2023年湖北省武汉市青山区中考一模数学试题(含解析)
展开2023年湖北省武汉市青山区中考一模数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.的相反数是( )
A.5 B. C. D.
2.下列事件是必然事件的是( )
A.通常加热到时,水沸腾
B.篮球队员在罚球线上投篮一次,投中
C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯
D.任意画一个三角形,其内角和为
3.现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性,下列汉字可以看成是轴对称图形的是( )
A.品 B.德 C.高 D.尚
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.在如图所示的网格中,以点为位似中心,四边形的位似图形是( )
A.四边形 B.四边形 C.四边形 D.四边形
6.新龟兔赛跑的故事:龟兔从同一地点同时出发后,兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先,就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来,发现乌龟已经超过它,于是奋力直追,最后同时到达终点.用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程,t为赛跑时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是( )
A. B.
C. D.
7.反比例函数的图象经过点,则当时,函数值的取值范围是( )
A.y>-1 B.-1
A. B. C. D.
9.已知和均是以为自变量的函数,当时,函数值分别为和,若存在实数,使得,则称函数和具有性质.以下函数和具有性质的是( )
A.和
B.和
C.和
D.和
10.如图,在中,,以该三角形的三条边为边向形外作正方形,正方形的顶点都在同一个圆上.记该圆面积为,面积为,则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.2021年5月22日,我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面.已知火星与地球的最近距离约为55000000千米,数据55000000用科学记数法表示为__________.
12.五名同学在“爱心捐助”活动中,捐款数额为8,10,10,4,6(单位∶元),这组数据的中位数是______元.
13.计算:_____
14.如图,某数学兴趣小组为测量教学楼的高,先在A处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角为30°,再向前走30米到达B处,又测得教学楼顶端D的仰角为60°,A、B、C三点在同一水平线上,则教学楼的高为________米(结果保留根号).
15.如图,二次函数的图象过点,对称轴为直线.有以下结论:
①;
②;
③(m为任意实数);
④若,是抛物线上的两点,当时,;
⑤若方程的两根为,,且,则.
其中正确的是___________.(填写序号)
16.如图,中,,,.点P为内一点,且满足.当的长度最小时,则的面积是__________.
三、解答题
17.解不等式组请按下列步骤完成解答:
(1)解不等式①,得___________;
(2)解不等式②,得___________;
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集为____________.
18.如图,在四边形中,,,平分交于点E,交的延长线于点F.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
19.某校举行知识竞赛活动.发现该校全体学生的竞赛成绩(百分制)均不低于60分,现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析(成绩得分用x表示,共分成四组),并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图,其中“”这组的数据如下:60,62,64,65,65,68.
竞赛成绩分组统计表
组别
竞赛成绩分组
频数
1
8
2
3
4
10
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)__________;
(2)“”这组数据的众数是__________分;
(3)第3组所在扇形的圆心角是__________;
(4)若学生竞赛成绩达到90分以上(含90分)获奖,请你估计全校1500名学生中获奖的人数.
20.如图,已知是的直径,为弦的中点.
(1)求证:;
(2)若,求阴影部分的面积.
21.如图,是由小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点是与网格线的交点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.
(1)在图中,将线段绕点逆时针旋转得到线段;在上画点,使.
(2)图中,在上取点,使得∥,作点关于的对称点.
22.小亮创办了一个微店商铺,营销一款小型LED护眼台灯,成本是20元/盏,在“双十一”前20天进行了网上销售后发现,该台灯的日销售量p(盏)与时间x(天)之间满足一次函数关系,且第1天销售了78盏,第2天销售了76盏.护眼台灯的销售价格y(元/盏)与时间x(天)之间符合函数关系式(,且x为整数).
(1)求日销售量p(盏)与时间x(天)之间的函数关系式;
(2)在这20天中,哪天的日销售利润最大?最大日销售利润是多少?
(3)“双十一”当天,小亮采用如下促销方式:销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元;日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏;日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元,求a的值.(注:销售利润=售价-成本).
23.(1)已知,直线AC与BD交于点.
①如图1,若,求证:;
②如图2,若,求证:;
(2)如图3,在中,,E为BD中点,且,.则_________.
24.已知二次函数的图象经过点,直线AB与抛物线相交于A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若直线AB的解析式为,且的面积为35,求k的值;
(3)如图2,若,则直线AB必经过一个定点C,求点C的坐标.
参考答案:
1.A
【分析】根据相反数的定义即可求解.
