2023年河南省商丘市柘城县中考数学三模试卷（含解析）

2023年河南省商丘市柘城县中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  榫卯是我国古代建筑、家具广泛应用的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图所示就是一组榫卯构件若将号构件按图所示方式摆放，则该构件的主视图是(    )

 

A.  B.
C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在中，，，分别为，的中点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  阅读下面的推理过程：

其中开始出错的推理步骤是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某餐饮店在两个外卖平台的评分及评价人数占比如表：

则该餐饮店在两个外卖平台的平均评分为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某校在“植树节”期间，带领学生开展了植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树设甲班每小时植棵树，依题意，可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，一条细线的一端固定，另一端悬挂着一个小球，我们把点称为平衡位置，把小球拉开一个小角度至处，放开小球后，理想状态下，小球将沿着左右往返摆动，，两点为摆动过程中的最高点往返摆动一次的时间称为周期我们规定小球在平衡位置左侧到平衡位置的水平距离记为一个正数，小球在平衡位置右侧到平衡位置的水平距离记为一个负数通过记录相关数据，描绘了小球到平衡位置的水平距离关于时间的函数图象，如图所示，则下列说法中，不正确的是(    )

 

A. 小球摆动一个周期需要  B. 当 时，小球在最高点处
C. 当 时，小球处在下降过程中 D. 当 时，小球在平衡位置处

10.  如图，在平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴正半轴上，以，为边构造矩形，点的坐标为，，分别为，的中点，将沿折叠，点的对应点恰好落在上，则点的坐标为(    )

A.  ，  B.   C.   D.  

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  在平面直角坐标系中，请你写出一个位于第二象限的点的坐标______．

12.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．

13.  圆周率是无限不循环小数历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究某校进行校园文化建设，拟从以上位数学家的画像中随机选用幅，恰好选中祖冲之和刘徽的画像的概率为______ ．

14.  如图，在扇形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，若，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，正方形与等边三角形的顶点重合，，，是的中点，将绕顶点旋转，在旋转过程中，当时，点到点的距离为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．
解不等式组并把解集在数轴上表示出来．

 

17.  本小题分
自古以来，中国人就提倡孝老爱亲，倡导老吾老以及人之老、幼吾幼以及人之幼我国老龄化问题逐渐凸显，让老年人老有所养、老有所依、老有所乐、老有所安，关系着社会的和谐稳定某校为引导学生关注社会问题关爱老年人，开展了“当地老年人生活状况调查”的综合实践活动，形成如下的调查报告：

请根据以上调查报告，解答下列问题：
：本次调查中选择““的人数为______ ；
将条形统计图补充完整，本次调查中，老年人年龄的中位数为______ ；
请你根据调查结果，对如何提高老年人养老生活质量提出一条建议．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象相交于，两点．
求反比例函数的解析式及点的坐标．
结合图象，直接写出的解集．
过点作直线轴，过点作直线于点，点是直线上一点，若为等腰三角形，求点的坐标．

19.  本小题分
凤台寺塔是新郑古代八景之一，位于新郑市区南有水河南岸凤台寺建于宋大观三年，距今近千年，其中只有凤台寺塔尚存，被列为河南省重点文物保护单位某校九年级数学兴趣小组以“测量凤台寺塔的高度”为课题展开了综合实践活动如图，在处用测角仪测得凤台寺塔顶端的仰角为，沿方向前进到达处，再次测得凤台寺塔顶端的仰角为，已知测角仪的高度为，测量点，与凤台寺塔的底部在同一水平线上．

求凤台寺塔的高度结果精确到参考数据：，，
“景点简介”显示，凤台寺塔的高度为请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

20.  本小题分
抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文化遗产之一为弘扬传统文化，某校将抖空竹列入了体育课程在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳，分别与空竹相切于点，，且，连接左右两个绳柄，，经过圆心，交于点，．

求证：．
若，，求两个绳柄之间的距离．

21.  本小题分
春节结束后，为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式．
甲：按照次数收费，门票每人每次元；
乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次按五折优惠．
设某人一年内去动物园的次数为，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．
根据图中信息，解答下列问题．
分别求出选择甲、乙两种购票方式时，关于的函数表达式；
购买一张动物园年卡的费用为______ 元；
洋洋准备利用本学期的周末去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数与轴正半轴的交点坐标是，对称轴为直线．
求抛物线的解析式．
点，均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将，两点之间的部分包括，两点记为图象，设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为．
当，两点的纵坐标相等时，求的值；
当时，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
综合与实践．
在一节数学活动课上，老师带领学生探索怎么用无刻度的直尺和圆规作一条线段的三等分点、下面是小明给出的一种作图方法：
步骤一：如图，已知线段，在上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；
步骤二：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线；
步骤三：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在上方交于点，在下方交于点，作直线交于点，交射线于点，连接；
步骤四：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，则点为线段的一个三等分点．

