2023年江苏省苏州市张家港市梁丰中学中考数学调研试卷（含解析）

2023年江苏省苏州市张家港市梁丰中学中考数学调研试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日上午时分秒，熊熊的火焰托举着近千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景其中，数据用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  对任意四个有理数，，，定义新运算：，已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，内接于，是的直径若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  有一个容积为的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用分钟．设细油管的注油速度为每分钟，由题意列方程，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，点从正方形的顶点出发，沿折线移动到点停止设点移动的路径长为，与的差为若与的对应关系如图所示，则图中的值是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点不与重合，点为的中点，若在运动过程中的最大值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

9.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

10.  分解因式：          ．

11.  若，是关于的方程的两个根，且，则 ______ ．

12.  如图，现将四根木条钉成的矩形框变形为平行四边形木框，且与相交于边的中点，若，，则原矩形和平行四边形重叠部分的面积是______ ．

13.  如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转角得到，并使点落在边上，则点所经过的路径长为______ 结果保留

14.  如图，在矩形中，，，点为边延长线一点，且连接交边于点，过点作于点，则 ______ ．

15.  如图，在中，，，、分别在、上，点在内若四边形是边长为的正方形，则            ．

16.  如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的交于点，则线段的最小值为______．

三、解答题（本大题共11小题，共94.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程：；
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
在一次体操比赛中，个裁判员对某一运动员的打分数据动作完成分如下：

对打分数据有以下两种处理方式：
方式一：不去掉任何数据，用个原始数据进行统计；

方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的个数据进行统计；

______，______，______；
你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由．

21.  本小题分
第届冬季奥林匹克运动会于年月至日在我国北京张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：云顶滑雪公园、国家跳台滑雪中心、国家越野滑雪中心、国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
小明被分配到国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．

22.  本小题分
如图，是的边上一点，，交于点，．
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，点在线段上，且．
求的值及线段的长；
点为点上方轴上一点，当与的面积相等时，请求出点的坐标．

24.  本小题分
如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
求证：是的切线；
若的半径为，，，求的长．

25.  本小题分
北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆，某经销商以元个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量个与售价元个满足一次函数关系：

线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的；线上售价为元个，供不应求．
求与的函数表达式；
若该经销商共购进“冰墩墩”个，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？不计其它成本

26.  本小题分
点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”．
在点，，中，是“垂距点”的点为______；
求函数的图象上的“垂距点”的坐标；
的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是______．
 

27.  本小题分
抛物线过点，点，顶点为．
直接写出抛物线的表达式及点的坐标；
如图，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；
如图，在的条件下，点是线段上与点，不重合的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值为，
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，的绝对值为，负数的绝对值等于它的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：数据用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据完全平方公式、积的乘方以及整式的乘除法运算即可求出答案．
本题考查完全平方公式、积的乘方以及整式的乘除法运算，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了定义新运算和一元一次方程的解法．根据新定义运算规则，得，解方程求出的值即可．
【解答】
解：因为，
所以，
即，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
连接，由是的直径，得，又，可得，而，故是等腰直角三角形，即可求出答案．
本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和等腰直角三角形三边的关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：
设细油管的注油速度为每分钟，则粗油管的注油速度为每分钟，
依题意得：．
故选：．
设细油管的注油速度为每分钟，则粗油管的注油速度为每分钟，利用注油所需时间注油总量注油速度，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图可知，当点运动到点时，的值最大，的值最小为，
此时，取得最大值为，即取得最大值，
由图可知，的最大值为，
，
四边形为正方形，
，
．
故选：．
由图可得取得最大值为，由图二可得，以此可求出正方形的边长，以此即可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：连接、，取的中点，连接和，设的半径为，
点为的中点，
，
点是上的动点不与重合，点为顶点，
点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上，
则，
当点、、三点共线时，有最大值，此时，
，
，
，
点为的中点，
，
，解得：，
，
在中，；
故选：．
首先根据题意取的中点，根据点的运动轨迹，确定点的运动轨迹，根据，可确定当点、、三点共线时，有最大值，此时，求出，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则，联立即可求出半径的值，然后求出的长，利用勾股定理即可求出的长．
本题主要考查的是圆的动点综合题型，解题关键是确定点、、三点共线时，有最大值．
 

9.【答案】 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：，是关于的方程的两个根，
，
，
，
，
，
．
故答案是：．
根据根与系数的关系求得，将其代入已知方程，列出关于的方程，解方程即可．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

12.【答案】 

【解析】解：矩形木框变形为平行四边形木框
，，，，

点为的中点，
，
在中，根据勾股定理可得：，
，
，
故答案为：．
根据矩形和平行四边形的性质可得：，，，，从而得出，根据中点的定义即可求出，然后根据勾股定理即可求出，进而求出，最后根据梯形面积公式进行求解即可．
此题考查的是矩形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，掌握矩形的性质定理、平行四边形的性质定理、用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，，
，
将绕点逆时针旋转角得到，
，
点所经过的路径长，
故答案为：
由直角三角形的性质可求，，由旋转的性质可求，由弧长公式可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，轨迹，弧长公式等知识，求出和是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，．
，
，
∽．
，
，
，
．
．
，，
．
，
．
．
故答案为：．
利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得的长，利用勾股定理和三角形的面积公式列出关于的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于，