【详解】解:的相反数是5,
故选:A.
【点睛】此题主要考查相反数,解题的关键是熟知相反数的定义.
2.A
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区分各类事件.
【详解】解:A、通常加热时,水沸腾,是必然事件,符合题意;
B、篮球队员在罚球线上投篮一次,投中,是随机事件,不合题意;
C、经过信号灯时,遇到红灯,是随机事件,不合题意;
D、任意画一个三角形,其内角和为,是不可能事件,不合题意;
故选:A.
【点睛】本题考查了必然事件,解此题的关键需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念,必然事件指在一定条件下一定发生的事件,不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件,随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
3.A
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可
【详解】解:A、是轴对称图形,故此选项符合题意;
B、不是轴对称图形,故此选项不合题意;
C、不是轴对称图形,故此选项不合题意;
D、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
故选:A.
【点睛】本题主要考查了轴对称图形,关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形
4.C
【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别计算得出答案.
【详解】A. 不是同类项不能合并,故该选项错误;
B. ,故该选项错误;
C. ,故该选项正确;
D. ,故该选项错误.
故选C.
【点睛】此题主要考查了合并同类项法则以及完全平方公式和幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则,正确掌握相关运算法则是解题关键.
5.A
【分析】以O为位似中心,作四边形ABCD的位似图形,根据图像可判断出答案.
【详解】解:如图所示,四边形的位似图形是四边形.
故选:A
【点睛】此题考查了位似图形的作法,画位似图形的一般步骤为:①确定位似中心;②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;③根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;顺次连接上述各点,确定位似图形.
6.C
【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率的变化.问题便可解答.
【详解】对于乌龟,其运动过程可分为两段:从起点到终点乌龟没有停歇,其路程不断增加;最后同时到达终点,可排除B,D选项
对于兔子,其运动过程可分为三段:据此可排除A选项
开始跑得快,所以路程增加快;中间睡觉时路程不变;醒来时追赶乌龟路程增加快.
故选:C
【点睛】本题考查了函数图象的性质进行简单的合情推理,对于一个函数,如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.
7.D
【分析】先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k值,再根据反比例函数的性质解答.
【详解】根据题意,
解得k=−2,
∴反比例函数解析式为
在第四象限内,y值随x的增大而增大,
∴,即y>−2,
又∵函数图象在第四象限内,
∴y<0,
∴函数值y的取值范围是−2
【点睛】考查反比例函数的图象与性质,反比例函数
当时,图象在第一、三象限.在每个象限,y随着x的增大而减小,
当时,图象在第二、四象限.在每个象限,y随着x的增大而增大.
8.D
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和随机抽取两张,恰好是“加”“油”两字的情况数,然后根据概率公式即可得出答案.
【详解】解:根据题意画图如下:
共有20种等情况数,恰好是“加”“油”两字的有2种,
则随机抽取两张,恰好是“加”“油”两字的概率是.
故选D.
【点睛】本题考查树状图法求概率.注意掌握树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
9.A
【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项.
【详解】解:当时,函数值分别为和,若存在实数,使得,
对于A选项则有,由一元二次方程根的判别式可得:,所以存在实数m,故符合题意;
对于B选项则有,由一元二次方程根的判别式可得:,所以不存在实数m,故不符合题意;
对于C选项则有,化简得:,由一元二次方程根的判别式可得:,所以不存在实数m,故不符合题意;
对于D选项则有,化简得:,由一元二次方程根的判别式可得:,所以不存在实数m,故不符合题意;
故选A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质,熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键.
10.C
【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点,然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形,再根据直角三角形斜边中线的性质得到,再由勾股定理解得,解得,据此解题即可.
【详解】解:如图所示,正方形的顶点都在同一个圆上,
圆心在线段的中垂线的交点上,即在斜边的中点,且AC=MC,BC=CG,
∴AG=AC+CG=AC+BC,BM=BC+CM=BC+AC,
∴AG=BM,
又∵OG=OM,OA=OB,
∴△AOG≌△BOM,
∴∠CAB=∠CBA,
∵∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
,
,
.
故选:C.
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识,是重要考点,难度一般,掌握相关知识是解题关键.
11.
【详解】55000000=,
故答案为:.
【点睛】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示,其形式为,且n为正整数,它等于原数的整数数位与1的差.
12.8
【分析】将一组数据按照从小到大的顺序排列,中位数就是处于中间的那个数,本题中从小到大排列为:4,6,8,10,10,从而可得答案.
