湖南省岳阳市2023届高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含解析）

湖南省岳阳市2023届高三下学期第二次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B． C．0， D．

2．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．∥，∥且∥，则∥

B．⊥，⊥且⊥，则⊥

C．⊥，且⊥，则⊥

D．，，∥，∥，则∥

3．已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

4．在中国传统佳节元宵节中赏花灯是常见的活动.某单位拟举办庆祝元宵的活动，购买了A，B，C三种类型的花灯，其中A种花灯4个，B种花灯5个，C种花灯1个，现从中随机抽取4个花灯，则A，B，C三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为（    ）

A．30 B．70 C．40 D．84

5．已知函数是定义在上的奇函数，则函数的图像在点处的切线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

6．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为的双曲线的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕轴旋转一周得到的几何体，若P为C右支上的一点，F为C的左焦点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．已知函数，为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．已知函数（且）．若函数的图象上有且只有两个点关于原点对称，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

由直方图推断，下列选项正确的是（    ）

A．直方图中的值为0.38

B．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒

C．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为54

D．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒

10．已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的值域为 B．定义域为

C． D．是奇函数

11．已知拋物线的焦点与圆上点的距离的最小值为2，过点的动直线与抛物线交于两点，以为切点的抛物线的两条切线的交点为，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．当与相切时，的斜率是

C．点在定直线上

D．以为直径的圆与直线相切

12．已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（    ）

A．点到平面的距离为

B．正方体外接球的体积为

C．面截正方体外接球所得圆的面积为

D．以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于

三、填空题

13．已知角终边与单位圆相交于点，则化简得___________.

14．若的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为________.

15．若函数在区间上单调递增，则的最小值是__________．

16．定义是与实数的距离最近的整数（当为两相邻整数的算术平均值时，取较大整数），如，令函数，数列的通项公式为，其前项和为，则__________；__________.

四、解答题

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足

(1)求角C；

(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.

18．记为数列的前n项和，已知的公差为的等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)证明：.

19．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是斜边的长为的等腰直角三角形，E，F分别是棱，的中点，M是棱上一点，

(1)求证：平面平面；

(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．

20．国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格：

(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；

(2)求出关于的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；

(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

参考数据：，

21．已知函数.

(1)当时，证明：当时，.

(2)当时，对任意的都有成立，求的取值范围.

22．已知函数在处的切线的斜率为1．

(1)求的值及的最大值．

(2)证明：

(3)若，若恒成立，求实数的取值范围．

参考答案：

1．C

【分析】首先简化集合B，然后根据并集的定义得结果.

【详解】B={x∈N|x＜1}={0}，

A∪B={-1，0，1}∪{0}={-1，0，1}．

故选C．

【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

2．B

【分析】A. 利用空间直线的位置关系判断；B.利用线面垂直的性质定理判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用平面与平面的位置关系判断.

【详解】A. 因为∥，∥且∥，则∥，相交或异面，故错误；

B. 因为⊥，⊥，所以或，又⊥，所以⊥，故正确；

C. 因为⊥，且⊥，所以，相交或平行；故错误；

D. 因为，，∥，∥，则∥或相交，故错误；

故选：B

3．C

【分析】根据三角函数的定义直接求得答案.

【详解】由题意可知，

则,

故选：C.

4．B

【解析】由题可得三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种，列式计算即可.

【详解】由题意可知，三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种：

种花灯选2个，种花灯选1个，种花灯选1个；

种花灯选1个，种花灯选2个，种花灯选1个.

故不同的抽取方法有(种).

故选：B.

5．D

【分析】先由奇函数的性质求，再由导数的几何意义求切线的斜率.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，

所以，即，

所以，

所以，

所以，故，

所以，

所以函数的图像在点处的切线的斜率为.

故选：D.

6．C

【分析】根据双曲线的离心率求得双曲线的方程，求得双曲线右焦点到渐近线的距离，结合双曲线的定义求得所求的最小值.

【详解】由题意可知，，

双曲线方程为，一条渐近线方程为，

焦点到渐近线的距离为，

，与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为，

所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为.

故选：C

7．C

【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.

