黑龙江省实验学校2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析

这是一份黑龙江省实验学校2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析，共25页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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2020年高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1.已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
解二次不等式求得集合A，根据对数函数的单调性求得集合B，然后确定出集合，进而可得真子集的个数．
【详解】由题意得，
，
∴，
∴的真子集的个数为个．
故选C．
【点睛】一个含有个元素的集合的子集个数为个，真子集的个数为（）个，非空子集的个数为（）个，非空真子集的个数为（）个．
2.设且，“z是纯虚数”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件条件 D. 即非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分、必要条件的定义，结合“z是纯虚数”“”二者关系，即可求解.
【详解】z是纯虚数,则成立，当时，，即，z不一定是纯虚数，
“z是纯虚数”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查纯虚数的特征，属于基础题.
3.如图是正态分布的正态曲线图，下面个式子中：①；②；③；等于图中阴影部分面积的个数为（ ）注：

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正态分布的正态分布曲线图，知正态曲线的对称轴是，欲求图中阴影部分面积，只须求，再结合对称性进行代换即可求得答案.
【详解】
图中阴影部分的面积为
根据对称性可知阴影部分的面积为
①③正确，
故选：C.
【点睛】本题考查了正态曲线的性质，深刻理解其性质是解决问题的关键，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
4.等比数列的前项和为，若成等差数列，则的公比等于
A. 1 B. C. - D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】因成等差数列，
所以，选C
5.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.
【详解】因为，所以是偶函数，排除C和D.
当时，，，
令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除B.
故选：A
【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.
6.如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
用，表示，由，，三点共线得出，的关系，消去，得到关于的函数，利用导数求出的最小值．
【详解】解：．
∵，，三点共线，
∴．即．由图可知．
∴．
令，得，
令得或（舍）．
当时，，当时，．
∴当时，取得最小值 .
故选D．
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．
7.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S的值是

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果．
【详解】由程序框图可知，输入，，，
第一次运算：，；
第二次运算：，；
第三次运算：，；
第四次运算：，；
第五次运算：，；
第六次运算：，；
第七次运算：，；
第八次运算：，；
第九次运算：，；
第十次运算：，，
综上所述，输出的结果为，故选B．
【点睛】本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．
8.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则cos∠APA1的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，则AOPM，从而A1P＝C1M，由此能求出cos∠APA1的值.
【详解】
解：如图，连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，
面，为底面A1B1C1D1内一点，
∴cos∠APA1，
所以当取最小值时，cos∠APA1有最小值，
且E，F分别为B1C1，C1D1的中点，分别取和的中点，，
则有，进而得到面，又AP∥平面EFDB，则点必在上，
明显地，当点在上时，取最小值，此时取最小值，cos∠APA1有最小值，，此时，如下图，

设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，
E，F分别为B1C1，C1D1的中点，又点P是底面A1B1C1D1内一点，
且AP∥平面EFDB，且面面于，
，又，，四边形为平行四边形
∴AOPM，又 E，F分别为B1C1，C1D1的中点，，且，
，又，∴A1P＝C1M，
∴cos∠APA1，即cos∠APA1的最小值是.
故选：C.
【点睛】本题考查角的余弦函数值的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
9.若变量、满足约束条件，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，并设，平移直线，观察该直线在轴上截距的变化，找到使得目标函数取得最小值时的最优解，代入计算即可.
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，得，则点的坐标为，
设，平移该直线，当直线经过顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，则.
故选：B.
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
10.已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设的坐标为，用导数表示点处切线斜率，再由两点坐标表示斜率，由此可求得，即点坐标，写出左焦点坐标，由双曲线定义求得，从而可得离心率．
【详解】解析：设的坐标为，由左焦点，函数的导数，
则在处的切线斜率，
即，得
则，设右焦点为，
则，即，
双曲线的离心率．
故选：D．
【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查导数的几何意义．考查双曲线的定义．解题关键是把切线的斜率用两种方法表示，从而可求得结论．
11.如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.
点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.
12.已知不等式对恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将不等式变形,通过构造函数,求导数后,结合函数的单调性即可得解.
【详解】不等式对恒成立
可变形为,
即对恒成立
设
则
当时,,即在时单调递增
当时,,即在时单调递减
因而在上恒成立即可
当时,
而当时(因四个选项都小于0,所以只需讨论的情况)