四边形是边长为的正方形，
，，
，，
，，
，，，
设，
，
，解得：，
，
．
故答案为：．
连接，过点作于，由四边形是边长为的正方形可得，，根据勾股定理求出，，，设，利用勾股定理求出，可得，即可得的值．
此题综合考查了正方形、锐角三角函数的定义及勾股定理．根据勾股定理求出的长是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
是的直径，
，
，
点在以点为直径的上，
的半径为，
当点、、共线时，最小，延长，过点作交的延长线于点，如图所示；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图，连接，根据是的直径，得到，根据邻补角的定义得到，根据圆周角定理得到点在以为直径的上，推出当点、、共线时，最小，如图，延长，过点作交的延长线于点，求出的长度，进而求出的长度，利用勾股定理求出，即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，勾股定理计算线段的长度，确定点的运动规律，把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
则，
，
或，
，；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为：． 

【解析】利用因式分解法解出方程；
根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，确定不等式组的解集．
本题考查的是一元二次方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：方式一：不去掉任何数据，这组数据的中位数为：；
方式二：去掉一个最高分和一个最低分，
平均数为，
方差为：，
故答案为：，，；

方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的个数据进行统计更合理，
理由：这样可以减少极端值对数据的影响．
依据中位数、平均数、方差的定义即可求解；
去掉一个最高分和一个最低分统计平均分的方法更合理，这样可以减少极端值对数据的影响．
本题主要考查了平均数和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

21.【答案】解：小明被分配到国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有种，
小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为． 

【解析】直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】证明：，
，
在和中，

≌，
；
解：由可知，≌，
，
，
即的长为． 

【解析】证明≌，即可得出结论；
由全等三角形的性质得，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明≌是解题的关键．
 

23.【答案】解：点在正比例函数上，轴，，
点的坐标为，
点的纵坐标是，代入，得，
，
点在反比例函数的图象上，
，
点在线段上，且．
设点，
，，
，解得：，
点，
，
，；

如图，

设点，
点为点上方轴上一点，
，，
，，
，，
与的面积相等，
，解得：，
． 

【解析】根据正比例函数的解析式求出点坐标，由在反比例函数上，可求出，再根据求出点的坐标，即可得线段的长；
设点，根据与的面积相等，得出关于的方程，解方程即可得点的坐标．
本题考查一次函数与反比例函数的图象及解析式，根据两点间的距离建立方程式求解点的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，如图，

，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
即，
．
是的半径，
是的切线；
连接，过点作于点，如图，

为的直径，
，．
．
，，
∽，
，
，．
，，
，
，
，
，．
设，则，
，
．
解得：．
． 

【解析】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
连接，利用直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，同圆的半径相等和圆的切线的判定定理解答即可；
连接，过点作于点，设，则，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理解答即可．
 

25.【答案】解：设与的函数表达式为，
则，
解得：，
与的函数表达式为；
当线下销量为个时，线上销量为个，
设全部售完后获得的利润为元，
根据题意得：，
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的，
，
解得：，
，对称轴为，
当时，有最大值，最大值为，
此时线下销售量为个，线上销售量为个．
答：线下销售个，线上销售个时可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】设出与的函数表达式为，然后用待定系数法求函数解析式即可；
根据总利润线下销售利润线上销售利润列出函数解析式，根据函数的性质求最值以及此时线上、线下的销售量．
本题考查了二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据总利润线下销售利润线上销售利润列出函数解析式．
 

26.【答案】解：，；
设函数的图像上的“垂距点”的坐标，
依题意得：．
当时，，
解得：，
此时“垂距点”的坐标为；
当时，，
解得：不合题意，舍去；
当时，，
解得：，
此时“垂距点”的坐标为
综上所述，函数的图像上的“垂距点”的坐标是或
． 

【解析】

【分析】
本题考查了解含绝对值符号的一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征以及直线与圆相切等知识，解题的关键是：根据“垂距点”的定义，判定给出点是否为“垂距点”；利用一次函数图象上点的坐标特征及“垂距点”的定义，找出关于的含绝对值符号的一元一次方程；利用特殊值法，找出的取值范围．
将各点横、纵坐标的绝对值相加，取和为的点即是所求；
设函数的图像上的“垂距点”的坐标，根据“垂距点”的定义可得出，解之即可得出值，进而可得出“垂距点”的坐标；
设“垂距点”的坐标为，则，画出该函数图象，分与相切及过点两种情况求出值，结合题意，即可得出的取值范围．
【解答】
解：，，，
是“垂距点”的点为，．
故答案为：，．
见答案；
设“垂距点”的坐标为，则，
当，时，，即；
当，时，，即；
当，时，，即；
当，时，，即，
画出该函数图象，如图所示．
当与相切时，过点作直线于点，则为等腰直角三角形，
；
当过点时，上不存在“垂距点”，
此时．
若上存在“垂距点”，则的取值范围是．
故答案为：．  

27.【答案】解：将点，点代入得：
，
解得：．
抛物线的表达式为．
，
顶点．

设交轴于点，连接，过点作轴于点，如图，

，，
，，．
，．
，，
，
，为的中点．
是以为底的等腰三角形，
．
，
∽．
．
．
．
．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为．
，
解得：，．


过点作于点，如下图，

则，，
，
，
．
．
由知：．
设，，则．
，
．
，
，
又，
．
∽．
．
．
．
当时，即有最大值．
，
的最大值为．
点在线段上，
点的横坐标的最大值为． 

【解析】利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，利用配方法可得抛物线的顶点坐标；
利用是以为底的等腰三角形，求出点的坐标，利用待定系数法确定直线的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组即可得到点的坐标；
由中的条件求得线段，的长；由已知判定出∽，得出比例式，设，，
利用比例式求得的最大值，即可求得的取值范围．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，二次函数图象上点的坐标的特征，函数图象交点的坐标的特征，二元方程组的解法，勾股定理，三角形相似的判定与性质，函数极值的确定．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．