湖北省八校（黄冈中学、华师一附中、襄阳四中、襄阳五中、荆州中学等）2020届高三下学期第二次联考数学（文）试题 Word版含解析

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2020届高三八校第二次联考文科数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，化简复数，对应复平面内的点的坐标，即可求解.

【详解】由题意，根据复数的运算可得复数，

则z对应点在第二象限，

故选B.

【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.

2. 已知集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，分析A集合为大于等于0的偶数集，求解B集合，计算补集，再求交集.

【详解】集合，因为集合A为大于等于0的偶数集，集合或，

所以，.

故选：C.

【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于基础题.

3. 已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（    ）

A. 10 B. 20 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由焦距可求得，进而得到；由椭圆定义可求得结果.

【详解】       

由椭圆定义知：

的周长为

故选：

【点睛】本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即.

4. 已知向量是单位向量，，且，则（    ）

A. 11 B. 9 C. 11或9 D. 121或81

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，由，可知两向量的夹角为0或π，利用向量数量积求模长，计算可求解.

【详解】由题意，因为，则两向量的夹角为0或π，

则有，

则或9.

故选：C.

【点睛】本题主要考查向量数量积以及向量模长的运算，属于基础题.

5. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，由指数函数单调性及对数函数单调性，分别比较与大小关系，即可求解.

【详解】∵，

.

故.

故选：A

【点睛】本题考查指数式对数式比较大小问题，属于基础题.

6. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使这三个数之和等于15的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，列举三个数之和为15的所有情况，根据古典概型计算概率.

【详解】从三个阳数中随机抽取三个数共有10种取法，

合题意的有2种：和，

由此可得所求概率为.

故选：B

【点睛】本题考查古典概型的计算，属于基础题.

7. 设x，y满足约束条件，目标函数，则（    ）

A. z的最大值为3 B. z的最大值为2

C. z的最小值为3 D. z的最小值为2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，由约束条件画出可行域，转化目标函数，利用截距最小求得目标函数的最值.

【详解】由题意，根据约束条件，作出可行域，如图所示：

，作图可得直线

过点时目标函数在y轴上的截距最小，进而z有最大值2.

故选：B

【点睛】本题考查线性规划问题，当线性约束条件为开放区域时，取得最值的有可能是顶点或者边，需谨慎思考，本题属于中等题.

8. 已知函数，，则函数的值域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角恒等变化，利用两角和余弦公式、二倍角公式、辅助角公式，化简函数得，再根据，求得，由三角函数性质即可求解值域

【详解】当时，，

∴.

故选：B.

【点睛】本题考查三角函数求值域问题，考查三角恒等变换，属于基础题.

9. 已知函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，，则使不等式成立的x的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，分析函数的单调性及连续性，根据时函数解析式，求得，化简不等式，利用函数单调性解抽象函数不等式，得到，再解对数不等式即可求解.

【详解】当时，是增函数且，

又函数是定义在R上的奇函数，则满足，

又函数在R上是连续函数，所以函数在R上是增函数，

且，进而原不等式化为，

结合的单调性可得，所以，

即原不等式的解集为，

故选：B.

【点睛】本题考查函数的性质综合应用，考查利用函数单调性解不等式，考查转化与化归思想，属于中等题型.

10. 设直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，与圆相切于点P，且P位于第一象限，O为坐标原点，则的面积的最小值为（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，设出直线与坐标轴的交点坐标，，利用直线方程截距式列出方程并化简方程，再根据基本不等式求出，代入三角形面积公式，即可求解三角形面积的最小值.

【详解】依题意，设，，直线l与圆相切于点P，P位于第一象限

则直线过一、二、四象限，即，，

则直线方程为，化简得，

直线与圆相切，故圆心到直线的距离，

，

∴，当且仅当时等号成立.

∴.即三角形面积最小值为1

故选：A.

【点睛】本题考查直线的截距式方程，考查基本不等式，综合性较强，属于中等题型.

11. 如图所示，三棱锥的外接球的半径为R，且PA过球心，围绕棱PA旋转60°后恰好与重合，若，且三棱锥的体积为，则（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，作于H，构造平面，使平面，根据二面角概念，得到，可求边长，再根据锥体体积公式，将三棱锥拆成两个小三棱锥的体积，代入即可求解.

【详解】

由题意，过点B作于H，连接CH，如图所示，

则依题意，围绕棱PA旋转60°后恰好与重合，

则有，且

进而可得，是正三角形，

由PA过球心，则,

在中，，，，

,

则有 即

则有

由平面

则，

解得.

故选：D

【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查锥体体积公式，考查计算能力，属于中等题型.