【详解】由f（x）在上单调，即，可得，则ω≤9；

∵为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，

根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为：，k∈N*．

要求最大，则周期最小，∴，则T；∴ω＝2k﹣1；

当时，由，则，可得，

易知在上单减，在上递增，不合题意；

当时，由，则，可得，

易知在上单减，在上递增，不合题意；

当时，由，则，可得，

易知在上单减，符合题意；

故选：C．

8．C

【分析】根据原点对称的性质，求出当时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数与只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行求解即可

【详解】当时，函数关于原点对称的函数为，即，若函数的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数与只有一个交点，作出两个函数的图象如图：

若时，与函数有唯一的交点，满足条件；

当时，

若时，要使与函数有唯一的交点，

则要满足，即，

解得故；

综上的取值范围是

故选：C

9．BC

【分析】A：根据频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1，进行求解判断即可；

B：根据众数的定义，结合频率直方图进行判断即可；

C：根据直方图，结合题意进行判断即可；

D：根据中位数的定义，结合结合频率直方图进行判断即可.

【详解】A：因为频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1，

所以，

因此本选项说法不正确；

B：分布在小组的矩形面积最大，因此众数出现在这个小组内，因此估计众数为

，因此本选项说法正确；

C：高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的小组有：，，，

频率之和为：，因此估计估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为，所以本选项说法正确；

D：设中位数为，因此有，

所以本选项说法不正确，

故选：BC

10．BC

【分析】根据函数的解析式逐个判定即可.

【详解】对A, 的值域为,故A错误.

对B, 定义域为.故B正确.

对C,当是有理数时也为有理数,当是无理数时也为无理数,

故成立.故C正确.

对D, 因为,故D错误.

故选：BC

【点睛】本题主要考查了新定义函数性质的判定,属于基础题.

11．ACD

【分析】根据题意求出p的值，判断A；根据直线和圆相切求出直线的斜率，判断B；设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，求出以为切点的抛物线的两条切线的方程，结合根与系数的关系求得点P坐标，判断C；求出弦的长以及弦的中点到抛物线准线的距离，即可判断D.

【详解】对于A，由题意拋物线的焦点与圆上点的距离的最小值为2，

即F与圆上的点的距离为2，则，A正确；

对于B，过点的动直线与相切时，斜率必存在，设l的方程为，

则，解得，B错误；

对于C，设，由可得，

联立 消掉x得，，

所以，

设在点的切线斜率分别为，则，

所以抛物线在点A点的切线方程为，即①，

同理可得在点B的切线方程为 ②，

由①②可得，将代入①得，

所以P点坐标为，即点P在定直线上，C正确；

对于D，由题意知，

的中点的横坐标为，

可得的中点到抛物线准线的距离为，

则以线段为直径的圆与抛物线C的准线相切，故D正确，

故选：ACD

12．BCD

【分析】A选项由等体积法求得点到平面的距离即可；B选项由外接球的直径为体对角线即可判断；C选项由面经过外接球球心，

求得其外接圆圆心，即可求解；D选项将球面与正方体的表面相交所得的曲线分为两类，按照弧长公式计算即可.

【详解】，设到平面的距离为，由，即，解得，故错误；

正方体外接球的半径为，外接球的体积为，故B正确；

易得面经过正方体外接球的球心，故其截外接球所得圆的半径为外接球的半径，其圆的面积为，故C正确；

如图，

球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面､面和面上；

另一类在不过顶点的三个面上，即面､面和面上.在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，

因为，则，同理，所以，故弧的长为，而这样的弧共有三条.

在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，

所以弧的长为，这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长，故D正确.

故选：BCD.

13．##

【分析】根据任意角三角函数的概念，可得，再利用诱导公式对原式化简，可得原式等于，由此即可求出结果.

【详解】因为角终边与单位圆相交于点，所以，

又

所以.

故答案为：.

14．

【分析】由的展开式中的各项系数的和为2，令x=1，求得，写出的展开式的通项，分别乘以，，再令的指数为0求得值，则展开式中的常数项可求．

【详解】解：由的展开式中的各项系数的和为2，

令，得，得．

，

的通项．

的展开式中的通项有和．

令，得，则展开式中的常数项为；

令，得，则展开式中的常数项为，

所以该展开式的常数项为80-40=40.

故答案为：．

15．-4

【分析】对函数求导可得：，函数在区间上单调递增等价于在区间上大于等于零恒成立，即在区间上恒成立，利用二次函数的图像讨论出，的关系，再结合线性规划即可得到的最小值．

【详解】 函数在区间上单调递增，

在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，其对称轴：，

当，即时，在区间上恒成立等价于： ，由线性规划可得：；

当，即时，在区间上恒成立等价于： ，由线性规划可得：；

当，即时，在区间上恒成立等价于： ，则，由于在上的范围为，则，

综上所述的最小值是-4.

