10本.当按定价售出200本时,出现滞销,便以定价的4折售完剩余的书.试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其它因素)?若赔钱,赔多少?若赚钱,赚多少?
随堂检测
1.要使分式有意义,则x 的取值范围是( )
A.?x>2 B.?x<2 C.?x≠-2 D.?x≠2
2. 分式的值为零,则x 的值为( )
A.?-1 B.?0 C.?±1 D.?1
3.关于x 的分式方程的解是正数,则字母m 的取值范围是( )
A.?m>3 B.?m<3 C.?m>-3 D.?m<-3
4. 分式,的最简公分母是( )
A.?(a²-2ab+b²)(a²-b²)(a²+2ab+b²)
B.?(a+b) ² (a-b) ²
C.?(a+b)² (a-b)² (a²-b²)
D.?a4-b4
5. 对于任意实数x,分式总有意义,则m 的值应满足( )
A.?m>4 B.?m<4 C.?m=4 D.?m≥4
6. 已知,则M ､N 的值分别为( )
A.?2,1 B.?-2,-1 C.?1,2 D.?-1,-2
7. 已知x 是整数,若要使分式的值为整数,则x 的取值有( )
A.?1个 B?2.个 C.?3个 D.?4个
8. 若两个分式的和等于它们的积,则实数x 的值为( )
A.?-6 B. 6 C.?-5 D.?5
9. 小刚借了一本书,共280页,要在两周借期内读完,当他读了一半时,发现平均每天要多读21页才能在借期内读完,他读前一半时,平均每天读了多少页? 如果设读前一半时,平均每天读x 页,则下列方程中,正确的是( )
A.? B.? C.? D.
10. 化简: =_________ .
11. 若分式中x､y 值都扩大2倍,则分式的值 .
12. 若分式方程有增根,则增根是 .
13. 已知a²-5a+1=0,则a²+= .
14. 若关于x 的方程无解,则a 的值是 .
15. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产 台机器.
16. 计算:
17.先化简,再求值:,其中.
18. 甲､乙两火车站相距1280千米,采用“和谐”号动车组提速后,列车行驶速度是原来速度的3.2倍,从甲站到乙站的时间缩短了11小时,求列车提速后的速度.
四､课堂小结
核心必知
1.分式的概念和分式有意义的条件;
2.分式的基本性质;
3.分式的运算包括乘方､乘除､加减运算,乘除关键在约分,加减关键在通分,运算结果一定是最简形式;
4.解分式方程关键是利用等式的基本性质,将方程两边同乘以最简公分母,将分式方程化成整式方程,解完整式方程一定要检验,若最简公分母为0,则该根是增根｡
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获,并记录下来:
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
本章知识网络图:
1.认识分式
分母
⑵分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变｡
用式子表示
考点对接
1. B ,2. B ,3. D
4.解(1)分子分母同乘60,得
(2)分子分母同乘12,得
5.解:
6.解:∵4-a≠0
要使分式的值为正整数,
则2-a=1或2-a=2或2-a=4,
∴a=1或a=0或a=-2
又∵a=-2时,分式无意义,a=-2舍去.
因此a的值为1或0.
7.解:∵y≠0,因此y²≠0,
2.分式的乘除
⑴两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除,把除式的分子､分母颠倒位置后再与被除式相乘.
即: ,
⑵分式乘方:把分子､分母分别乘方.
即:
逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.
⑶最简分式: 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.
考点对接
1-3.AAB
4.
5. -
6. x+3
7.= ½.
8.解: ∵a2+10a+25=-|b-3|,∴a2+10a+25+|b-3|=0,即(a+5)2+|b-3|=0.∴(a+5)2=0且|b-3|=0.解得a=-5,b=3.
当a=-5,b=3
∴原式===-.
3.分式的加减
(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;
上述法则用式子表示是:
(2)异号分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算;
上述法则用式子表示是:
考点对接
1.B 2.B
3.
4.
5.(1) ②
(2) 丢了分母
(3) -
6.
当a=3时,原式=2.
7.解:根据题意,得:(x-3)2+2|y-2|=0,
∴x=3,y=2,
原式=
=
=
=.
8.解:原式=+-
=
=
=.
4.分式方程:分母中含未知数的方程叫做分式方程｡
⑴分式方程的解法:
①能化简的先化简；
②方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程；
③解整式方程；
④验根.
注:解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根｡
⑵分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解(增根)｡
⑶列分式方程解应用题:步骤:①审题;②设未知数列方程,③解方程;④检验⑤写出答案.
检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验｡
考点对接
1-7 .DADCADD
8. 解:去分母得:x-1+x+1=4,
解得:x=2,
经检验x=2是分式方程的解.
9.解：去分母得： -2+（ -1）= 2（ +1） ，
整理，得： （ +1） =3 +4，
当+1=0时，即时，0 =1，此时分式方程无解
当+10时， .
当=1，即时， 此时分式方程无解
当=2，即时， 此时分式方程无解
的值为-1或或-2
10.解:设第一次购书的进价为x元,则第二次购书的进价为(x+1)元.根据题意得:
解得:x=5, 经检验x=5是原方程的解
所以第一次购书为1200/5=240(本).第二次购书为240+10=250(本)
第一次赚钱为240×(7-5)=280(元)
第二次赚钱为200×(7-5×1.2)+50×(7×0.4-5×1.2)=40(元)
所以两次共赚钱480+40=520(元)
答:该老板两次售书总体上是赚钱了,共赚了520元.
随堂检测
1. D
2. D
3. D
4. B
5. A
6. B
7. D
8. A
9. D
10.
11. 不变 .
12. x=2 .
13. 23 .
14.2或1 .
15. 200
16. 解:
=0
17.解:
=a²-2a,
把a=代入得,
原式=
=
18. 解:设列车提速前的速度为千米/时,则提速后的速度为3.2x千米/时,根据题意,得.
解这个方程,得x=80.
经检验,x=80是所列方程的根.
∴80×3.2=256(千米/时).
答:列车提速后的速度为256千米/时.
