人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算课后练习题

7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义

必备知识基础练　

1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i＝(　　)

A．－1＋i    B．1－iC．i    D．－i

2．设复数z1＝－1＋i，z2＝2＋i，则在复平面内z1＋z2对应的点位于(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

3．复数2＋2i－|＋i|＝(　　)

A．0    B．2C．－2i    D．2i

4．设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)

A．－5－5i    B．－5＋5i

C．5＋5i    D．5－5i

5．若复数z满足z－i＝1－i，则z＝(　　)

A．1＋i    B．2－i

C．－1－i    D．1－i

6．设z1＝－1＋i，2＝4－3i，则|z1＋z2|＝(　　)

A．25    B．5

C．13    D．

7．已知z1、z2∈C，且z1＝2＋i，z2＝3－4i(其中i为虚数单位)，则z1－z2＝________．

8．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为________．

关键能力综合练　

1．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为(　　)

A．2＋8i    B．－6－6i

C．4－4i    D．－4＋2i

2．已知复数z的共轭复数满足＋i＝4＋2i，则|z|＝(　　)

A．5    B．3

C．3    D．

3．设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)

A．1－2i    B．1＋2i

C．1＋i    D．1－i

4．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)

A．实轴上    B．虚轴上

C．第一象限    D．第二象限

5．若z1，z2为复数，则“z1＋z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

6．(多选)在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是(　　)

A．点C位于第二象限    B．z1＋z3＝z2

C．|z1－z3|＝|AC|    D．z1·z3＝z2

7．若复数z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．

8．若复数z满足2z＋＝3＋2i，其中i为虚数单位，则z＝________．

9．已知复数z1＝a＋(7－a)i，z2＝5＋(3a＋1)i(a∈R，i是虚数单位).

(1)若z2的实部与z1的模相等，求实数a的值；

(2)若复数z1＋z2在复平面上的对应点在第四象限，求实数a的取值范围．

10．ABCD是复平面内的平行四边形，A、B、C三点对应的复数分别是1＋i、－＋i、－1－i，其中i是虚数单位．

(1)求点D对应的复数；

(2)试判断A、B、C、D四点是否在同一圆上，若是，求出该圆的方程；否则，请说明理由．

核心素养升级练　

1．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601～1665)于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马点．根据以上材料，若z∈C，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为(　　)

A．2－2    B．2＋2

C．－1    D．＋1

2．已知1＋i是关于x的方程x2－ax＋2＝0的根，则实数a＝________．

3．已知复数z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i(a>0)，z1＋z2∈R.

(1)求实数a的值；

(2)若z∈C，|z－z2|＝2，求|z|的取值范围．

7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义

必备知识基础练

1．答案：A

解析：(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i，故选A.

2．答案：A

解析：由题设，z1＋z2＝－1＋i＋2＋i＝1＋2i，故其对应点为(1，2)在第一象限．故选A.

3．答案：D

解析：2＋2i－|＋i|＝2＋2i－＝2＋2i－2＝2i.故选D.

4．答案：B

解析：由题意＝－＝(－3＋2i)－(2－3i)＝－5＋5i，故选B.

5．答案：A

解析：因为z－i＝1－i，所以z＝1－i＋i＝1＋i；故选A.

6．答案：B

解析：z1＝－1＋i，2＝4－3i，则z2＝4＋3i，∴z1＋z2＝3＋4i，所以|z1＋z2|＝＝5.故选B.

7．答案：－1＋5i

解析：z1－z2＝2＋i－3＋4i＝－1＋5i.

8．答案：－2

解析：由已知可得z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，因为z1＋z2是纯虚数，则，解得a＝－2.

关键能力综合练

1．答案：C

解析：＝(－)－＝3＋2i＋2－i－1－5i＝4－4i.故选C.

2．答案：D

解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又因为＋i＝4＋2i，即a＋(－b＋1)i＝4＋2i，所以a＝4，b＝－1，所以|z|＝，故选D.

3．答案：C

解析：设z＝a＋bi，则＝a－bi，则2(z＋)＋3(z－)＝4a＋6bi＝4＋6i，所以，，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.故选C.

4．答案：B

解析：设z＝x＋yi，则|x＋yi－1|＝|x＋yi＋1|，即(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，解得x＝0，所以z＝yi，它对应的点在虚轴上．故选B.

5．答案：B

解析：由题意，不妨设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1＋z2是实数，则z1＋z2＝a＋bi＋c＋di＝(a＋c)＋(b＋d)i∈R，故b＋d＝0，即b＝－d，由于a，c不一定相等，故z1，z2不一定互为共轭复数，故充分性不成立；若z1，z2互为共轭复数，则z2＝a－bi，故z1＋z2＝2a∈R，故必要性成立．因此“z1＋z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的必要不充分条件．故选B.

6．答案：BC

解析：如图，由题意，O(0，0)，A(1，1)，B(1，2)，∵OABC为平行四边形，则C(0，1)，∴z3＝i，点C位于虚轴上，故A错误；z1＋z3＝1＋i＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；|z1－z3|＝|1＋i－i|＝1＝|AC|，故C正确；z1z3＝(1＋i)i＝－1＋i≠z2，故D错误．故选BC.

7．答案：(3，4)

解析：z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，因为复数z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i在复平面上所对应的点在第二象限，所以，解不等式组得3<m<4.

8．答案：1＋2i

解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，所以2(a＋bi)＋(a－bi)＝3＋2i，则3a＋bi＝3＋2i，

所以，即，所以z＝1＋2i.

9．解析：(1)依题意，|z1|＝

＝，

因为z2的实部与z1的模相等，则＝5，整理得a2－7a＋12＝0，解得a＝3或a＝4.

(2)因z1＋z2＝(a＋5)＋(2a＋8)i，而z1＋z2在复平面上对应点在第四象限，

于是得，解得－5<a<－4，

所以实数a的取值范围是(－5，－4).

10．解析：(1)由题知，A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，

因为＝＝(－－1，1－).

所以D(，－1)，

所以点D所对应的复数为－i.

(2)|1＋i|＝2，|－＋i|＝2，

|－1－i|＝2，|－i|＝2，

所以A、B、C、D四点都在以原点为圆心，半径为2的圆上，

该圆的方程为x2＋y2＝4.

核心素养升级练

1．答案：B

解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|表示点Z(x，y)到△ABC三顶点A(－2，0)、B(2，0)、C(0，－2)的距离之和．依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°.此时|PA|＋|PB|＋|PC|＝×2＋(2－2tan 30°)＝2＋2.故选B.

2．答案：2

解析：因为1＋i是关于x的方程x2－ax＋2＝0的根，所以1－i也是方程x2－ax＋2＝0的根，所以(1＋i)＋(1－i)＝a，得a＝2.

3．解析：(1)因为z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i，

所以z1＋z2＝1＋(a2－10)i＋(2a－5)i＝1＋(a2＋2a－15)i.

又因为z1＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，

解得a＝－5或a＝3.又因为a>0，所以a＝3.

(2)由(1)知z2＝i，设z＝x＋yi，

由|z－z2|＝2⇒|x＋(y－1)i|＝2，所以＝2，

得x2＋(y－1)2＝4，而(y－1)2＝4－x2，

∴0≤(y－1)2≤4，∴－2≤y－1≤2，故y∈[－1，3].

∴|z|＝＝＝，

∵－1≤y≤3，∴2y＋3∈[1，9]，故|z|∈[1，3].