2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷（含解析）

这是一份2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  设向量，，若，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  不等式的解集为(    )A.  B.  C.  D. 5.  抛物线过点，求焦点(    )A.  B.  C.  D. 6.  长方体的对角线长为，表面积为，有一面为正方形，则其体积为(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知函数在处取得极小值，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函数，则(    )A. 上单调递增 B. 上单调递增
C. 上单调递减 D. 上单调递增9.  若，且，则(    )A.  B.  C.  D. 10.  为等差数列的前项和，，，则(    )A.  B.  C.  D. 11.  为原点，在圆上，与圆相切，则(    )A.  B.  C.  D. 12.  在、、、中任选个不同数字，其乘积能被整除的概率为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.  曲线在处切线方程为______ ．14.  若双曲线焦点在轴上，渐近线为，则离心率为______ ．15.  已知，若，则 ______ ．16.  已知函数，则在区间的最大值为______ ．17.  在中，，，，则 ______ ．18.  为上奇函数，，， ______ ．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
在直三棱柱中，，，．
求直三棱柱的体积；
求直三棱柱的表面积．20.  本小题分
已知为等比数列，其前项和为，，．
求的通项公式；
若，求的前项和．21.  本小题分
盒中有个球，分别标有数字、、、，从中随机取个球．
求取到个标有数字的球的概率；
设为取出的个球上的数字之和，求随机变量的分布列及数学期望．22.  本小题分
已知椭圆：的离心率为，直线交于、两点，．
求的方程；
记的左、右焦点分别为、，过斜率为的直线交于、两点，求的周长．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为集合，，
所以，则．
故选：．
由题意得到，利用集合的交集运算即可求解．
本题考查了集合的交集运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：由，
得


，
则，．
故选：．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数即复数的模的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：向量，，，
，可得，
．
故选：．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 4.【答案】 【解析】解：，
则，解得，
故原不等式的解集为．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的解法，即可求解．
本题主要考查不等式的解法，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：抛物线过点，
则，解得，
故该抛物线的焦点为
故选：．
根据已知条件，先求出，再结合抛物线焦点的性质，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：不妨设长方体底面为正方形，边长为，高为，
则底面的对角线为，
长方体的对角线长为，表面积为，
，解得，
长方体体积为．
故选：．
根据已知条件，结合长方体表面积、体积公式，即可求解．
本题主要考查长方体表面积、体积公式，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：，
则，
函数在处取得极小值，
，解得，
故，
，
令，解得或，
在，在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，
故，符合题意．
故选：．
根据已知条件，对求导，利用导数研究函数的单调性，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：，
令，，解得，，
当时，，
故在上单调递增．
故选：．
根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解．
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：，
，且，解得．
故选：．
根据对数式和指数式的互化可得出，然后根据解出的值即可．
本题考查了指数式和对数式的互化，一元二次方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：设等差数列的公差为，则：，解得，
．
故选：．
可设公差为，根据，即可建立关于，的方程组，然后解出，的值，然后即可求出的值．
本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了计算能力，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：为原点，在圆上，与圆相切，
则．
故选：．
由题意利用勾股定理即可求解．
本题考查了圆的切线长问题，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：在、、、中任选个不同数字，基本事件总数，
其乘积能被整除的基本事件有个，分别为：，，，，，
则其乘积能被整除的概率为．
故选：．
根据古典概型的概率公式即可求解．
本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：由可得，，
曲线在点处的切线斜率为，
所以所求切线方程为即．
故答案为：．
利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程．
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：因为双曲线焦点在轴上，一条渐近线方程为，所以，
所以双曲线的离心率为．
故答案为：．
先根据渐近线方程求得，再由求解．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：，且，，，
，，
，
，
解得或舍．
故答案为：．
利用二倍角公式得到，，则，，利用“”的代换即可求解．
本题考查了三角函数的求值问题，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：，
，
令，则，
在单调递减，在单调递增，
，，，
则在区间的最大值为．
故答案为：．
求导后得到在单调递减，在单调递增，由，，，比较大小即可求解．
本题考查了利用导数求函数的最值问题，属于中档题．
 17.【答案】 【解析】解：在中，，，，
则，即，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
 18.【答案】 【解析】解：，
则函数的周期为，
为上奇函数，
，
令，
则，解得，
令，
则，
，
所以．
故答案为：．
根据已知条件，结合奇函数的性质，以及函数的周期性，即可求解．
本题主要考查奇函数的性质，以及函数的周期性，属于基础题．
 19.【答案】解：，，，
则直三棱柱的体积为；
，．
则，解得，
故直三棱柱的表面积为． 【解析】根据已知条件，结合棱柱的体积公式，即可求求解；
根据已知条件，结合余弦定理，求出，再结合棱柱的表面积，即可求解．
本题主要考查棱柱体积、表面积的求解，考查转化能力，属于中档题．
 20.【答案】解：为等比数列，其前项和为，，．
，，
则，两式作商得，即，
得，，
则，
，
当时，，
即是公比为的等比数列，首项，
则． 【解析】利用等比数列的前项和公式，建立方程组进行求解即可．
求出的通项公式，得到是等比数列，利用等比数列的前项和公式进行求解即可．
本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式的计算，利用方程组法建立方程求出首项和公比是解决本题的关键，是中档题．
 21.【答案】解：取到个标有数字的球的概率；
由题意可知，所有可能的取值为，，，，
，，，，
故的分布列为：         故E． 【解析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解；
由题意可知，所有可能的取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
 22.【答案】解：椭圆：的离心率为，
即，且，
则，，
则椭圆为，
直线交于、两点，．
则，，
将其中一点代入，解得，，，
故椭圆的方程为．
根据可知，，
记的左、右焦点分别为、，过斜率为的直线交于、两点，则为焦点三角形，
故的周长为． 【解析】根据题意可知，，且，直线交于、两点，则，，联立方程，求解即可；
根据可知，，为焦点三角形，求解即可．
本题考查椭圆的标准方程，椭圆的基本性质的应用，属于中档题．