【点睛】本题考查导数与函数单调性、线性规划、函数与不等式等知识，考查学生综合运用数学知识的能力，运算能力以及逻辑思维能力，属于难题．

16．     3    

【分析】根据数列新定义可知，数列重新分组可得，，且满足第组有个数，且每组中所有数之和为，即可求解.

【详解】因为

所以；

根据，

当时，，则，，

当时，，则，，

当时，，则，，

当时，，则，，

以此类推，将重新分组如下，

，

第组有个数，且每组中所有数之和为，

设在第组中，

则，可得解得，

所以，

故答案为：3;.

17．(1)；

(2)

【分析】（1）先由正弦定理得，化简整理得，再由余弦定理求得，即可求解；

（2）先由面积求得，再由角平分线得，结合平面向量得，平方整理求得，再由（1）中即可求出c的值.

【详解】（1）由正弦定理得，即，整理得，

化简得，由余弦定理得，又，则；

（2）

由面积公式得，解得，又CD是的角平分线，则，

即，则，

所以，即，

整理得，又，解得，则，

由（1）知，则.

18．(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用题意建立等式求出，然后利用，求出通项即可；

（2）先将放大为，然后裂项求和即可.

【详解】（1）因为，所以，

又因为是公差为的等差数列，所以，

所以.

当时，时，也满足上式.

所以的通项公式是；

（2）当时，，不等式成立；

当时，

.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，从而，又，由线面垂直的判定定理得平面，则，又，得平面，根据面面垂直的判定定理即可证得结论；

（2）取的中点，则，，结合（1）得平面，结合线面角的定义得是直线与平面所成角，求得，，建立空间直角坐标系，分别求出平面、的法向量，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）因为是斜边PA的长为的等腰直角三角形，所以，，

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面，又平面，∴，

又，，平面，∴平面，

因为平面，∴，

∵，F是棱PC的中点，∴，

又，平面，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（2）如图，取的中点，连接，，

则，，

由（1）知平面，∴平面，

∴是直线与平面所成角，

∴，

∴，∴，

以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则有：，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为

则，令，则，

有，令，则，

∴，

∴平面与平面夹角的余弦值为．

20．(1)答案见解析

(2)，513

(3)答案见解析

【分析】（1）根据相关系数的公式，即可代入求值，根据相关系数的大小即可作出判断，

（2）利用最小二乘法即可计算求解，

（3）根据相关关系不是确定的函数关系，而受多因素影响，即可求解.

【详解】（1）

相关系数

因为与的相关系数，接近1，所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.

（2）

所以与的线性回归方程为

又2022年对应的年份代码，当时，，

所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513.

（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由（2）所求的线性回归方程预测，理由如下（说出一点即可）：

①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；

②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；

③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式.

21．(1)证明见解析.

(2)

【分析】（1）方法1：由分析法可证得结果.

方法2：换元法求的最大值即可证得结果.

（2）设出不等号两边的函数，转化为对任意的都有成立，对参数分类讨论，分别研究两个函数的单调性、最值即可.

【详解】（1）方法1：

证明：要证，

只需证：，

即证：，

即证：，

∵

∴

∴原命题得证.

方法2：

证明：当时，，

令，则，，

∴，，

对称轴，在上单调递减，

∴，

∴，即：当时，恒成立，

即：当时，.

（2）当时，

即：对任意的都有成立，

令， ，

即：对任意的都有成立，

当时，，故.

①当时，在上单调递增，

∴，∴

在上单调递减，∴，∴

此时，

∴即，故符合.

②当时，由（1）知，，恒成立，

∴，，

∴，，即：，，

又∵在上单调递增，∴，∴

∴，

∴符合.

综述：.

【点睛】对于，恒成立求参数，可以先取特殊值确定参数的初步范围，再利用下面的两种方法.

方法1：当时，；

方法2：当时，.

求最值的方法：

方法1：分离参数求最值；

方法2：分类讨论研究函数的最值.

22．(1)；；

(2)证明见解析；

(3)

【分析】（1）由题意可得，可求出的值，然后利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值；

（2）由（1）得，令，则有，然后利用累加法可证得结论；

（3）由于，所以恒成立，则，然后分和两种情况讨论即可.

【详解】（1）函数的定义域为．

由已知得，得，解得．

此时．

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在单调递减，

所以；

（2）由（1）得，当且仅当时，等号成立，

令，则，

所以，

将上述个不等式依次相加，得；

（3）因为，若恒成立，则，

①时，显然成立

②时，由，得．

当时，单减，当时，单增，

所以在处取得极小值，即最小值，

，即恒成立，

综合①②可知，实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是先由，从而可得，然后分情况讨论即可得答案，考查数转化思想，属于较难题.