2023年河南省鹤壁市中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省鹤壁市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，国道京港线鹤壁境改线新建工程建设用地经国务院批准，该项目预算总投资亿元该数据亿元可用科学记数法表示为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

3.  年月，党的二十大报告热词双语说逐渐更新，第期提到了“中国式现代化”，将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图所示是它的一种展开图，则在原正方体中，与“国”字所在面相对面上的汉字是(    )

A. 式 B. 现 C. 代 D. 化

4.  如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示：

关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是(    )

A. 中位数是 B. 平均数是 C. 众数是 D. 方差是

7.  关于的一元二次方程实数根的情况，下列判断正确的是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 有一个实数根

8.  九章算术是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：仅有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海现野鸭从南海，大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过天相遇，根据题意可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的边的中点在坐标原点上，，，轴，将菱形绕原点逆时针旋转，点的对应点为点，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图所示，点、是上两定点，圆上一动点从圆上一定点出发，沿逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是图是随变化的关系图象，则图中的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  有四张完全一样正面分别写有数字，，，的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是______ ．

12.  若图象从左到右呈上升趋势且经过，请写出一个符合条件的函数解析式______ ．

13.  如图，在直角坐标系中，的顶点与原点重合，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，与轴平行，若，则          ．
 

14.  如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，在矩形中，，，连接，点，分别是边，上的动点，连接，将沿折叠，使点的对应点始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为______或______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间单位：分钟按照完成时间分成五组：组“”，组“”，组“”，组“”，组“”将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
在扇形统计图中，组的圆心角是______度，本次调查数据的中位数落在______组内；
若该校有名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．

 

18.  本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．

求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
根据函数图象，直接写出不等式的解集；
若点是点关于原点的对称点，连结、，求的面积．

19.  本小题分
我市淇县古灵山景区山顶屹立着一座耀遥灵塔，又名无量塔，是铜顶的镇山之宝小明要测量无量塔的高度，如图所示，小明在点处测得无量塔最高点的仰角，再沿正对无量塔方向前进至处，此时测得最高点的仰角，求无量塔的高度注：结果精确到，参考数据：，，

20.  本小题分
如图，已知为上一点，点在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点，且．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求的半径．

21.  本小题分
某市电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表用元可购进真丝衬衣件和真丝围巾件利润售价进价

求真丝衬衣进价的值．
若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的倍如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？

22.  本小题分
如图所示，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中点的坐标为，对称轴为直线．
求抛物线的解析式及顶点坐标；
当直线经过点时，结合图象直接写出不等式的解集；
已知点，，连接，若抛物线向下平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．

23.  本小题分
点为正方形的边上的一个动点，，如图，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．
患考探索
如图，将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为．
点在以点为圆心，______的长为半径的圆上；
______；
拓展延伸
当时，正方形沿过点的直线不过点折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上，连接．
面积的最大值为______；
点为的中点，点在上，连接，若、求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是，
故选：．
根据相反数的意义，即可解答．
本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：在原正方体中，与“国”字所在面相对面上的汉字是代，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．
先根据平行线的性质求得的度数，再根据角的和差关系求得结果．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形角和差计算，关键是利用平行线的性质求得．
 

5.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：将这户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此选项A不符合题意；
这组数据的平均数为吨，因此选项B不符合题意；
这组数据出现次数最多的是，共出现次，所以用水量的众数是，因此选项C符合题意；
这组数据的方差为，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可．
本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：设经过天相遇，根据题意得：，
故选：．
设总路程为，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程大雁的路程总路程即可得出答案．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，点为菱形中边的中点，
，
，
，
，
由旋转的性质可知，，
在中，，，
，
点的坐标为，
故选：．
由菱形的性质求出，由旋转的性质得出，由直角三角形的性质求出及的长，可求出，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可得，当时，，即此时、、共线，
则圆得半径为，
当时，，
此时，
，
，
为等腰直角三角形，，
当时，点运动到点，如图，

