北师大版八年级数学下册 第1章三角形的证明 章末复习 导学案（含答案）

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三角形的证明 章末复习一、知识结构：请你绘出本章知识网络图：      二、知识回顾：1.全等三角形判定、性质：  判定：____________________________________________________. 性质：________________________________________________.考点对接1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线， AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．          2. 已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．        2.等腰三角形的性质与判定⑴等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边___________；(定义)  定理：等腰三角形的两个底角___________（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形____________________________________________互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都___________，并且每一个角都等于___________°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；  ⑵等腰三角形的判定  ⑴有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 ⑶反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法.  考点对接1.已知一个等腰三角形两边长之比为,周长为18,则这个等腰三角形底边长为(    )A.2    B.  6   C.8   D.2或82. 关于等边三角形的说法:(1)等边三角形有三条对称轴;(2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形;(3)有两个角等于的三角形是等边三角形;(4)等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等.其中正确的说法有(     )A.1个   B. 2个  C.3个   D.4个3.如图，在等边∆ABC中，AD=BE，BD、CE交于点P，CF⊥BD于F，若PF=3cm，则CP=____cm。4.如图,在∆ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线, BE⊥AC于点E.求证: ∠CBE=∠BAD.        5.如图所示,在∆ABC中, ∠ABC=2∠C,AD为BC边上的高,延长AB到E点,使BE=BD,过点D,E引直线交AC于点F,则有AF=FC,为什么?          3.直角三角形⑴直角三角形的性质直角三角形的________________；直角三角形两条直角边的平方和等于________________； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于________________； 在直角三角形中，斜边上的中线等于________________。 ⑵直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；⑶互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 考点对接1.如图所示, ∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定RT∆ABC与RT∆ABD全等.
以下给出的条件适合的是(     )A.AC=AD      B.AB=AB      C. ∠ABC=∠ABD      D. ∠BAC=∠BAD2. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　    　）A.∠C=∠A+∠B  B.a：b：c=3：4：5  C.∠C=∠A-∠B  D.∠A：∠B：∠C=3：4：53.如图,已知在∆ABC中,AB=AC, 分别过B、C向过A的直线作垂线,垂足分别为E、F，且AE=CF.(1)如图①过A的直线与斜边BC不相交时,求证:AB⊥AC;(2)如图②过A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=6,CF=3,求:BC长.          4.线段的垂直平分线、角平分线⑴线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_________；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到______________的距离相等。（外心）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的______________上。  ⑵角平分线。  性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离________。  三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到______________的距离相等。（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在____________________上。 考点对接1.如图，在RT ∆ABC中，∠C=90°，点D为AB边的中点，DE⊥AB，并与AC交于点E，如果∠A=15°，BC=1，那么AC等于（     ）A.1    B.     C.     D. 2. 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E．若BD=8，则CE=　      　． 3. 如图，已知在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线OB、OC相交于O．若∠BOC=140°,则∠A的度数为       .4.如图, ∆ABC中, ∠BAC=110°,DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线,E、G分别为垂足.(1)求∠DAF的度数;(2)如果BC=10,求∆DAF的周长.       随堂检测1. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,AE∥BD 交CB 的延长线于点E.若∠E=35°,则∠BAC 的度数为(   )A?40° B?45° C?60° D?70°2.如图,在四边形ABCD 中,AB=CD,BA 和CD 的延长线交于点E,若点P 使得S△PAB =S△PCD ,则满足此条件的点P (   )A.有且只有1个B.有且只有2个C.组成∠E 的角平分线D.组成∠E 的角平分线所在的直线和E点处三角形BCE 外角平分线所在的直线(E点除外) 3.如图,△ABC 中,BD 平分∠ABC,BC 的中垂线交BC 于点E,交BD 于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF 的度数为(    )A?48°   B?36°   C?30°    D?24°4.如图,直线l上有三个正方形a､b､c,若a､c 的面积分别为5和11,则b 的面积为(    )A?4     B?6      C?16       D?555.下列四个命题的逆命题是假命题的是(    )A? 线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等B? 角的平分线上的点到角的两边距离相等C? 全等三角形的对应角相等D? 若a²=b²,则|a|=|b|6. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB､AC 于点M 和N ,再分别以M ､N 为圆心,大于½ MN 的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP 并延长交BC 于点D ,则下列说法正确的个数是(    )①AD 是∠BAC 的平分线 ②∠ADC=60° ③点D 在AB 的中垂线上 ④S△DAC ∶S△ABC =1∶3A.?1个   B.?2个   C.?3个D.?4个7. 如图,在△ABC 中,AB =AC,D､E 是△ABC 内两点,AD 平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,则BC 的长度是(   )A?6 B?8 C?9 D?108. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 是△ABC 的角平分线,DC=3,则点D 到AB 的距离是     .9. 如图,△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线交边AB 于D 点,交边AC 于E 点,若△ABC 与△EBC 的周长分别是40cm､24cm,则AB=      cm.10.如图,∠ABC=∠DCB,需要添加一个直接条件才能使△ABC≌△DCB.甲､乙､丙､丁四位同学添加的条件分别是:甲“AB=DC”;乙“AC=DB”;丙“∠A=∠D”;丁“∠ACB=∠DBC”.那么添加错误的同学是     .11. 