12. 已知椭圆和双曲线，点P是椭圆上任意一点，且点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为定值，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，设P点坐标为，满足椭圆方程，得，再根据双曲线方恒列出渐近线方程，表达点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为使之为定点则 系数为零，再计算离心率.

【详解】设，则有，即

双曲线的两渐近线方程为，

则有

依题意，要使得该式子为定值，则的值与 无关，

则必须，则

.

故选:A.

【点睛】本题考查双曲线方程渐近线方程，考查离心率问题，属于中等题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若倾斜角为的直线l与曲线相切于点，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，利用导数几何意义，直线l的斜率等于曲线在点处的导数，计算即可求解.

【详解】根据题意，曲线，其导数，

∴，，

则 ,

解得.

故答案为：

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.

14. 若等差数列的前n项的和为，且满足，，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，利用等差数列性质，求得，再根据，即可求解.

【详解】由等差数列的性质可知：，

∴，

∴.

故答案为：

【点睛】本题考查等差数列性质，属于基础题.

15. 已知在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则实数b的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，化简式子，得到，即，进而A为钝角，利用，即可求解.

【详解】由，即

得 ，则有，则有，

进而A为钝角，且

又

结合，则有

解得.

故答案为：

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查计算能力，属于中等题型.

16. 如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，点C满足，且在平面内运动，则有以下几个命题：

①当时，点C的轨迹是抛物线；

②当时，点C的轨迹是一条直线；

③当时，点C的轨迹是圆；

④当时，点C的轨迹是椭圆；

⑤当时，点C的轨迹是双曲线.

其中正确的命题是__________.（将所有正确的命题序号填到横线上）

【答案】②③

【解析】

【分析】

根据题意，分别验证和时C点的轨迹，当时，作斜线段AB的中垂面，与平面的交线为一条直线，即为C点轨迹；当时，作B在平面内的射影为D，

连接BD，CD，在平面内建立平面直角坐标系，求C点轨迹方程，根据轨迹方程即可判断.

【详解】当时，，过AB的中点作线段AB的垂面，

则点C在与的交线上，即点C的轨迹是一条直线；

当时，，设B在平面内的射影为D，

连接BD，CD，

设，，则，

在平面内，以AD所在直线为x轴，以AD的中垂线为y轴如图建立平面直角坐标系，

设，则有

则，，

，

∴，

化简可得.

∴C的轨迹是圆.

故答案为：②③

【点睛】本题考查两个平面位置关系，考查轨迹方程求法，考查计算能力，综合性较强，属于难题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 已知数列是递增的等比数列，且，.

（l）求数列的通项公式；

（2）设为数列前n项和，，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题意，列方程，求解，根据等比数列递增，即可求解通项公式.

（2）由（1）问计算前n项和，则可求得，再运用裂项相消法即可求解.

【详解】（1）设等比数列的公比为q，所以有，

联立两式可得或者

又因为数列为递增数列，所以，所以

数列的通项公式为.

（2）根据等比数列的求和公式，有

，，

，

∴.

【点睛】本题考查（1）等比数列基本量的计算，（2）裂项相消法求和，考查计算能力，属于中等题型.

18. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示：

（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润(单位：百万元)与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2020年4月份的利润；

（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料的使用寿命不同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：

经甲公司测算平均每件新型材料每月可以带来6万元收人入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A型号材料每件的采购成本为10万元，B型号材料每件的采购成本为12万元.假设每件新型材料的使用寿命都是整月数，且以频率作为每件新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每件新型材料产生利润的平均值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？

参考数据：，

参考公式：回归直线方程，其中.

【答案】（1）线性回归方程为，利润为33百万元；（2）应该采购A型新材料.

【解析】

【分析】

（1）根据题设的折线图中的统计数据，求得其平均数，以及回归系数和，求得回归直线的方程，代入时，即可作出预测；

（2）由频率估计概率，求得每件A，B型新材料可产生的利润的平均值，即可得到结论.

【详解】（1）由题意，根据题设的折线图可知，统计数据共有6组，

即，，，，，，

计算可得，，

所以，

，

所以月度利润与月份代码之间的线性回归方程为.

当时，可得.

故预计甲公司2020年4月份的利润为33百万元.

（2）由频率估计概率，每件A型新材料可使用1个月，2个月，3个月和4个月的概率，

分别为0.2，0.35，0.35和0.1，

所以每件A型新材料可产生的利润的平均值为

(万元).

由频率估计概率，每件B型新材料可使用1个月，2个月，3个月和4个月的概率，

分别为0.15，0.2，0.4和0.25，

所以每件B型新材料可产生的利润的平均值为

(万元).

因为，所以应该采购A型新材料.

