备战2022-2023学年广东高一（下）学期期末数学仿真卷（一）

备战2022-2023学年广东高一（下）学期期末数学仿真卷（一）

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（5分）已知集合，，，则　　

A． B．， C．，1， D．，3，

【答案】

【详解】集合，，，，则．

故选：．

2．（5分）在中，“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】

【详解】①在中，当时，则或，充分性不成立，

②当时，则，必要性成立，

是的必要不充分条件，

故选：．

3．（5分）已知复数，，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是　　

A． 

B．复数在复平面内对应的点在第一象限 

C． 

D．

【答案】

【详解】为纯虚数，

，解得，故错误，

，，

复数在复平面内对应的点在第二象限，故错误，

，故正确，

，故错误．

故选：．

4．（5分）在空间中，下列说法正确的是　　

A．垂直于同一直线的两条直线平行 

B．垂直于同一直线的两条直线垂直 

C．平行于同一平面的两条直线平行 

D．垂直于同一平面的两条直线平行

【答案】

【详解】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，、不正确；

平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，不正确；

根据线面垂直的性质可知：正确；

故选：．

5．（5分）有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，

基本事件总数，

至少有1名女生包含的基本事件个数．

至少有1名女生的概率为．

故选：．

6．（5分）如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】由题意可得：，，，，

，

故选：．

7．（5分）已知实数，，且，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，

，

即，

函数在上单调递增，

，

即，

故排除选项、；

，

，

即，

函数在上单调递增，

，

又，

，

即，

故，

故选：．

8．（5分）如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是　　

A．与是异面直线 

B．异面直线与所成角的大小为 

C．由、、三点确定的平面截球所得的截面面积为 

D．球面上的点到底座底面的最大距离为

【答案】

【详解】取，中点，，连接，，，，，，如图，

因为正三角形，则，而平面平面，平面平面，平面，

于是得平面，同理平面，即，，

因此，四边形是平行四边形，有，则直线与在同一平面内，故不正确；

由选项，同理可得，则异面直线与所成角等于直线与所成角，故不正确；

由选项知，，同理可得，正外接圆半径，

由、、三点确定的平面截球所得的截面圆是的外接圆，此截面面积为，故正确；

体积为的球半径，由得，由选项知，球心到平面的距离，

由选项，同理可得点到平面的距离为，即平面与平面的距离为，

所以球面上的点到底座底面的最大距离为，故不正确．

故选：．

二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（5分）设复数，则下列命题中正确的是　　

A．的虚部是 

B． 

C．复平面内与分别对应的两点之间的距离为1 

D．

【答案】

【详解】，

，

故的虚部是，

故选项错误；

，，

，

即选项正确；

复平面内与分别对应的两点之间的距离为，

故选项错误；

，

故选项正确；

故选：．

10．（5分）广东某高校为传承粤语文化，举办了主题为“粤唱粤美好”的校园粤语歌手比赛在比赛中，由，两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是　　

A．组打分的众数为47 

B．组打分的中位数为75 

C．组的意见相对一致 

D．组打分的均值小于组打分的均值

【答案】

【详解】由折线图可知，小组打分的分值为：42，47，45，46，50，47，50，47，则小组打分的分值的众数为47，故选项正确；

小组打分的分值按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75中间数为66，故中位数为66，故选项错误；

小组的打分成绩比较均匀，波动更小，故小组意见相对一致，故选项正确；

小组的打分分值的均值，而小组的打分分值的均值，

所以小组打分的分值的均值大于小组打分的分值的均值，故选项错误．

故选：．

11．（5分）在正方体中，是的中点，点在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是　　

A．当为棱中点时， 

B．当为棱中点时，与平面所成角为 

C．有且仅有三个点，使得平面 

D．有且仅有四个点，使得与所成角为

【答案】

【详解】对于，平面，平面，且，

当为棱中点时，与异面，故错误；

对于，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，

，2，，，0，，，1，，

设，，为平面的法向量，

则，取，得，0，，

记与平面所成角为，

则，

，，，故正确；

对于，记中点为，中点为，连接，，，，

由正方体性质得，，

又，，平面，平面，

平面平面，

当点为中点或中点或与重合时满足题意，故正确；

对于，如图，，，，与的夹角都是，

当与，，，之一平行时，满足题意，

即为，，，中点时，满足题意，故正确．

故选：．

12．（5分）设函数，已知在，上有且仅有4个零点，则　　

A．的取值范围是 

B．的图象与直线在上的交点恰有2个 

C．的图象与直线在上的交点恰有2个 

D．在上单调递减

【答案】

【详解】当，时，，，因为在，上有且仅有4个零点，

所以，解得，故正确；

又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，

且，则在上，出现两次最大值，

此时函数的大致图象如图示：

即在上两次出现最大值1，即取0，时，取最大值，

故的图象与直线在上的交点恰有2个，故正确；

由于当时，，，，

当时，取最小值，由于是否取到不确定，

故的图象与直线在上的交点可能是1个或2个，故错误；

当时，，

因为，所以，，

故的值不一定小于，

所以在上不一定单调递减．

故选：．

三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）某机构组织填写关于环境保护的知识答卷，从中抽取了7份试卷，成绩分别为68，83，81，81，86，90，88，则这7份试卷成绩的第80百分位数为 　　．

