江苏省高邮中学2021届高三上学期11月份第14次周练数学试卷 Word版含答案
展开这是一份江苏省高邮中学2021届高三上学期11月份第14次周练数学试卷 Word版含答案，共16页。试卷主要包含了 复数， 已知，则， 函数的定义域为，若满足， 对于函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
高邮中学高三第一学期周练数学试卷（14）
一、 单选题（每小题5分，共40分）
1. 复数（i为虚数单位），则z等于（ ）
A. B. C. D.
2.意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达芬奇的经典之作—— 《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷,某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘｡将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间?
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知菱形的边长为4，，是的中点，则（ ）
A. 24 B. C. D.
6.若幂函数f (x)的图象过点则函数的递增区间为( )
A. (0,2) B. (-∞,0)∪(2,+∞) C. (-2,0) D. (-∞,-2)∪(0,+∞)
7. 已知函数，的图像在点处的切线与轴交于点，过点与轴垂直的直线与轴交于点，则线段中点的纵坐标的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8. 函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数（，且）是“半保值函数”，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
二、多选题（每题5分，共10分．全部选对的得5分，部分选对的得3分）
9．设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上有且只有3个极值大点，在上有且只有2个极小值点
C．在上单调递增 D．的取值范围是
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点
C. D. 若在恒成立，则
三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
11. 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝2，AC＝，∠BAC＝30°，AA1＝，则其外接球体积是 ．
12.设函数. ①若，则的最小值为_______；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是_______.
四、解答题（共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13.（本小题满分12分） 已知函数在上的最大值为.
（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）若锐角中角、、所对边分别为、、，且，求的取值范围.
14.（本小题满分12分）已知函数是偶函数，函数是奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
15.（本小题满分12分）如图，三棱锥S—ABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC⊥平面ABC，点P在侧棱SA上．（1）当P为侧棱SA的中点时，求证：SA⊥平面PBC；
（2）若二面角P—BC—A的大小为60°，求的值．
16．（本小题满分12分）2019年年初，山东省人民政府印发了《山东省新旧动能转换重大工程实施规划》，全省上下解放思想，真抓实干，认真贯彻这一方案，并取得了初步成效．为了进一步了解新旧动能转换实施过程中存在的问题，山东省有关部门随机抽取东部和西部两个地区的200个乡镇，调查其2019年3月份的高科技企业投资额，得到如下数据：
投资额/万元 | ||||||
乡镇数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将投资额不低于70万元的乡镇视为“优秀乡镇”，投资额低于70万元的乡镇视为“非优秀乡镇”，并将频率视为概率．已知西部地区的甲乡镇参与了本次调查，其髙科技企业投资额为35万元．
| 非优秀乡镇 | 优秀乡镇 | 合计 |
东部地区 |
|
|
|
西部地区 |
| 20 | 110 |
合计 |
|
|
|
（1）请根据上述表格中的数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关．
（2）经统计发现，这200个乡镇的高科技企业投资额（单位：万元）近似地服从正态分布，其中近似为样木平均数（每组数据取该组区间的中点值作代表）．若落在区间外的左侧，则认为该乡镇为“资金缺乏型乡镇”．
①试判断甲乡镇是否属于“资金缺乏型乡镇”；
②某银行为本次参与调查的乡镇提供无息贷款支持，贷款方式为：投资额低于的每年给予两次贷款机会，投资额不低于的每年给一次贷款机会．每次贷款金额及对应的概率如下：
贷款金额/万元 | 400 | 600 | 800 |
概率 | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
求甲乡镇每年能够获得贷款总金额的数学期望．
附：，其中
0.10 | 0.025 | 0.005 | |
2.706 | 5.024 | 7.879 |
17. （本小题满分12分）已知函数.
（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，证明.
高邮中学高三第一学期周练数学试卷（14）
二、 单选题（每小题5分，共40分）
1. 复数（i为虚数单位），则z等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2.意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达芬奇的经典之作—— 《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷,某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘｡将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间?
【答案】B
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4. 下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5. 已知菱形的边长为4，，是的中点，则（ ）
A. 24 B. C. D.
【答案】D
6.若幂函数f (x)的图象过点则函数的递增区间为()
A. (0,2) B. (-∞,0)∪(2,+∞) C. (-2,0) D. (-∞,-2)∪(0,+∞)
【答案】A
7. 已知函数，的图像在点处的切线与轴交于点，过点与轴垂直的直线与轴交于点，则线段中点的纵坐标的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8. 函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数（，且）是“半保值函数”，则的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
二、多选题（每题5分，共10分．全部选对的得5分，部分选对的得3分）
9．设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上有且只有3个极值大点，在上有且只有2个极小值点
C．在上单调递增 D．的取值范围是
【答案】CD
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得极大值
B. 有两个不同的零点
C.