【详解】解:数据从小到大排列为:4,6,8,10,10,
∴中位数为:8;
故答案为:8
【点睛】本题考查的是中位数的含义,熟记求解中位数的方法是解本题的关键.
13.
【分析】将分母a2-b2分解因式,得公分母为(a+b)(a-b),通分、化简即可.
【详解】解:原式=
故答案为:.
【点睛】本题考查了分式的加减法.分式的加减运算中,如果是同分母分式,那么分母不变,把分子直接相加减即可;如果是异分母分式,则必须先通分,把异分母分式化为同分母分式,然后再相加减.
14./
【分析】根据三角形外角的性质可得:,根据等角对等边即可得:米,再根据锐角三角函数即可求出,根据矩形的性质即可求出,从而求出教学楼的高.
【详解】解:∵,
∴,
∴米,
在中,(米),
∵四边形是矩形,
∴米,
∴米.
故荅案为:
【点睛】此题考查的是解直角三角形,掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
15.②③④
【分析】根据图象得出系数的正负性,可判断①;根据当时,,可判断②;当时,函数有最小值,可判断③;由抛物线的对称性可判断④;由二次函数的交点式可得,进而判断⑤.
【详解】解:①由图象可知:,,,
∴,
∴,故①错误;
②∵抛物线的对称轴为直线,抛物线的对称轴为直线,
∴,
∴,
当时,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,故②正确;
③由图象可知,当时,函数有最小值,
∴(为任意实数),
∴,故③正确;
④∵,是抛物线上的两点,
由抛物线的对称性可知:,
∴当时,,故④正确;
⑤∵图象过点,对称轴为直线.抛物线与x轴的另外一个交点坐标为,
∴
若方程,
即方程的两根为,,
则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标,
∵,
∴,故⑤错误;
故答案为:②③④.
【点睛】此题考查二次函数图象和性质,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,掌握二次函数解析式的系数和图象之间的关系.
16.
【分析】取中点O,连接,,由即可得到,再由,可得当点P在线段上时,有最小值,然后利用直角三角形的性质可得,即可推出,则是等边三角形,求得的面积,根据可得.
【详解】解:如图,取的中点O,连接,,
∵,
∴,
∴点P在以为直径的圆上运动,
在中,,
∴当点P在线段上时,有最小值,
∵点O是的中点,,
∴,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了正切的定义与特殊角的三角函数值,勾股定理的逆定理,三角形的三边关系,直角三角形斜边上的中线,等边三角形的性质与判定,解题的关键在于能够综合应用各种性质解题.
17.(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】(1)移项,即可求解;
(2)移项合并同类项,即可求解;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来,即可求解;
(4)写出不等式组的解集,即可.
【详解】(1)解不等式①,得;
(2)解不等式②,得;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为,
故答案为:,,.
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组,熟练掌握解不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小大小小大中间找,大大小小找不到(无解)是解题的关键.
18.(1)见解析
(2)152°
【分析】(1)先由平行线的性质得,再根据平行线的判定定理即可得到结论;
(2)先由平行线的性质求出,再由补角的性质得解.
【详解】(1)证明:∵,
∴,
∵,
∴,
∴;
(2)解:∵平分,,
∴,
∵,
∴,
∴,即的度数为152°.
【点睛】本题考查平行线的性质和判定,角平分线定义,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
19.(1)12
(2)65
(3)144
(4)300名
【分析】(1)根据表格中的数据进行解答即可;
(2)根据众数定义进行解答即可;
(3)用第3组的百分比,即可得出答案;
(4)用总人数乘以成绩达到90分以上学生的百分比即可得出答案.
【详解】(1)解:由题意得,样本容量为:,
故.
故答案为:12.
(2)解:“”这组数据中出现次数最多是65,故众数是65,
故答案为:65;
(3)解:第3组所在扇形的圆心角是,
故答案为:144;
(4)解:(名),
答:估计全校1500名学生中获奖的人数约300名.
【点睛】本题主要考查了频数分布表和扇形统计图,解题的关键是数形结合,熟练掌握相关定义.
20.(1)见解析
(2)
【分析】(1)利用等腰三角形的性质证明,再用圆周角的性质证明即可;
(2)利用等边三角形的判定,证明是等边三角形,求出圆心角的度数,再利用面积和差求解即可.
