黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com2020年高三学年模拟考试数学试卷（理工类）本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集运算即可.【详解】解：，
∴.
故选：C.【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题.2. 在复平面内，复数对应点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，求出点的坐标得答案.【详解】解：∵，
∴对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3. 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】逐项分析各选项中函数的奇偶性，及其在区间上的单调性，结合奇偶性可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数的定义域为，，该函数为偶函数，且在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减；对于B选项，函数的定义域为，，该函数为偶函数，当时，，所以，函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减；对于C选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数；对于D选项，函数的定义域为，，该函数为偶函数，当时，，该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉基本初等函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.4. 数列是等差数列，且，，那么（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由已知，可求出的第一项和第三项，从而可求出公比，进而可知，则可求出的值.【详解】解：设，则是等差数列，设公差为.当时，，当时，，则，所以，即，所以.故选:B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式.本题的关键是由已知条件求出等差数列的公差.5. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（   ）A. 残差平方和变小 B. 相关系数变小C. 相关指数变小 D. 解释变量与预报变量的相关性变弱【答案】A【解析】【分析】由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有点偏离直线远，去掉点，变量与变量的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.6. 函数在处的切线方程是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求得切点坐标与导函数，根据导数的几何意义可求得切线斜率，再由点斜式即可得解.【详解】函数，当时，，所以切点坐标为，则，由导数几何意义可知切线斜率为，由点斜式可得切线方程为，化简可得，故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，曲线切线方程的求法，属于基础题.7. “克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到，得到即终止运算，己知正整数经过次运算后得到，则的值为（    ）A. 或 B. 或 C.  D. 或或【答案】A【解析】【分析】设经过第次运算后变为，可知，，，，，经过逆向运算，逐步推导可依次得出、、、，并对分奇数和偶数两种情况分类讨论，进而可求得的值.【详解】设经过第次运算后变为，可知，，，，，则，，若为奇数，则，得，不合乎题意，所以，为偶数，且.若为奇数，则，得，不合乎题意；若为偶数，则.若为奇数，则，可得；若为偶数，则.综上所述，或.故选：A.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，考查了分类讨论思想的应用，利用逆向思维逐项推导是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.8. 小李和小王相约本周六在14：00到15：00进入腾讯会议室线上交流，假设两人在这段时间内的每个时刻进入会议室是等可能的，先到者等候另一人10分钟，过时即离去.则两人能在会议室相遇的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，画出几何关系示意图，即可由对应面积比求得两人能在会议室相遇的概率.【详解】记两人能在会议室相遇为事件A，以14：00作为计算时间起点，甲在第分钟到达，乙在第分钟到达，则所有可能表示的区域为，，则几何关系如下图所示：对应事件总面积为，阴影部分面积为，所以两人能在会议室相遇的概率为，故选：B.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，根据题意画出几何图形，由面积比即可求解，属于中档题.9. 某程序框图如图所示，若输入的、分别为5、3，则输出的（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题意运行程序框图，注意变量的取值变化，即可得解.【详解】由题意运行该框图：，，，此时；，，，此时；输出.故选：A.【点睛】本题考查了程序框图的求解，属于基础题.10. 已知分别是双曲线的左右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若，且周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接，连接、，由题意转化条件得，进而可得，周长可转化为，求出的最小值后即可得，化简即可得解.【详解】设椭圆半焦距为，取的中点，连接，连接、，如图所示：由平面向量线性运算法则可得，因为，所以即，所以，，又的周长为，所以当取最小值时，的周长最小，当、、三点共线时，取最小值，且，所以，化简得，所以.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用与离心率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.11. 