湖南省师范大学附中2016-2017学年高二上期中考试数学（理）试题

这是一份湖南省师范大学附中2016-2017学年高二上期中考试数学（理）试题，共15页。
湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学试题－(这是边文，请据需要手工删加) 题　　答　　要　　不　　内　　线　　封　　密 　号位座____________　号场考____________　号　学____________　名　姓____________　级　班____________　级　年(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学命题人：黄祖军　周正安(必修1～5，选修2－1第1、2章)时量：120分钟　满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)得分：____________ 必考试卷Ⅰ(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．某学校为了了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级883名学生中抽取80名进行座谈，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从883人中剔除3人，剩下880人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率是A.  B.  C.  D. 无法确定2．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数，满分为100)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为A.  B.  C.  D.3．已知向量α＝(1，－3)，β＝(4，－2)，若实数λ使得λα＋β与α垂直，则λ＝A．－1  B．1  C．－2  D．24. 平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足||＋||为常数”是“M的轨迹是椭圆”的A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件5. 函数f(x)＝sin＋cos的最大值为A.  B.  C．2  D．36. 下列命题中正确的有①命题x∈R，使sin x＋cos x＝的否定是“对x∈R，恒有sin x＋cos x≠”；② “a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的充要条件；③若曲线C上的所有点的坐标都满足方程f(x，y)＝0，则称方程f(x，y)＝0是曲线C的方程；④十进制数66化为二进制数是1 000 010(2)．A．①②③④  B．①④C．②③  D．③④7. 设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是A．已知c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．已知bβ，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥aC．已知bβ，若b⊥α，则β⊥αD．已知bα，cα，若c∥α，则b∥c8. 双曲线x2－＝1位于第一象限内的点P到该双曲线的右焦点的距离为2，则由双曲线的两焦点及点P构成的三角形面积S＝A.  B．4  C．2  D．59．程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是A．－B．－C．－D. －10．已知x，y∈[－2，2]，任取x、y，则使得(x2＋y2－4)≤0的概率是A.  B.  C.  D.答题卡 题号123456789[来源:学科网ZXXK]10答案     [来源:学科网ZXXK]     
二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．双曲线－＝1的离心率e＝，其两条渐近线方程是________．12．一个多面体内接于一个旋转体，其正视图、左视图及俯视图都是一个圆的正中央含一个正方形，如图，若正方形的边长是1，则该旋转体的表面积是________．13．若椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点P到右焦点F的距离均满足－2a＋c2≤0，则该椭圆的离心率e的取值范围为________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．(本小题满分11分)从一批土鸡蛋中，随机抽取n个得到一个样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100]频数(个)1050m15已知从n个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在的土鸡蛋的概率为.(1)求出n，m的值及该样本的众数的近似值；(2)用分层抽样的方法从重量在和的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2个，其重量分别是g1 、g2，求|g1－g2|>10的概率．
15.(本小题满分12分)已知命题p：方程＋＝1表示双曲线，命题q：x∈(0，＋∞)，x2－mx＋4≥0恒成立，若p∨q是真命题，且綈(p∧q)也是真命题，求m的取值范围．
16.(本小题满分12分)已知焦点在x正半轴上，顶点为坐标系原点的抛物线过点A(1，－2)．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于两点M、N，且△MNO(O为原点)的面积为2，求直线l的方程．
必考试卷Ⅱ(满分50分)一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点P在以F为焦点的抛物线y2＝4x上运动，点Q在直线x－y＋5＝0上运动，则＋的最小值为(　　)A．4  B．2  C．3  D．6[来源:学科网]2．f(x)是定义在R的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则函数f(x)在区间[－3，3]内的零点个数的最小值是(　　)A．4  B. 5  C. 7  D．9二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．3．已知实数x，y使得x2＋4y2－2x＋8y＋1＝0，则x＋2y的最小值等于________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．4．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C.(1)求角C的大小；(2)求sin A－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小． 
5.(本小题满分12分)已知等差数列满足：a2＝3，a5－2a3＋1＝0.(1)求的通项公式；(2)若数列满足：bn＝(－1)nan＋n(n∈N*)，求的前n项和Sn.
