2023年辽宁省大连市康考迪亚重点中学高考数学二模试卷-普通用卷

这是一份2023年辽宁省大连市康考迪亚重点中学高考数学二模试卷-普通用卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省大连市康考迪亚重点中学高考数学二模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设集合，且，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  设，则的共轭复数的虚部为(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.  函数其中为自然对数的底数的图象大致是(    )A.
B.
C.
D. 5.  等比数列的前项和为，已知，，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体如图，这是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  某城市户居民月平均用电量单位：度，以、、，、，，分组的频率分布直方图如图所示，则(    )
A.
B. 月平均用电量的众数为和
C. 月平均用电量的中位数为
D. 月平均用电量的分位数位于区间内10.  已知，，且，则(    )A.  B.  C.  D. 11.  北京天坛圆丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，，，设数列为等差数列，它的前项和为，且，，则(    )A.  B. 的公差为 C.  D. 12.  如图所示，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列说法中正确的是(    )A. 存在点，，使得
B. 异面直线与所成的角为
C. 三棱锥的体积为
D. 点到平面的距离为
 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  在二项式的展开式中，则项的系数是______ ．14.  已知，是两个非零向量，且，则与的夹角为______ ．15.  数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数设，其中，，，均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是______ ．16.  已知函数，若在时恒成立，则的取值范围是        ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
在锐角中，，，分别为角，，所对的边，且．
Ⅰ确定角的大小；
Ⅱ若，当时，求的面积．18.  本小题分
已知数列中，，，，设．
证明：数列是等比数列；
设，求数列的前项的和．19.  本小题分
如图，在平面六边形中，四边形是边长为的正方形，和均为正三角形，分别以，，为折痕把，，折起，使点，，重合于点，得到如图所示的三棱锥．
证明：平面平面；
若点是棱上的一点，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值．
20.  本小题分
某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：  支持不支持合计中型企业小型企业合计依据小概率值的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关；
从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出家企业，然后从这家企业中随机选出家进行奖励，中型企业每家奖励万元，小型企业每家奖励万元设为所发奖励的总金额单位：万元，求的分布列和均值．
附：，．
  21.  本小题分
抛物线：，双曲线：且离心率，过曲线下支上的一点作的切线，其斜率为．
求的标准方程；
直线与交于不同的两点，，以为直径的圆过点，过点作直线的垂线，垂足为，则平面内是否存在定点，使得为定值，若存在，求出定值和定点得坐标；若不存在，请说明理由．22.  本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若在有两个极值点，，求证：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】集合中满足小于的自然数元素有，，，
所以．
故选：．
写出由集合中满足小于的自然数元素组成的集合即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
，其的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数，虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数，虚部的定义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：因为，由，可得，
反之因为，，
当为锐角时，，当为钝角时，；
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据题意知，或，由此判断必要条件与充分条件．
本题考查了三角函数求值问题，也考查了充分与必要条件的应用问题，是基础题．
 4.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，属于基础题．
判断函数的奇偶性和对称性，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用排除法进行判断即可．【解答】解：函数的定义域为，设，，则是偶函数，排除，
当时，，则，
由得，则函数在上为增函数，，排除
由得或舍，则函数在上为减函数，
即当时，取得极大值，
故本题选A．  5.【答案】 【解析】解：数列是等比数列，
则，，，仍然构成等比数列，
由，，得，
所以，，
所以，所以．
故选：．
由等比数列的性质可知，，，，仍然构成等比数列，计算即可得解．
本题考查了等比数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：根据题意可得，
设，由椭圆定义得，
以为圆心的圆与直线恰好相切于点，
，
，
，
，，
．
故选：．
根据椭圆的定义，设，得，结合圆的几何性质列方程，从而求得，然后求得．
本题考查椭圆的几何性质，勾股定理的应用，方程思想，属中档题．
 7.【答案】 【解析】解：如图，

建立如图所示空间直角坐标系，则，，，
，，设，
则，
，
，
当时，，
当时，，
，可得直线与直线所成角的余弦值的取值范围为
故选：．
把多面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，再由空间向量求解．
本题考查空间中异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 8.【答案】 【解析】解：时，，，
在上单调递减，在上单调递增，，，
时，，在上单调递减，在上单调递增，，
画出的图像如图，有四个零点即的图像与有四个不同交点，

由图可得，，是方程，即的两根，
，是方程，即的两根，
，，
则，
设，，则，
在上单调递增，
当时，，即，
所以的取值范围为．
故选：．
根据导函数判断函数的单调性，画出函数图像，将有四个零点转化为的图像与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：由直方图的性质可得，
解得，故A正确；
由直方图可知月平均用电量的众数，故B错误；
因为，
所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，
则，
解得，故C正确；
因为，，
所以月平均用电量的分位数位于区间内，故D正确．
故选：．
利用各组的频率之和为，列出方程求解，然后根据众数，中位数及百分位数的概念逐项分析即得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数、中位数和百分位数的估计，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式求最值问题，二次函数求最值，属于中档题．
利用基本不等式求最值判断，利用二次函数求最值判断．【解答】解：，，，且，，，，A正确，
，，当且仅当时，等号成立，，B错误，
，，，，，当且仅当时，等号成立，C正确，
，，，当且仅当时，等号成立，D正确，
故选：．  11.【答案】 【解析】解：设等差数列的公差为，，，
，，
解得，，
，
，，
，
，
综上可得：只有BD正确．
故选：．
设等差数列的公差为，由，，利用通项公式可得，，解得，，进而判断出正误．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：连接，，，，，
选项，平面，平面，，所以与是异面直线，所以选项错误．
选项，，所以异面直线与所成的角为，
由于三角形是等边三角形，所以，选项正确；
选项，设，根据正方体的性质可知，，
由于，，平面，
所以平面，所以到平面的距离为，
，选项正确；
选项，设点到平面的距离为，，
，解得，选项正确．