【详解】(1)证明:∵,为弦的中点,
∴,
∵,
∴;
(2)如图,连接,
∵是的直径,E为弦的中点,
∴,
∴是的垂直平分线,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
,
∴.
【点睛】本题考查了圆的基本性质,扇形面积,等腰三角形的性质,等边三角形的判定,圆周角定理,熟练运用圆周角定理和等腰三角形的性质是解题关键.
21.(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)根据旋转的性质可得线段;取格点,,连接交于点,此时,则,即,连接交于点.
(2)过点作的平行线,与网格线交于点,连接,交于点;取格点,连接,使,再取格点,,连接,,使,,则 与的交点即为点关于的对称点.
【详解】(1)如图1,即为所求.
取格点,,连接交于点,
,
,
,
连接交于点,
,
则点即为所求.
(2)如图2,过点作的平行线,与网格线交于点,
连接,交于点,
此时,
,
则点即为所求.
取格点,连接,使,
再取格点,,连接,,使,,
与交于点,
则点即为所求.
【点睛】本题考查作图旋转变换、轴对称变换、平行线的性质、解直角三角形,熟练掌握相关知识点是解答本题的关键.
22.(1)日销售量p(盏)与时间x(天)之间函数关系为
(2)当x=10时,销售利润最大,最大=450元
(3)a的值为6
【分析】(1)利用待定系数法求解设该台灯的日销售量p(盏)与时间x(天)之间满足一次函数关系为,代入数据得:,解方程组即可;
(2)设日销售利润用w表示,根据日销售利润=(售价-成本)×销量,列函数关系然后配方为顶点式即可;
(3)根据函数的性质,k=-2<0,y随x的增大而减小,x=1时,p最大=盏,小亮采用如下促销方式:日销售量为(78+7a),根据,k=,y随x的增大而二增大,x=20时y最大=元/盏,得出小亮采用如下促销方式:销售价格为(30-a)元/盏,利用销量×每盏台灯的利润=450+30,列方程即可.
【详解】(1)解:设该台灯的日销售量p(盏)与时间x(天)之间满足一次函数关系为,代入数据得:
,
解得:,
∴日销售量p(盏)与时间x(天)之间函数关系为;
(2)解:设日销售利润用w表示,
,
当x=10时,销售利润最大,最大=450元;
(3)∵,k=-2<0,y随x的增大而减小,
∴x=1时,p最大=盏,小亮采用如下促销方式:日销售量为(78+7a),
∵,k=,y随x的增大而二增大,x=20时y最大=元/盏,
∴小亮采用如下促销方式:销售价格为(30-a)元/盏,
根据题意:,
整理得,
解得(舍去),
∴a的值为6.
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式及其性质,二次函数性质在销售中的应用,一元二次方程在销售中的应用,掌握待定系数法求一次函数解析式及其性质,二次函数性质在销售中的应用,一元二次方程在销售中的应用是解题关键.
23.(1)①见解析;②见解析;(2)
【分析】(1)①先证明,进而即可得到结论;②在CA的延长线上取一点T,使得,证明,进而即可得到结论;
(2)作,CT交BD的延长线于点T,可得是等边三角形,从而得,进而即可得到结论.
【详解】(1)①证明:∵,,
∴,
∴,
∴;
②证明:在CA的延长线上取一点T,使得.
∵,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴;
(2)解:如图3中,作,CT交BD的延长线于点T.
∵,
∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴.
故答案为:.
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题.
24.(1)
(2)或
(3)
【分析】(1)把代入函数解析式即可得到荅案;
(2)先求出,可得,结合,可得方程,结合,即可求解;
(3)设,,过点P作直线轴,分别过A、B两点作PN的垂线,垂足分别为N、M,由可得,联立方程组,可得,,进而即可求解.
【详解】(1)解:∵二次函数的图象经过点,
∴,解得,
∴抛物线的解析式为:;
(2)如图1,已知直线AB的解析式为,
令,则,
∴直线AB过定点,
∵,
∴轴,,
∴,
∴,
令,整理得,
∴,,
∴,
整理得,
解得或;
(3)设,,
如图2,过点P作直线轴,分别过A、B两点作PN的垂线,垂足分别为N、M,设直线AB的解析式为,
∵,,
∴,
∴,即,
∴,
∴①,
联立方程组,
∴,
∴,②,
将②代入①,得化简,得,
∴直线AB的解析式为,即,
∴直线AB经过定点.
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题,掌握待定系数法,把函数问题化为一元二次方程问题是关键.
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