【答案】88

【详解】这组数据为68，81，81，83，86，88，90，

因为，所以这7份试卷成绩的第80百分位数为88．

故答案为：88．

14．（5分）若一个平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，，则原图的面积为 　　．

【答案】

【详解】根据题意，直观图△是一个等腰直角三角形，，

则其面积，

故原图的面积，

故答案为：．

15．（5分）已知是方程的一个根，则　　．

【答案】

【详解】将代入方程，有，

即，即，

由复数相等的充要条件，得，解得，，

故．

故答案为：．

16．（5分）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形的边长为2，是正八边形所在平面内的一点，则的最小值为 　　．

【答案】

【详解】如图所示，以该正八边形的中心为原点，过与平行的直线为轴，如图建立平面直角坐标系，

再设，分别为，的中点，易知，，再设，

而

，（当且仅当取等号），

故所求的最小值为：．

故答案为：．

四．解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知复数是虚数单位）是方程的根，其中，是实数．

（1）求和的值；

（2）若是纯虚数，求实数的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）是虚数单位）是方程的根，

也是方程的根，

，解得．

（2）由（1）可得，，

是纯虚数，

，解得．

18．（12分）某校组织高一年级1000名学生参加了跳绳比赛活动，以每个学生的跳绳个数作为最终比赛成绩．现从中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩，，，，，，，，，，，分组进行统计，得到比赛成绩的频数分布表，记比赛成绩大于或等于160的为“优秀”．

（1）估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数；

（2）从样本比赛成绩在，和，的学生中随机抽取2人，求两人比赛成绩都为“优秀”的概率

【答案】（1）360人；（2）两人比赛成绩都为优秀的概率为

【详解】（1）由频数分布表可知，样本比赛成绩大于或等于160的学生有人，所以估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为人；

（2）设“两人比赛成绩都为‘优秀’”为事件，

记比赛成绩在，的学生为1，2，比赛成绩在，的学生为1，2，3，

则从这5个学生中随机抽取2人的样本空间1，，1，，1，，1，，2，，2，，2，，1，，1，，2，，

1，，1，，2，，

所以，由古典概型得；

综上，估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为360，两人比赛成绩都为优秀的概率为．

19．（12分）如图，在四边形中，，，，且．

（1）用，表示；

（2）点在线段上，且，求与的夹角的余弦值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）；

（2），，

，，

，

，．

，．

20．（12分）已知函数的部分图像如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图像向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图像，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的范围．

【答案】（1）；（2），

【详解】（1）由已知函数的部分图象得，

解得，

；

（2）由题意可知，，

在区间上有两个不同的实数解，

则直线与函数有两个不同的交点，

令，

则对称轴为，

，

当，符合题意，即两个交点关于对称，

，，

的取值范围为，．

21．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，是边上一点．

（1）求的值；

（2）若．

①求证：平分；

②求面积的最大值及此时的长．

【答案】（1）3；（2）①见解析；②

【详解】（1）因为，，

所以，

所以的值为3；

（2）①证明：因为，所以，

由知，，，

设，，，

在中，由正弦定理得，，

即，所以，

在中，由正弦定理得，，

即，所以，

所以，即，所以平分，

②在中，因为，，

由余弦定理得，，

而的面积；

由得，

所以，

所以当即时，面积最大为3，

此时在中，，，，

所以由余弦定理求得，

，

在中，由余弦定理得，

所以此时．

22．（12分）如图，在正四棱锥中，，、分别为、的中点，平面与棱的交点为．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；

（3）求点的位置．

【答案】（1）；（2）（3）点的位置为线段靠近的三等分点

【详解】（1）连接，，相交于点，

因为四边形是正方形，所以是正方形的中心，连接，

因为四棱锥是正四棱锥，则底面，连接，

因为为的中点，所以是的中位线，所以，

（或补角）即为异面直线与所成角的大小，

因为正四棱锥中，，所以是等边三角形，

所以，由勾股定理得：，所以，

因为，为的中点，所以，

在中，由余弦定理得：，

所以异面直线与所成角的大小为．

（2）连接，与相交于点，则为，的中点，

因为分别为的中点，所以是三角形的中位线，所以，

因为平面，平面，所以平面，

设平面与平面相交于直线，故，连接，

则因为，所以，又因为，

故即为平面与平面所成锐二面角，其中，，

所以，故，

即平面与平面所成锐二面角的大小为．

（3）延长，则由两平面相交的性质可得一定过点，

过点作交于点，因为底面，所以底面，

设，则，由第二问知：，

所以，即，解得：，

故，所以点的位置为线段靠近的三等分点．