2023年四川省南充市顺庆区中考数学三模试卷-普通用卷

2023年四川省南充市顺庆区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  比大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，不是正方体表面展开图的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  年北京冬奥会，越来越多的北京市民加入到了志愿者队伍里去．据北京市冬奥会城市志愿者指挥部宣传教育组副组长王欣透露，全市实名注册志愿者人数突破万人．其中万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交于点，则扇形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  疫情防控期间，某电信公司为了满足全体员工的需要，花万元购买了一批口罩．随着疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降元电信公司又花元购买了一批口罩，购买的数量与第一次购买的数量相等，设第一次每包口罩为元，可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，、为的两条弦，连接、，点为的延长线上一点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄单位：岁分别为：，，，，则这组数据的中位数，方差分别是(    )

A. ； B. ； C. ； D. ；

9.  如图，在建筑物左侧距楼底点水平距离米的处有一山坡，斜坡的坡度为：，坡顶到的垂直距离米，点、、、、在同一面内，在点处测得建筑物顶点的仰角为，则建筑物的高度约参考数据：，，(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10.  如图，二次函数的图象经过点且与轴交点的横坐标分别为，其中，，，下列结论：
；；；；．
其中，结论正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算 ______ ．

12.  已知，是方程的两个实数根，则的值是______ ．

13.  如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点已知，，则点到的距离为______ ．

14.  在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，的坐标为，将沿直线翻折，使点落在点处，交轴于点，则点的纵坐标为______ ．

16.  已知：如图，，，以为直径的交于点，的延长线交于点，过作的切线交于点下列结论：；；；其中正确的结论有______．

 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在中，，点、、分别是、、的中点，连接、．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．

19.  本小题分
某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．

根据统计图：
求该校被调查的学生总数；
补全折线统计图；
根据调查结果，若要在全校学生中随机抽名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，该方程总有实数根；
已知等腰三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两个根，求的值．

21.  本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，反比例函数的图象经过线段的中点．
求反比例函数的表达式；
将直线向右平移个单位长度后得到直线，直线交轴于点，交反比例函数的图象于点，，连接，，求的面积．

22.  本小题分
如图，在中，是直径，点是弧的中点，交于点，是的中点，，，．
求证：是的切线；
求的长．

23.  本小题分
小雨响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为元千克．设销售时间为天，通过一个月天的试销，该种水果的售价元千克与销售时间天满足如图所示的函数关系其中，且为整数已知该种水果第一天销量为千克，以后每天比前一天多售出千克．
直接写出售价元千克与销售时间天的函数关系式；
求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？

24.  本小题分
如图，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点．

求证：；
如图，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立请说明理由；
如图，将中的“正方形”改为“矩形”，且使三角版的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值．

25.  本小题分
已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．
求抛物线的解析式与顶点的坐标；
如图，点是抛物线上位于直线下方的一动点，连接与相交于点，已知：：，求点的坐标；
如图，抛物线的对称轴与轴交于点，在抛物线对称轴上有一个动点，连接求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据有理数的加法法则，可得答案．
本题考查了有理数的加法，异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据正方体的展开图的特征可知，共有种情况，可以分为“型”种，“型”种，“型”种，“型”种，
没有“型”的，因此选项B不是正方体平面展开图，
故选：．
根据正方体的展开图的种类和特征，综合进行判断即可．
本题考查正方体的展开图，掌握正方体展开图的种类和特征是正确判断的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【解答】
解：万用科学记数法表示为．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：矩形中，，，
，，，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质求得到，则，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查了扇形的面积的计算，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：第二次购进口罩时每包口罩下降元，且第一次购进口罩时每包口罩元，
第二次购进口罩时每包口罩元．
依题意得：．
故选：．
由两次购进口罩单价间的关系，可得出第二次购进口罩时口罩的单价，再利用数量总价单价，结合两次购买的数量相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，在优弧上取点，连接，，

圆周角定理得，，
由圆内接四边形的性质得，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理可得答案．
本题考查圆周角定理与圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，，
，在反比例函数的图象上，在每一象限内随的增大而减小，
，
，，的大小关系是：．
故选：．
首先应用反比例函数的性质和应用，判断出：，，；然后根据当，在每一象限内随的增大而减小，判断出，的大小关系，即可推得，，的大小关系．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，以及反比例函数的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
 

8.【答案】 

【解析】解：将，，，，按照从小到大排列是：，，，，
故这组数据的中位数是；
这组数据的平均数是：，
方差是：．
故选：．
根据中位数和方差公式分别进行解答即可．
本题考查了中位数和方差的计算公式．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

斜坡的坡度或坡比为：，
：：，
米，
米，
米，
米，米，
米，
米．
故选：．
利用斜坡的坡度或坡比为：，求出的长，从而得出，再利用即可求出的长．
本题主要考查了解直角三角形的应用，明确坡度、仰角、俯角是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，
，
抛物线与轴的交点为在轴的正半轴上，
，
，
又，
，
，所以正确；
，
，
，所以正确；
，，
，所以正确；
，
而，
，所以错误；
当时，．
，，
由得到，
由得到，即，
上面两个相加得到，
，所以错误；
故选：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
考查二次函数系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数等．
 