6.(本小题满分13分)如图，已知焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)有一个内含圆x2＋y2＝，该圆的垂直于x轴的切线(左侧)交椭圆于点M，N，且⊥(O为原点)．(1)求b的值；(2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B，求证：⊥，并求||的取值范围．
湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学参考答案必考试卷Ⅰ一、选择题． 题　号1234567[来源:Zxxk.Com]8910答　案BDABCBCACD1.B2．D　【解析】记其中被污损的数字为x.依题意得甲的5 次综合测评的平均成绩为90，乙的5 次综合测评的平均成绩为(442＋x)，令(442＋x)≥90，由此解得x≥8，即x的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为＝ ，选D.3．A　【解析】λα＋β＝(λ＋4，－3λ－2)，代入(λα＋β)·α＝0，解得λ＝－1.4．B5．C　【解析】f(x)＝sin＋cos＝sin x＋cos x，知其最大值为2.6．B7．C8．A　【解析】由双曲线定义知，三角形三边分别为4，4，2，其面积值为S＝.9．C　【解析】据程序框图， 可看做是：已知a1＝＝－2，an＋1＝，求a2 016，由已知有＝－1，求出通项an＝－(或由前几项归纳)，故a2 016＝－.10．D　【解析】(x2＋y2－4)≤0等价于满足：　，即如图中的的阴影部分，故所求概率为阴影部分占正方形的面积比．二、填空题．11．y＝±x12．3π　【解析】原几何体是一个棱长为1的正方体内接于一个球，则球的直径是，故球的表面积是4π＝3π.13.　【解析】－2a＋c2≤0－2a＋a2－b2≤0即a－b≤≤a＋b，而椭圆中，a－c≤≤a＋c，故c≤bc2≤a2－c2e∈.三、解答题．14．【解析】(1)依题意可得，，从而得m＝20，n＝95.(4分)据表知该样本的众数的近似值是87.5.(5分)(2)若采用分层抽样的方法从重量在[80 , 85)和[95 , 100]的土鸡蛋中共抽取5个，则重量在[80 , 85)的个数为×5＝2；记为x，y，(6分)在[95 , 100]的个数为×5＝3；记为a，b，c，(7分)从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有(x , a)，(x , b)，(x , c)，(a , b)，(a , c)，(b , c) ，(y , a)，(y , b)，(y , c)，(x , y) 10种情况．(9分)要|g1－g2|>10，则必须是“重量在[80 , 85)和[95 , 100]中各有一个”，这样的情况共有(x , a)，(x , b)，(x , c)，(y , a)，(y , b)，(y , c) 6种．设事件A 表示“抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1－g2|>10”，则P(A)＝＝.答：从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1－g2|>10的概率为.(11分)15．【解析】p真时有：(m－2)(m－5)<0即2<m<5；(3分)q真时有： m≤＝x＋，对x∈(0，＋∞)恒成立，即m≤，而x∈(0，＋∞)时，x＋≥2＝4，当x＝2时取等号．即m≤4.(7分)由p∨q是真命题，且綈(p∧q)也是真命题得：p与q为一真一假；(9分)当p真q假时，4<m<5；当p假q真时，m≤2；(11分)综上，所求m的取值范围是(－∞，2]∪(4，5). (12分)16．【解析】(1)令抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．将点A(1，－2)的坐标代入方程，得p＝2，故所求抛物线的标准方程为y2＝4x.(3分)(2)若直线l⊥x轴，则M(1，2)，N(1，－2)，此时△MNO的面积为2，不合题设；(4分)若直线l与x轴不垂直，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，l：y＝k(x－1) (k≠0)，将其代入抛物线方程y2＝4x，并整理得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，则.(7分)于是，＝＝，(或|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝)又原点到直线l的距离为d＝，(9分)则2＝·d＝··，解得，k＝－1或1.[来源:Zxxk.Com]综上，所求直线l的方程为y＝－x＋1或y＝x－1.(12分)(或设直线方程是x＝my＋1解之)必考试卷Ⅱ一、选择题．1．C　【解析】＋的最小值为点F(1，0)到直线x－y＋5＝0的距离d＝3.2．D　【解析】f(2)＝0f(－2)＝0f(1)＝0f(－1)＝0，f(0)＝0f(3)＝0f(－3)＝0，f＝f＝f，又f＝－f，则f＝f＝0，故至少可得9个零点．二、填空题．3．－2－1　【解析】x2＋4y2－2x＋8y＋1＝0(x－1)2＋4(y＋1)2＝4，令，则x＋2y＝2cos θ＋2sin θ－1≥－2－1.三、解答题．4．【解析】(1)由正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C.因为0<A<π，所以sin A>0sin C＝cos C，又cos C≠0tan C＝1C＝.(4分)(2)由(1)知B＝－A.于是sin A－cos＝sin A－cos(π－A)＝sin A＋cos A＝2sin.(6分)由0<A<<A＋<，从而当A＋＝，即A＝时，2sin取最大值2.(8分)综上所述，sin A－cos的最大值为2，此时A＝，B＝.(10分)5．【解析】(1)令等差数列的公差为d，由a2＝3，a5－2a3＋1＝0，得，解得a1＝1，d＝2, 故的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．(5分)(2)由已知得bn＝(－1)n(2n－1)＋n，(6分)若n为偶数，结合an－an－1＝2，得Sn＝(－a1＋a2)＋(－a3＋a4)＋…＋(－an－1＋an)＋(1＋2＋…＋n)＝2·＋＝；(9分)若n为奇数，则Sn＝Sn－1＋bn＝－(2n－1)＋n＝.(12分)6．【解析】(1)当MN⊥x轴时，MN的方程是x＝－，设M，N，由⊥知△MON是等腰直角三角形，∴|y1|＝， 即点M在椭圆上，代入椭圆方程得b＝2.(3分)(2)当l⊥x轴时，由(1)知⊥，(4分)当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0，则＝3m2＝8(1＋k2)．(5分)(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0, Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝(4k2＋1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，(7分)x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝＝0，即⊥.即椭圆的内含圆x2＋y2＝的任意切线l交椭圆于点A、B时总有⊥.(9分)当l⊥x轴时，易知|AB|＝2＝.(10分)当l不与x轴垂直时，|AB|＝＝＝，设t＝1＋2k2∈[1，＋∞)，∈(0，1]，则|AB|＝＝.所以＝即k＝±时，|AB|取最大值2，＝1即k＝0时|AB|取最小值，综上|AB|∈.(13分)