 故选：．
根据异面直线、线线角、锥体体积、点面距等知识确定正确答案．
本题考查空间几何体的性质，考查线线平行的判定，考查线线角的求法，考查线面角的求法，考查空间几何体的体积的求法，属中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由展开式的通项公式为，
令，求得，则展开式中含的项的系数是，
故答案为：．
通过二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，然后求得展开式中含的项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：设，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
设，，则，求出，，再求出，由此能求出与的夹角．
本题考查向量夹角的余弦公式、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 15.【答案】 【解析】解：显然，，，均为不超过的自然数，下面进行讨论．
最大数为的情况：
，此时共有种情况；
最大数为的情况：
，此时共有种情况；
，此时共有种情况．
当最大数为时，，故没有满足题意的情况．
综上，满足条件的有序数组的个数是．
故答案为：．
分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解即可．
本题主要考查简单的合情推理，排列与分类加法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：因为，
因为是单调递增函数，且，
所以根据复合函数的单调性，可得是单调递减函数，而，
所以在时恒成立可转化成在时恒成立，
可整理得在时恒成立，
设，
当时，的对称轴为，
此时当，恒成立，满足题意，
所以由，可得，所以，
解得，
因为，所以；
当，的对称轴为，
则，解得，
所以或，
所以或，
因为，所以或，
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
先利用复合函数的单调性判断是单调递减函数且，则题意可转化成在时恒成立，设，对称轴为，分两种情况即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 17.【答案】解：Ⅰ锐角中，，，分别为角，，所对的边，且．
利用正弦定理，
由于，
所以，
整理得，因为，
解得．
Ⅱ由于，，，
所以是等边三角形，
的面积为． 【解析】Ⅰ直接利用正弦定理和三角函数的值的应用求出结果．
Ⅱ由已知可得是等边三角形，求解即可．
本题考查正弦定理，三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属基础题．
 18.【答案】解：证明：，，，，
，
，
数列是等比数列，首项为，公比为．
由可得，
，
数列的前项的和． 【解析】由已知可得，代入化简即可证明结论．
由可得，可得，利用裂项求和方法即可得出数列的前项的和．
本题考查了数列递推关系、等比数列的定义与通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 19.【答案】证明：取的中点，连接，，
，，为的中点，
，，
又，则，
，，，平面，
则平面，平面，故平面平面．
解：连接，由可知：平面，
则直线与平面所成的角为，即，
当取到最大时，则取到最小，即，且，
故当为的中点时，直线与平面所成的角最大，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设平面的法向量为，
，则有，
令，则，，即平面的法向量，
由题意可得：平面的法向量为，
，
由图可得二面角为锐角，
故二面角的余弦值为． 【解析】根据题意证明平面，即可得结果；
根据题意可知直线与平面所成的角为，利用正切值分析可得当为的中点时，直线与平面所成的角最大，建系，利用空间向量求二面角．
本题主要考查面面垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
 20.【答案】解：根据列联表中的数据，计算得到，
即认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关；
由可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的数量比为：，
所以按分层随机抽样的方法抽出的家企业中有家中型企业，家小型企业，
选出的家企业的样本点是，，，，前者为中型企业家数，后者为小型企业家数，
故的所有可能取值为，，，．
，，，，
故的分布列为 ． 【解析】根据独立性检验计算卡方，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设；
求随机变量的所有可能取值，确定其取各值的概率，再由期望公式求期望即可．
本题考查离散型随机变量的实际应用，独立性检验，属于中档题．
 21.【答案】解：由题意可知，切线方程为，即，
由，消整理可得，
则，解得，即，
由，可得，
双曲线方程为，
把点的坐标代入可得，解得，
；
当直线不垂直轴时，设直线的方程为，，，
由，消去并整理可得，且，
，
，，
，，为直径的圆过点，
则当，与都不重合时，有，则，
则当，其中一点与重合时，也成立，
，
即，
整理可得，
即，
解得或，均满足，
当时，直线为，即恒过点，不符合题意，
当时，直线为，即恒过点，符合题意，
当直线垂直于轴是，设直线的方程为，，
由，解得，
为直径的圆过点，且，两点关于轴，在轴上，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
，
即，
解得，不合题意，即直线恒过，
，
综上直线直线恒过，
取的中点，
与，从而，
存在定点，使得，点 【解析】由点斜式设出切线方程与抛物线方程联立，由判断式等于即可求出结果；
与圆锥相交的直线过定点，设出直线方程，与圆锥曲线联立，借助韦达定理求出根与系数的关系，即可解决问题．
本题考查了抛物线的方程，双曲线的方程，直线和方程的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
 22.【答案】解：由得：，
当时，，从而，在上单调递增；
当或时，由得，，
当或时，单调递增，当时，单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当或时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：若在有两个极值点，，则，
由知或，，，于是．
，，．
则，
令，，则，
因此在上单调递减，故，
即． 【解析】求导研究导函数正负即可；
先求出极值点满足的条件，将目标转化为关于的函数求值域即可．
本题第一问考查利用导函数研究函数单调性，主要运用分类讨论的思想；第二问研究函数极值点，以及利用单调性求极值、最值，是导数问题中的综合问题．