用反证法证明命题“在△ABC 中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C”的过程中,第一步应是假设       .12.如图,∠BOC=9°,点A 在OB 上,且OA=1.按下列要求画图:以A 为圆心,1为半径向右画弧交OC 于点A₁,得第1条线段AA₁;再以A₁ 为圆心,1为半径向右画弧交OB 于点A₂,得第2条线段A₁ A₂;再以A₂ 为圆心,1为半径向右画弧交OC 于点A₃,得第3条线段A₂ A₃;这样画下去,直到得第n 条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n=     .13. (开放题)如图,∠OBC=∠OCB,∠AOB=∠AOC,请你写一个用全部已知条件才能推出的结论,并证明你的结论.       14.如图,在△ABC 中,BE 平分∠ABC,AD ⊥BE 于点D .求证:∠BAD=∠DAC+∠C.       15.如图1,在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点,点E 在AD 上.(1)求证:BE=CE;(2)如图2,若BE 的延长线交AC 于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:△AEF≌△BCF.        16. (1)如图1,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A ,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D､E.证明:DE=BD+CE.(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC 中,AB=AC,D､A､E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD +CE 是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展与应用:如图3,D､E 是D ､A､E 三点所在直线m 上的两动点(D､A､E 三点互不重合),点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形,连接BD､CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF 的形状.             四、课堂小结1.等腰三角形的性质与判定；2.直角三角形的性质与判定；3.含30°的直角三角形的性质；4.与线段垂直平分线有关定理；5.与角平分线有关定理；6.互为逆命题、互为逆定理，反证法.通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：我的收获__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案本章知识网络图：1.全等三角形判定、性质：  判定：(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形）性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.考点对接1. 证明：延长AE交CD于F， ∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形        ∴AB＝BC，BD＝BE        在△ABE和△CBD中AB=BC，∠ABE=∠CBD，BE=BD∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2 又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等） ∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD2. 证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB+∠DAB=∠CAD+∠DAB，即∠DAE=∠CAB；在△ACB和△ADE中，∵∠DAE＝∠CAB，∠E＝∠B，DE＝CB，∴△ACB≌△ADE（AAS），∴AD=AC（全等三角形的对应边相等）．2.等腰三角形的性质与判定⑴等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义)  定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。考点对接1. A2. D3. 64. 证明: ∵AB=AC，∴∆ABC是等腰三角形，又∵AD是边BC上的中线，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC（三线合一），∴∠BAD=∠CAD.在RT∆ADC中，∠CAD+∠C=90°,在RT∆BCE中，∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=∠CAD=∠BAD。5. 解: ∵BE=BD，∴∠E=∠BDE，∴∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E，∴∠C=∠E=∠BDE，而∠BDE=∠FDC，∴∠FDC=∠C，∴FD=FC∵AD是高，∴∠ADF+∠FDC=90°，而∠C+∠DAC=90°, ∠FDC=∠C,∴∠ADF=∠DAC,∴AF=FD，∴AF=FC.3.直角三角形⑴直角三角形的性质两锐角互余斜边的平方斜边的一半斜边的一半考点对接1. A2. D3. (1)证明: ∵BE⊥EA,CF⊥AF,∠BEA=∠CFE=90°在RT∆BEA和RT∆AFC中，AB=AC，AE=CF，∴RT∆BEA≌RT∆AFC（HL），∴EAB=∠ACF，又∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠EAB+∠CAF=90°∴∠BAC=180°-90°=90°，∴AB⊥AC（2）由（1）可证RT∆BEA≌RT∆AFC，∴EA=FC=3，AF=BE=6，∴RT ∆ABE中，AB=，BC==4.线段的垂直平分线、角平分线⑴线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；  三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。  ⑵角平分线。  性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。  三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 考点对接1. C2. 43. 70°4. 解:(1)设∠B=x, ∠C=y.∵∠BAC+∠B+∠C=180° ,∴110°+∠B+∠C=180°, ∴x+y=70°∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G,∴DA=BD,FA=FC,∴∠EAD=∠B , ∠FAC=∠C.∴∠DAF=∠BAC—（x+y）=110°-70°=40° . (2) ∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G,∴DA=BD,FA=FC,∴∆DAF 的周长为:AD+DFAF=BD+DF+FC=BC=10，因此，∆DAF 的周长为10. 随堂检测1. A 2. D 3. A  4. C 5. C 6. D 7. B 8. 3 .9. 16.10. 乙 .11.∠B=∠C .12. 9 .13. 解:结论:AB=AC.证明:∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC.又∵∠AOB=∠AOC,OA=OA,∴△AOB≌△AOC.∴AB=AC.(答案不唯一,还可以证明AO⊥BC,AO 是∠BAC 的平分线等)14.证明:延长AD 交BC 于点F.∵BE 平分∠ABC,∴∠ABD=∠FBD,又∵AD⊥BE,∴∠ADB=∠FDB=90°.又BD=BD,∴△ABD≌△FBD(ASA),∴∠BAD=∠BFD.在△AFC 中,∠BFD=∠DAC+∠C,∴∠BAD=∠DAC+∠C.15.证明:(1)∵AB=AC,D 是BC 的中点,∴AD 垂直平分BC,∴BE=CE;(2)∵∠BAC=45°,∠AFB=90°,∴∠ABF=∠BAC=45°,∴AF=BF,又∵BF⊥AC,AD⊥BC,∴∠DAC=∠FBC,∠AFE=∠BFC=90°,∴△AEF≌△BCF(ASA)16. 解:(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠ABD=∠CAE.又AB=AC,∴△ADB≌△CEA,∴BD=AE,AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE.(2)成立.∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,∴∠DBA=∠CAE.∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC,∴△ADB≌△CEA,∴BD=AE,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE.(3)由(2)知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA=∠CAE,∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形,∴BF=AF,∠ABF=∠CAF=60°,∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,∴∠DBF=∠FAE.∴△DBF≌△EAF(SAS),∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,∴△DEF 为等边三角形.