D. 若在恒成立，则
【答案】ACD
三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
11. 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝2，AC＝，∠BAC＝30°，AA1＝，则其外接球体积是 ．
【答案】
14.设函数. ①若，则的最小值为_______；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是_______.
【答案】16． -1 ；
四、解答题（共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
12.（本小题满分12分） 已知函数在上的最大值为.
（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）若锐角中角、、所对边分别为、、，且，求的取值范围.
【详解】（1），
，解得，.
令，解得，
所以，函数的单调递增区间为；
（2），可得，
，则，则，，
为锐角三角形，可得，即，解得，
则，
，则，所以，，所以，.
因此，的取值范围是.
13.（本小题满分12分）已知函数是偶函数，函数是奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
14.解：（1）由于为奇函数，且定义域为R，
∴，即，
经检验，符合题意；
∵，∴
∵是偶函数，
∴，得恒成立，故
综上所述，可得
（2）∵，
∴
又∵，在区间上是增函数且
∵在区间上是增函数，
∴
由题意，得
因此实数的取值范围是：.
15.（本小题满分12分）如图，三棱锥S—ABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC⊥平面ABC，点P在侧棱SA上．（1）当P为侧棱SA的中点时，求证：SA⊥平面PBC；
（2）若二面角P—BC—A的大小为60°，求的值．
16．（本小题满分12分）2019年年初，山东省人民政府印发了《山东省新旧动能转换重大工程实施规划》，全省上下解放思想，真抓实干，认真贯彻这一方案，并取得了初步成效．为了进一步了解新旧动能转换实施过程中存在的问题，山东省有关部门随机抽取东部和西部两个地区的200个乡镇，调查其2019年3月份的高科技企业投资额，得到如下数据：
投资额/万元 | ||||||
乡镇数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将投资额不低于70万元的乡镇视为“优秀乡镇”，投资额低于70万元的乡镇视为“非优秀乡镇”，并将频率视为概率．已知西部地区的甲乡镇参与了本次调查，其髙科技企业投资额为35万元．
| 非优秀乡镇 | 优秀乡镇 | 合计 |
东部地区 |
|
|
|
西部地区 |
| 20 | 110 |
合计 |
|
|
|
（1）请根据上述表格中的数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关．
（2）经统计发现，这200个乡镇的高科技企业投资额（单位：万元）近似地服从正态分布，其中近似为样木平均数（每组数据取该组区间的中点值作代表）．若落在区间外的左侧，则认为该乡镇为“资金缺乏型乡镇”．
①试判断甲乡镇是否属于“资金缺乏型乡镇”；
②某银行为本次参与调查的乡镇提供无息贷款支持，贷款方式为：投资额低于的每年给予两次贷款机会，投资额不低于的每年给一次贷款机会．每次贷款金额及对应的概率如下：
贷款金额/万元 | 400 | 600 | 800 |
概率 | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
求甲乡镇每年能够获得贷款总金额的数学期望．
附：，其中
0.10 | 0.025 | 0.005 | |
2.706 | 5.024 | 7.879 |
【答案】
（1）填写列联表如下所示：
| 非优秀乡镇 | 优秀乡镇 | 合计 |
东部地区 | 60 | 30 | 90 |
西部地区 | 90 | 20 | 110 |
合计 | 150 | 50 | 200 |
，
所以能在犯误的概率不超过0.025的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关．
①调查的200个乡镇的投资额频率分布表如下：
投资额/万元 | ||||||
乡镇数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
频率 | 0.1 | 0.18 | 0.22 | 0.25 | 0.2 | 0.05 |
则，
因为200个乡镇的高科技企业投资额近似地服从正态分布，
所以，所以，
因为甲乡锁的高科技企业投资额为35万元，大于31.6万元，
所以甲乡镇不属于“资金缺乏型乡镇”．
②由小问可知这200个乡镇的投资额的平均数为59.2万元，甲乡镇的投资额为35万元，低于59.2万元，所以甲乡镇每年可以获得两次无息贷款，所得贷款总金额的取值可以是800,1000,1200,1400,1600，
，
，
，
，
，
贷款总金额的分布列为
800 | 1000 | 1200 | 1400 | 1600 | |
0.04 | 0.2 | 0.37 | 0.3 | 0.09 |
（元）．
17. （本小题满分12分）已知函数.
（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，证明.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数导数，令，再利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解；
（2）由（1）可知当时，当时，，转化为，进而转化为，构造新函数，利用导数即可求解.
【详解】（1）由条件得，令，则.
①当时，在上，，单调递增
∴，即，
∴在上为增函数，∴∴时满足条件.
②当时，令
解得，在上，，单调递减，
∴当时，有，即，
在上为减函数，∴，不合题意.
综上实数的取值范围为．
（2）由（1）得，当，时，，即，
要证不等式，只需证明，只需证明，
只需证，
设，则，
∴当时，恒成立，故上单调递增，
又，∴恒成立．∴原不等式成立．
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