因为在时单调递减,若
只需
不等式两边同取自然底数的对数,可得
当时,
化简不等式可得
只需
令,
则,令
解得
当时, ,则在内单调递增
当时, ,则在内单调递减
所以在处取得最大值,
故
所以实数的最小值为
故选:C
【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．
【答案】或
【解析】
【分析】
分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.
【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；
设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；
故答案为：或
【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.
14.已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，．
【详解】向量，，，，
若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，
即，且，
求得，且．
【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．
15.若函数f（x），恰有2个零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）
【解析】
【分析】
分四种情况讨论当a≤0时，当0＜a＜2时，当a＝2时，当a＞2时，图象使得符合函数f（x）有两个零点．
【详解】当a≤0时，不满足题意，
当0＜a＜2时，要使函数函数f（x）恰有2个零点，即⇒，
当a＝2时，ex﹣2=0，得到x=ln2满足x＜1，此时得到x=4，共有2个零点，满足题意，
当a＞2时，a2＞2a＞4，要使函数f（x）恰有2个零点，即e﹣a≤0．所以a≥e，
综上所述：实数a的取值范围是[，1）∪{2}∪[e，+∞）．
故答案为：[，1）∪{2}∪[e，+∞）．
【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．
16.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，再分析其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
【详解】解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，
每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；
则有种情况，
若甲辅导数学，有种情况，
则数学学科恰好由甲辅导的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查古典概型的概率，涉及排列组合的应用，属于基础题．
三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且
.
（1）若，求角C的大小.
（2）若AC边上的中线BM的长为2，求△ABC面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求，结合范围，可得，利用三角恒等变换化简可得，进而结合范围，可得C的值；
（2）延长BM到D，使得BM＝MD，连接AD，在△ABD中，由余弦定理，基本不等式可求得，进而根据三角形面积公式即可求解.
【详解】解：（1）由于
可得：
所以，可得
所以由，可得
由，可得
可得：
可得，整理得，可得
因为，可得，可得
可得
（2）延长BM到D，使得BM＝MD，连接AD
在△ABD中，有
由余弦定理可得，即
可得，可得，当且仅当时取等号
可得△ABC的面积，当且仅当时取等号，即△ABC面积的最大值是.

【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题.
18.如图，在直三棱柱中，，，，动点满足，当时，.

（1）求棱的长；
（2）若二面角的大小为，求的值.．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量化简线线垂直条件，就是计算其数量积为零：设，当时，有解得，即棱的长为.（Ⅱ）先求平面平面的一个法向量为，而平面的一个法向量为，再根据两法向量夹角与二面角关系列等量关系：
，结合，解得.
试题解析：（1）以点为坐标原点，分别为轴，
建立空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，，，
当时，有
解得，即棱的长为.
（2）设平面的一个法向量为，
则由，得，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，
又平面与轴垂直，所以平面的一个法向量为，
因二面角的平面角的大小为，
所以，结合，解得.
19.随着网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如下表所示：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
时间代号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
实体店纯利润（千万）
2
2.3
2.5
2.9
3
2.5
2.1
17
1.2

根据这9年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254；根据后5年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985；
（1）如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案：
方案一：选取这9年的数据，进行预测；
方案二：选取后5年的数据进行预测.
从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适.
附：相关性检验的临界值表：