请根据上述作图过程，完成下列任务：
写出图中的一个角：______ ；
请根据小明的作图步骤证明点是线段的一个三等分点；
请用无刻度的直尺和圆规在图中作出线段的另外一个三等分点，记为点不写作法，保留作图痕迹
如图，在中，，，交于点，点是上一动点，将沿折叠得到，记交于点若点是的三等分点，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的数是．
故选：．
根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数比较即可．
本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；、绝对值法：两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
．
，
故选：．
利用对顶角，邻补角计算即可．
本题考查对顶角，邻补角，正确记忆相关知识点是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据三视图的概念，可知选项A中的图形为主视图，选项B中的图形为俯视图，选项D中的图形为左视图，
故选：．
根据几何体的三视图，是分别从几何体的正面、左面和上面看物体而得到的图形，对每个选项分别判断、解答．
本题主要考查了几何体的三视图，掌握几何体的主视图、左视图和俯视图，是分别从几何体的正面、左面和上面看物体而得到的图形是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A中，，故选项A错误，不符合题意；
选项B中，故选项B错误，不符合题意；
选项C中，，故选项C正确，符合题意；
选项D中，，故选项D错误，不符合题意．
故选：．
利用相关运算法则进行运算即可．
本题考查二次根式的加减法，同底数的幂的乘法，幂的乘方与积的乘方完全平方式等，正确记忆相关的运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，分别为，的中点，
．
在中，，，．
故选：．
由已知得为的中位线，得，在中，根据勾股定理得求解
本题考查了三角形的中位线定理和勾股定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，
得，
故选：．
根据二次根式双重非负性可分两种情况计算．
本题考查二次根式的运算．去根号时要带绝对值计算．
 

7.【答案】 

【解析】析：该餐饮店在两个外卖平台的平均评分为，
故选：．
利用加权平均数的公式进行计算即可．
本题考查加权平均数，正确记忆加权平均数的计算公式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设甲班每小时植棵树，则乙班每小时植棵树，
根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，可列方程，
故选：．
甲班每小时植棵树，则乙班每小时植棵树，甲班植棵树所用的时间与乙班植棵树所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项．
本题考查分式方程的实际应用，关键是列分式方程．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题图可知当小球从点放开到第一次回到点处时，需要，即小球摆动一个周期需要，故选项A不符合题意；
由题图可知当时．，即小球摆动到平衡位置右侧最高点处，故选项B不符合题意；
由题图可知当时，的值越来越小，结合题意，可知此时小球从点处向点处摆动，属于上升过程，故选项C符合题意；
当时．，即小球在平衡位置处，故选项D不符合题意，
故选：．
根据函数的图象解答即可．
本题考查了函数的图象，掌握函数的图象是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：作与交于点，过点作轴于点，
如解图所示．
点的坐标为，
，．
，，．
．
由折叠的性质，可知，，
，．
．
设，则．
在中，由勾股定理，得．
得，
解得．
，
，，
∽，
，即，
解得．
，，
∽，
，
解得，
，
点的坐标为，


故选：．
作与交于点，过点作轴于点，由折叠的性质解答即可．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：平面直角坐标系中第二象限内的点的坐标为：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
直接利用第二象限点的坐标特点得出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，依次将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉位数学家记为，，，，画树状图如下：

由树状图，可知共有种等可能的结果，其中恰好选中祖冲之和刘徽的画像的结果有种，
恰好选中祖冲之和刘徽的画像．
故答案为：．
将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉位数学家记为，，，，画树状出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，，
，
为等边三角形，
．
又，
．
故答案为：．
连接，，由题意得为等边三角形，再根据扇形的面积公式进行计算即可．
本题考查的是扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：连接，，如解图，所示，

则．
．
当在正方形内部时，
如解图所示．
，，，
≌．
．
．
，，三点共线，
．
当在正方形外部时，
如解图所示，

同理，可得．
．
，，三点共线．
．
综上所述，点到点的距离为或．
连接，，如解图，所示，则易得由题意，可分以下两种情况讨论：
当在正方形内部时，，，，可证≌可证，，三点共线，求得．
当在正方形外部时，如解图所示，同理，可得可得，，三点共线．综上所述，点到点的距离为或．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确记忆相关内容是解题关键．
 