【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，以及数学知识在实际生活中的应用，其中解答中认真审题，结合公式准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

19. 已知三棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，，为上一点，且平面.

（1）求证：；

（2）过作一平面分别交， ， 于，，，若四边形为平行四边形，求多面体的表面积.

【答案】（1）证明见解析.（2）

【解析】

【分析】

（1）由线面垂直的判定定理，证得平面，再利用性质定理，即可证得，

（2）由线面垂直的判定定理和性质定理，得到，在中，求得，进而得到，即，再利用线面平行的性质定理得到，进而得到四边形为矩形，同理求得，结合面积公式，即可求解.

【详解】（1）由，所以，

由平面，平面，可得，

又由，且平面，平面，所以平面，

又因为平面,所以.

（2）在等腰直角中，，所以，

又因为，可得平面，所以.

等腰中，由，可得，

又中，，，所以，

而，可得，故，

因为四边形为平行四边形，所以，可得平面，

又平面，且平面平面，所以，

由，可得，且有，

由平面，可得，

进而得到，所以四边形为矩形，

同理可得，且，

可得，，

，.

所以所求表面积为.

【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质，严密的逻辑推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

20. 已知直线与抛物线交于，两点，线段垂直平分线交轴于， 为线段的中点.

（1）求点的纵坐标；

（2）求面积的最大值及此时对应的直线的方程.

【答案】（1）纵坐标为；（2）面积的最大值为，直线的方程为.

【解析】

【分析】

（1）设，，得到，，结合斜率公式得到，再根据，即可求解；

（2）设的方程为，求得，联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）设，，线段的中点，

由，，可得，，

所以，

又由，则，解得，

即点点的纵坐标1.

（2）设的方程为，其中与轴交点为，中点，

所以，即，，

由消去，得到，则，

所以，

又设到直线的距离为，则，

所以.

因为，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时，即，

进而可求得直线的方程为.

【点睛】本题主要考查抛物线标准方程、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

21. 已知函数(，).

（1）当时，若函数在上有两个零点，求的取值范围；

（2）当时，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）.（2）存在，的取值集合为.

【解析】

【分析】

（1）将代入，求得函数的导数，当时显然不成立，当时，利用零点的存在定理，即可求解的结论；

（2）当时，设，由，进而条件转化为不等式对恒成立，得到是函数的最大值，也是函数的极大值，故，当时，利用导数得到不等式恒成立，即可求解.

【详解】（1）当时，，()，

当时，，在上单调递增，不合题意，舍去；

当时，，，

进而在上单调递增，在上单调递减，

依题意有，，，解得，

又，且，在上单调递增，

进而由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点；

下面先证()恒成立，令，则，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

进而，∴，∴，

可得，

若，得，

因为，则，即当时，取，有，

即存在使得，

进而由零点存在定理可知在上存在唯一零点；

（2）当时，存在，使得不等式恒成立.

证明如下：

当时，设，则，

依题意，函数恒成立，

又由，进而条件转化为不等式对恒成立，

所以是函数的最大值，也是函数的极大值，故，解得.

当时，()，

令可得，令可得.

故在上递增，在上递减.

因此，即不等式恒成立.

综上，存在且的取值集合为.

【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

22. 已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，（t为参数）.

（1）求曲线上的点到曲线距离的最小值；

（2）若把上各点的横坐标都扩大到原来的2倍，纵坐标都扩大到原来的倍，得到曲线，设，曲线与交于A，B两点，求.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题意，将的极坐标方程转化成直角坐标方程，将的参数方程化成普通方程，利用几何法，计算曲线上的点到曲线距离的最小值.

（2）根据伸缩变换，写出曲线的直角坐标方程，再根据直线的参数方程化成标准方程，利用参数t的几何意义，计算即可求解.

【详解】（1），圆心为，半径为1，

圆心到直线距离，

所以上的点到的最小距离为；

（2）伸缩变换为，所以，

把（t为参数）化成标准方程为：

，

将和联立，得，

因为，

∴.

【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，考查参数方程化成普通方程，考查非标准参数方程转化成标准参数方程后应用参数t的几何意义解决长度之和问题，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中等题型.

23. 已知函数的最大值为2.

（1）求实数m的值；

（2）若a，b，c均为正数，且.求证：.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意，利用绝对值三角不等式，求得函数最大值为，计算即可求解；

（2）由（1）中m值，将平方，利用基本不等式求得最值，即可证明结论.

【详解】（1）由，

得函数的最大值为.

∴，得或，

∵，∴.

（2）由（1）知：，

∴，

当且仅当时，“=”成立，进而.

【点睛】本题考查绝对值三角不等式应用，考查基本不等式的应用，属于中等题型.