则点走过的角度为，
点走过的弧长为，
点的运动速度为，
当时，，如图，
此时，为等边三角形，
，
点走过的角度为，
点走过的弧长为，
．
故选：．
由图可得，当时，，即此时、、共线，则圆得半径为，当时，，由勾股定理的逆定理可得，进而得到当时，点走过的角度为，算出走过的弧长为，点的运动速度为，当时，，此时为等边三角形，点走过的角度为，算出走过的弧长为，最后利用时间的路程速度即可求出．
本题考查了动点问题的函数图象、等边三角形的判定、勾股定理的应用、弧长的计算，理解函数图象中的点在不同时刻所代表的实际意义是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之积分别为：，，，，，，，，，，，，
其中抽取的两张卡片上的数字之积为负数的结果有种，
抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字之积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据题意可知：可以是的一次函数且随的增大而增大，且经过点，
故符合题意的函数解析式可以是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
根据一次函数的性质，写出一个即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定系数法，能根据已知求出点的坐标．
由点的坐标为求出，又，与轴平行，可得，用待定系数法即得答案．
【解答】
解：点的坐标为，，
，
，
与轴平行，
，
把代入得：，
解得，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：连接，，，

由旋转知，，
，，
，
，
，
即为等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
连接，，，推出是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，圆周角定理，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】  

【解析】解：如图中，当时，四边形是正方形，设．

，
，
，
，
；
如图中，当时，点与重合，设，

，，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
分两种情形：如图中，当时，四边形是正方形，设如图中，当时，点与重合，设分别求解即可．
本题考查矩形的性质，解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：


；




． 

【解析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂和算术平方根计算即可；
先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】，
补全的条形统计图如图所示：











；；
人，
答：估计该校每天完成书面作业不超过分钟的学生有人． 

【解析】解：这次调查的样本容量是：，
组的人数为：人，
故答案为：；
在扇形统计图中，组的圆心角是：，
本次调查了个数据，第个数据和个数据都在组，
中位数落在组，
故答案为：；；
见答案．

根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以计算出组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：反比例函数的图象过点，，
，，
解得，，
，，
一次函数的图象过点和点，
，
解得，
一次函数的表达式为，
描点作图如下：

由中的图象可得，
不等式的解集为：或；
由题意作图如下：

由图知中边上的高为，，
． 

【解析】根据反比例函数解析式求出点和点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
根据图象直接得出不等式的解集即可；
根据对称求出点坐标，根据点、点和点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可．
本题主要考查反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，三角形面积公式等知识是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意得：，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
无量塔的高度约为． 

【解析】根据题意可得：，，设，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：结论：是的切线；
理由：如图，连接．
，，
，，
是的切线，是半径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
设，
，
，
，
，
的半径为． 

【解析】结论：是的切线；只要证明即可；
设，根据，构建方程求解即可；
本题考查作切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：依题意得：，
解得：．
答：的值为．
设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，
依题意得：，
解得：．
设两种商品全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进真丝衬衣件，真丝围巾件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：由题意得：；

当直线过点时，直线的表达式为：，
该直线恰好过点，
观察函数图象知，不等式的解集为：或；

由抛物线的表达式知，其顶点坐标为：，
则抛物线向下平移个单位时，抛物线和有一个交点，即；
当时，，当时，，
当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有个交点，

当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有个交点，之后再没有交点，
故，
综上，或． 

【解析】由待定系数法即可求解；
观察函数图象即可求解；
抛物线向下平移个单位时，抛物线和有一个交点，即；当时，，当时，，当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有个交点，之后再没有交点，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图形的平移等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

23.【答案】    

【解析】解：由折叠的性质知，，，，，
由题意得，点在以点为圆心，的长为半径的圆上；
；
故答案为：；；
，
，，
点在以点为圆心，的长为半径的圆上，如图，

面积的最大时，只要边上的高最大即可，
当时，面积的最大，
面积，
故答案为：；
，
，
是的中点，
是的中位线，如图，

，
即，
、、三点共线时，取得最小值为，
则，
即的最小值为：．
由折叠的性质知，点在以点为圆心，的长为半径的圆上，由折叠的性质得出，，，，进而求解；
面积的最大时，只要边上的高最大即可，故当时，面积的最大，进而求解；
证明是的中位线，故E、、三点共线时，取得最小值为，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．