16.【答案】解：原式；

解不等式，得．
解不等式，得．
不等式组的解集为．
不等式组的解集在数轴上表示为：
 

【解析】根据三次根式的定义，绝对值的定义，零次幂的性质化简即可；
求出各个不等式的解集，寻找公共部分即可．
本题考查实数的运算，解不等式组等知识，解题的关键是掌握解不等式组的步骤，属于中考常考题型．
 

17.【答案】   

【解析】解：本次调查中选择“”的人数为．
故答案为：；
补全的条形统计图如解图所示．

老年人年龄的中位数．
故答案为：．
加强社会对老年人的关怀，如定期检查身体，帮助老年人采购生活用品．
根据求解；
根据中位数的定义判断即可；
根据图象信息，判断即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：将点代入中，得．
反比例函数的解析式为．
将点代入中，得，解得．
点的坐标为；
根据图象一次函数与反比例函数的交点为、，可得：或；
由，可知：，
直线轴，
．
，
，．
，
若为等腰三角形，则．
当点在上方时，，
点．
当点在下方时，，
点．
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】根据点代入中，求得反比例函数的解析式为，把点代入中，即可求得点的坐标；
根据图象即可求解；
由，可知：根据为等腰三角形，则，分情况解答即可．
本题考查反比例函数的综合应用，掌握反比例函数的性质、一次函数的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：如解图所示，则四边形和四边形均为矩形．

由题意，得，．
在中，，
．
设．
在中，．
，
解得，
．
答：风台寺塔的高度约为．
．
答：本次测量结果的误差为．
建议：可多次测量，取测量数据的平均值．答案不唯一，合理即可 

【解析】利用矩形性质和正切即可得答案；
实际高度减去测量高度等于误差．
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题．
 

20.【答案】证明：连接，，如解图所示．

，分别与相切于点，，
．
在和中，
，
≌．
．
又，
．

解：设，则．
在中，由勾股定理，得．
解得．
．
．
两个绳柄之间的距离为． 

【解析】连接、，证明≌得出，即可推出结论；
设，则，在中，由勾股定理得出方程，求解方程即可得出答案．
本题考查了切线的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：由题意，可知选择甲种购票方式：，将代入得：，
解得：，
；
选择乙种购票方式：由图象，可设将，代入，得
解得：
．
；
令，解得．
，即，解得，当洋洋去动物园的次数小于时，选择甲种购票方式更划算；
，即，解得，当洋洋去动物园的次数等于时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；
，即，解得，当洋洋去动物园的次数大于时，选择乙种购票方式更划算．
当洋洋去动物园的次数小于时，选择甲种购票方式更划算；当洋洋去动物园的次数等于时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当洋洋去动物园的次数大于时，选择乙种购票方式更划算．
运用待定系数法，即可求出与之间的函数表达式；
根据图中信息直接回答；
解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．
此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
，解得．
把代入中，得．
解得．
抛物线的解析式为；
，两点的纵坐标相等，
，
解得．
，，
图象的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，
；
当时，，
当时，，
当时，，
Ⅰ当时，；
，
，
解得：，
，
此种情况不存在；
Ⅱ当时，，
，
，
解得：，
，
此种情况不存在；
Ⅲ当时，，
，
，
解得：；
Ⅳ当时，，
，
，
解得：；
综上，的取值范围为：． 

【解析】根据抛物线的对称轴为直线，，解得把代入中，得解得最后得出抛物线的解析式为；
再根据，两点的纵坐标相等，，解得，得出，，最终得出的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，进而求得；
分四种情况讨论：先求出关于的表达式，根据可得关于的不等式，求解即可．
本题考查抛物线与轴的交点，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：；

证明：连接，如解图所示．

由作图步骤一，可知．
为等边三角形．
．
由作图步骤二，可知为的平分线．
．
由作图步骤三，可知是的垂直平分线．
，
，
．
，
平分，
．
由作图步骤四，可知平分，
．
，．
在中，，
．
．
点为线段的一个三等分点．
解：作出的三等分点如解图所示．作法不唯一．合理即可

解：过点作于点，如解图，

，，
在中，，
．
同，可知点为的三等分点，，
．
由折叠的性质，可知，，．
由题意，可知需分以下两种情况讨论．
当时，如解图所示．
．
又，，
∽．
．
．
，解得．
当时，如解图所示，

，，
，
．
．
综上所述，的长为或．
理由作图信息判断即可；
证明即可；以为圆心，为半径作弧，交于点，点即为所求；
分两种情形：当时，如解图所示，当时，分别求解．
本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．