小概率
0.05
0.01
3
0.878
0.959
7
0.666
0.798

（2）某机构调研了大量已经开店店主，据统计，只开网店的占调查总人数的，既开网店又开实体店的占调查总人数的，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求只开实体店的人数的分布列及期望.
【答案】（1）选取方案二更合适（2），分布列见解析
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据的特征及相关系数绝对值的大小可判断方案二更合适.
（2）设只开实体店的店主人数为，则服从二项分布，利用公式可得分布列及数学期望.
【详解】（1）选取方案二更合适，理由如下：
①中介绍了，随着网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击，从表格中的数据可以看出从2014年开始，纯利润呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据.
②相关系数越接近1，线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值，我们没有理由认为与具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值，所以有的把握认为与具有线性相关关系.
（仅用①解释得3分，仅用②解释或者用①②解释得6分）
（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位，开网店的概率为，只开实体店的概率为，
设只开实体店的店主人数为，则，
，，
，，
，，
所以，的分布列如下：

0
1
2
3
4
5








∴，故.
【点睛】（1）相关系数越接近1，线性相关性越强；
（2）在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．
20.已知点（1，e），（e，）在椭圆上C：1（a＞b＞0），其中e为椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l经过C的上顶点且l与抛物线M：y2＝4x交于P，Q两点，F为椭圆的左焦点，直线FP，FQ与M分别交于点D（异于点P），E（异于点Q），证明：直线DE的斜率为定值.
【答案】（1）y2＝1；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由椭圆过两个点及e与a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；
（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线PF的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得点D的坐标，同理可得E的坐标，求出直线DE的斜率可得为定值.
【详解】解：（1）由题意可得解得：a2＝2，b2＝1，
所以椭圆的方程为：y2＝1；
（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：y＝kx+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立直线l与抛物线的方程，整理可得：y2﹣y+1＝0，△＝1﹣k＞0即k＜1，且k≠0，
y1+y2，y1y2，
由（1）可得左焦点F（﹣1，0），所以直线FP的方程为：y（x+1），
联立直线PF与抛物线的方程：整理可得：y2y+4＝0，所以y1yD＝4，所以yD，
所以D的坐标（，），
同理可得：E的坐标（，），
所以kDE1，
所以可证得直线DE的斜率为定值1.
【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与抛物线的综合，属于中档题.
21.设函数，.
（1）若，讨论的零点个数；
（2）证明：.
【答案】（1）当时，有唯一零点；当时，有两个零点；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导数，求得当，函数有唯一的零点；
当，利用导数求得函数的单调性与最值，结合最值，即可求解.
（2）令，求得导数，令，得到在有唯一零点，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，则，
①当，则函数，此时有唯一的零点；
②当，令，可得，




-
+




所以，最多两个零点，
当时，可得且，所以，
所以，故时，，
所以在有一个零点；
当时，，所以有一个零点.
综上可知，当时，有唯一零点；当时，有两个零点.
（2）令，
则，
令，可得在是增函数，
且（，
所以在有唯一零点，且，
当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数，
故，且，
所以，∴，
所以成立.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
22.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C2的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C2的极坐标方程；
（2）设曲线C1与曲线C2的交点分别为A，B，M（﹣2，0），求|MA|2+|MB|2的最大值及此时直线C1的倾斜角.
【答案】（1）ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1＝0；（2）最大值10，
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果.
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果.
【详解】解：（1）曲线C2的参数方程为（φ为参数），
转换为直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝3.
转换为极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1＝0.
（2）把直线C1的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），代入（x+1）2+（y﹣1）2＝3，
得到（﹣2+tcosα+1）2+（tsinα﹣1）2＝3，
整理得t2﹣2（sinα+cosα）t﹣1＝0，
所以t1+t2＝2（cosα+sinα），t1•t2＝﹣1，
则：|MA|2+|MB|24（1+2sinαcosα）+2＝4sin2α+6，
当时，|MA|2+|MB|2的最大值10.
此时直线C1的倾斜角为.
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.
23.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值记为，设，，且有.求的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案；
（2），，在乘开，利用基本不等式即可.
【详解】解（1）因为
从图可知满足不等式的解集为.

（2）由图可知函数的最小值为，即.
所以，从而，
从而

当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为.
【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.