已知数列，，则数列的前100项和为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由通项公式可知，的偶数项为0，从而可得，结合分组求和的思想以及等差数列的前项和公式即可求出前100项和.【详解】解：由题意知， 当时，；当时，，所以数列的前100项和 .故选:B【点睛】本题考查了正弦函数值，考查了等差数列求和，考查了分组求和.本题的关键是结合正弦函数的性质对数列并项求和.对于数列求和问题，常见的思路有公式法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等.12. 已知中，长为2的线段为边上的高，满足：，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】分别在、上取点、，使得，连接、、，转化条件得，由平面向量加法的平行四边形法则可得，，结合平面几何的知识可得、分别为、的中点，，再由余弦定理即可得解.【详解】分别在、上取点、，使得，连接、、，如图所示：线段为边上的高，，，，，，由平面向量加法的平行四边形法则可得，，四边形为菱形，平分角，，，为的中点，、分别为、的中点，，又，点为的中点，即与点重合，在中，,.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数乘及加法的平行四边形法则的应用，考查了余弦定理的应用与运算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. =______.【答案】【解析】【分析】根据被积函数（）表示一个半圆，利用定积分的几何意义即可得解.【详解】被积函数（）表示圆心为，半径为2的圆的上半部分，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了利用定积分的几何意义来求定积分，在用该方法求解时需注意被积函数的在给定区间内的函数值符号，本题属于中档题.14. 直线过抛物线焦点，交抛物线于点（点在轴上方），过点作直线的垂线，垂足为，若垂足恰好在线段的垂直平分线上，则直线的斜率为_______【答案】【解析】【分析】由垂直平分线的性质和抛物线的定义可得为等边三角形，结合三角形内角和的特征可得直线的倾斜角为，进而可得结果.【详解】如图所示，∵恰好在线段的垂直平分线上，∴，由抛物线的定义可得，∴为等边三角形，即，又∵，可得，∴，易得，即直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了抛物线上点到焦点的距离和到准线距离相等这一性质的应用，属于中档题.15. 新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药__________（填“会”或者“不会”）对人体产生副作用.【答案】不会【解析】【分析】由题意，此药服药后每经过12小时在体内的含量构成等比数列，求经过n个12小时后体内药物含量的和，取极限即可判断.【详解】由题意第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量，经过24小时后，体内药物含量，以此类推，一次服药后体内药物含量构成以为公比的等比数列，即，所以第次服药后，体内药物的含量为：，当时，药在体内的含量无限接近1000，该药在人体内含量不超过1000毫克，不会产生副作用.故答案为：不会【点睛】本题以实际问题为载体，主要考查了等比数列数列的通项公式，等比数列的求和公式，无限逼近的思想，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档.16. 在三棱锥中，，二面角、、的大小均为，设三棱锥的外接球球心为，直线交平面于点，则三棱锥的内切球半径为_______________，__________【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】作平面，垂足为，则由已知是内心，由直角三角形的性质求得内切圆半径从而可得，由此用体积法求得内切球半径，过斜边中点作平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，只是要确定在平面的哪一侧，可分类讨论，同时由垂直得平行，从而得共线，求出外接球半径，求得后可得结论．【详解】如图，作平面，垂足为，过作于，连接，由平面，平面，得，同理，又，所以平面，而平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，所以，　　　　　图1又面角、、的大小均为，所以到三边距离相等，点到的距离也相等，所以是的内心，因为，所以，，所以，从而，，，， ，，，所以三棱锥的全面积为，设内切球半径为，则，所以．设是中点，则是外心，所以平面，所以，则共线，在直角中，以为轴建立平面直角坐标系，由，，∴，设三棱锥外接球半径为，即，若在图1位置所示，由直角梯形和直角得（*），解得与（*）式不合，图2若如图2位置所示，则，解得，此时，∴，∴．故答案为：；．【点睛】本题考查二面角，考查三棱锥的内切球、外接球问题．本题解题一个关键是由三个侧面与底面所成二面角相等，得顶点在底面上的射影是底面三角形内心，第二个关键求内切球半径的解法是体积法，第三个关键是外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17. 函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据五点作图法和图象，求正弦型函数的解析式.（2）利用两角和与差公式求解.【详解】解：（1）由图像可知,则，代入点，得，得，由，得 ，故.（2）由题意知,得，由，则，则， .【点睛】本题考查了由函数的图象求正弦型函数的解析式，利用两角和差公式求值及角变换技巧.18. 如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，底面，点分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；是的中点【解析】【分析】（1）由底面，可得，再由，利用线面垂直的判定定理得到平面，根据平面，由面面垂直的判定定理证明即可. （2）由两两垂直，以为坐标原点，分别以的正方向为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设，表示的坐标，根据直线与平面所成的角的余弦值为，由求解.