11.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，



．
故答案为：．
利用一元二次方程的根的定义以及根与系数的关系，求出，，再代入计算即可求解．
此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的根的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于．

，，
，
由作图可知，平分，
，，
，
故答案为：．
如图，过点作于证明，可得结论．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

14.【答案】或 

【解析】解：以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，，
点的对应点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作轴，垂足为，则轴，

四边形为矩形，
，，，
由折叠可知：，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
即，
，
，
，
点纵坐标为：．
过点作轴，垂足为，则轴，结合折叠的性质可，从而求解点纵坐标．
本题主要考查坐标与图形的性质，翻折问题，点的坐标的确定，勾股定理，角的直角三角形，矩形的性质等知识的综合运用．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了圆的切线性质与判定、圆周角定理性质及三角形相似的判定等知识，熟练根据相似三角形的性质得出对应边之间关系是解题关键．
先连接，利用相似三角形的判定以及切线的性质定理得出，进而分别得出∽以及∽，再根据相似三角形的性质分别分析即可得出答案．
【解答】
解：连接，
为直径，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
∽，
，
，故CB正确；
过作的切线交于点，
是的切线，
，
，
由得∽，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，故EA正确；
，
，
假设成立，
则，
，
而，与矛盾，
故不成立，故此选项错误；
，
，
∽，
，
，
，
，
；故CD正确．
综上正确的有．
故答案为．
  

17.【答案】解：


，
当时，原式

． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

18.【答案】证明：点，，分别是，，的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形；
过作于，

，，
，
，
，
菱形的面积． 

【解析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
过作于，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：该校被调查的学生总数是：人；

“非常满意”的人数有：人，
“满意”的人数为人，
补全统计图如下：


估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是． 

【解析】根据比较满意的人数和所占的百分比即可得出答案；
先求出“非常满意”的人数，再用总人数减去其他评价的人数，求出满意的人数，从而补全统计图；
利用概率公式求解即可．
本题考查了统计图及概率公式的知识，能够从统计图中整理出进一步解题的有关信息是解答本题的关键，难度不大．
 

20.【答案】证明：，
无论取何值，该方程总有实数根；
解：解方程得，，
当时，，因为，不符合三角形三边的关系，舍去；
当时，即，三角形的三边为、、，
综上所述，的值为． 

【解析】计算根的判别式得到，则，从而得到结论；
利用因式分解法解方程得，，讨论：当时，，因为，不符合三角形三边的关系，舍去；当时，即，符合三角形三边的关系．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．
 

21.【答案】解：在中，令得，令得，
，，
线段的中点是，
，
将代入得：，
，
反比例函数的表达式为；
将直线向右平移个单位长度后得到直线，直线交轴于点，
，将向右平移个单位得，
把代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
由得或，
，，
过点作轴交于，如图，

点的横坐标为，
将代入得：，
，
；
，
的面积是． 

【解析】由得，，故C，代入得反比例函数的表达式为；
将直线向右平移个单位长度后得到直线，可得，，过点作轴交于，可得，，即可得．
本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法，能求出函数解析式．
 

22.【答案】证明：是的直径，
，
，，，
，
点是弧的中点，
，
，
∽，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：连接，则，
，
，
，
是的中点，
，
，
的长是． 

【解析】由，，，得，由点是弧的中点，得，可证明∽，得，即可证明是的切线；
连接，则，所以，可求得，，而，即可求得．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：依题意，当时，设，
则，
解得，
；
当时，，
售价元千克与销售时间天的函数关系式为；
设该种水果每天的销售量为千克，利润为元，
根据题意得：，
当时，

，
，
时，最大，
当时，
，
，
当时，最大，
，
销售第天时，利润最大，最大利润为元． 

【解析】依据题意易得出销售价元与时间天之间的函数关系式；
先根据题意求出每天的销售量与的关系式，再根据销售利润销售量售价进价，列出平均每天的销售利润元与时间天之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值．
 

24.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
；
成立．证明：
如图，过点作于，过点作于，

四边形为正方形，
平分，
又，，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
≌，
；
如图，过点作于，过点作于，垂足分别为、，

则，
，，
∽，∽，
，，
，即，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】由，，可得，又由正方形的性质，可利用证得≌，则问题得证；
首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，然后利用证得≌，则问题得证；
首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，易证得，，则可证得∽，∽，又由有两角对应相等的三角形相似，证得∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．
 

25.【答案】解：由题意得：，
则，则，
故抛物线的表达式为：；

：：，则：：，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，

则∽，
则：：：，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，，
则，
设点，则点，
则，
解得：或，
即点或，
由点、的坐标得，直线的表达式为：或，
联立和得：，
解得：，则点；
联立和得：，
解得：，则点，
即点的坐标为：或；

连接、，

由点的坐标知，，，
则，则，，
过点作于点，
则，
则此时为最小，
则，
则，则，
即的最小值为． 

【解析】由待定系数法即可求解；
由：：，则：：，由∽，得到：：：，进而求解；
过点作于点，则，则此时为最小，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．