【详解】（1）因为底面，底面，所以，易知，所以平面，..因为平面，所以平面平面（2）因为两两垂直，所以以为坐标原点，分别以的正方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，由，得，不妨设，则，所以，设，则，由题知：，即，解得，所以在线段上存在点为PB的中点，使得直线与平面所成的角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化以及向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于中档题.19. 函数（1）求证：函数在上单调递增；（2）若为两个不等的正数,试比较与的大小,并证明.【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；【解析】【分析】(1)求导化简证明导函数大于等于0即可.(2)利用作差法,化简可得,再构造函数,根据(1)中所得的单调性证明即可.【详解】（1）在上单调递增.（2）不妨设=令,设,由（1）知在上单调递增,,又,.【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调性,以及构造函数与作差法分析大小关系的方法.属于中档题.20. 已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出的值，利用椭圆的离心率公式得到，的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出，的值，将，的值代入椭圆的方程即可；（2）设的方程代入椭圆方程，利用确定，，三点之间的关系，利用点在椭圆上，建立方程，从而可求实数取值范围．【详解】（1）以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切根据点到直线距离公式可得：椭圆的离心率为椭圆C的方程为：（2）由题意直线斜率不为，设直线：得由得，设，由韦达定理点在椭圆上得①直线与圆没有公共点，则，.②由①②可得：【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和直线与椭圆位置关系问题，解题关键是掌握圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决．21. （1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动.月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加.社团活动积极分子甲同学参加了活动.①第一个月有18个中签名额.甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签.求这三名同学同时中签的概率.②理学社设置了第()个月中签的名额为，并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签，则活动立刻结束.求甲同学参加活动时间的期望.（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动.报名和抽签时间与（1）中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中.每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同.出版集团设置了第()个月中签的概率为，活动进行了个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于个月.【答案】（1）①②（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）①设甲乙丙中签为事件，则，计算得到答案.②甲参加活动的时间的可能取值为，计算概率得到数学期望.（2）设甲中签为事件，则，，利用错位相减法得到，得到证明.【详解】（1）①设甲乙丙中签为事件，则.②，故，则甲参加活动时间的可能取值为，则；；；.则甲参加活动的时间的期望为.（2）设甲中签为事件，则，设，甲在第个月中中签的概率为，则甲在事件A发生条件下，第个月中中签的概率为，则甲在事件A发生的条件下，甲参加活动时间的均值为，设，则，所以，，所以.【点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，错位相减法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）,以原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线交于、两点.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若,求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)相加消去参数可得直线的普通方程,对两边乘以再根据极坐标与的关系化简可得曲线的直角坐标方程.(2)将直线写成过的标准直线参数方程,再联立圆的方程化简求得关于的二次方程,进而根据的几何意义,结合韦达定理求解即可.【详解】（1）因为,相加可得直线的普通方程为,.又,即,化简可得曲线的直角坐标方程.（2）直线的参数方程可化为（为参数）,代入曲线可得,化简可得,由韦达定理有.所以【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标方程的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题.23. 已知函数和函数.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）时，函数，分类讨论，即可求解；（2）由绝对值的三角不等式，求得，由指数函数的性质，求得，根据题意，得到的值域是的值域的子集，列出不等式，即可求解.【详解】（1）时，函数，当时，，无解；当时，，；当时，恒成立，；综上，的解集为.（2）由，，由对任意，都存在，使得成立，可得的值域是的值域的子集，即，∴实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，绝对值三角不等式的应用，以及方程的有解问题的求解，着重考分类讨论思想，查推理与运算能力.