江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期4月综合测试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com江苏省淮阴中学2020届高三下学期数学综合测试（4）

一、填空题：

1.复数的虚部为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

化简得到，得到答案.

【详解】，故虚部为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了复数的虚部，意在考查学生的计算能力.

2.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，则在本次竞赛中，得分不低于80分以上的人数为__________.

【答案】160

【解析】

【分析】

利用频率分布直方图中频率之和为1，计算出得分不低于80分的频率为，从而求出得分不低于80分以上的人数.

【详解】得分不低于80分的频率为

则得分不低于80分以上的人数为

【点睛】本题考查频率分布直方图.

频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率．

频数 样本容量＝频率，此关系式的变形为频数 频率＝样本容量，样本容量频率＝频数．

3.根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为__________

【答案】21

【解析】

【分析】

先读懂流程图的功能，然后逐步运算即可得解.

【详解】解:由题意可知：

当时, ,

当时, ,

当时, ,

当时, ,

当时, ,

当时, ,输出当前的,

故输出S的值为,

故答案为:.

【点睛】本题考查了流程图的功能，重点考查了运算能力，属基础题.

4.若等差数列的前项和，且，则______________.

【答案】

【解析】

【分析】

设等差数列的公差为，根据题意建立和的方程组，解出这两个量，即可求出的值.

【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，

因此，.

故答案为.

【点睛】本题考查等差数列中项的计算，解题的关键就是要建立首项和公差的方程组，利用这两个基本量来求解，考查运算求解能力，属于基础题.

5.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是____________.（填序号）

①若则；②若则；

③若则；④若则.

【答案】②④

【解析】

【分析】

由空间线面、线线的位置关系，逐一判断即可得解.

【详解】解:对于①, 若则或与相交或与异面,即①错误；

对于②, 若则,即②正确；

对于③,若则或与相交或与异面,即③错误；

对于④,若由面面垂直的性质定理可得,即④正确,

即命题中正确的是②④,

故答案为: ②④.

【点睛】本题考查了空间线面、线线的位置关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.

6.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为       .

【答案】

【解析】

试题分析：由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.

考点：正余弦定理,基本不等式

7.已知向量，，，若夹角为锐角，则取值范围是          

【答案】

【解析】

若夹角为锐角则

故

8.先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为，则是奇数的概率是____________.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出掷两次正方体骰子共有种情况,然后求出是奇数的共有种情况,再结合古典概型概率公式求解即可.

【详解】解:先后掷两次正方体骰子共有种情况,

骰子朝上的面的点数分别为，

当是奇数时,则均为奇数,

又骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6,则有1,3,5三个奇数,

即是奇数的共有种情况,

故是奇数的概率是,

故答案为: .

【点睛】本题考查了排列组合知识，重点考查了古典概型概率公式，属基础题.

9.设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________

【答案】

【解析】

【分析】

先确定，再利用0为其中的一个解，，求出的值，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论.

【详解】设，其图象为抛物线，

对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，

因为0为其中一个解可以求得，

又，所以或，

则不等式为和，

可分别求得和，

因为位整数，所以和，

所以全部不等式的整数解的和为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，其中解答中根据题设条件确定出实数的值，求出相应的一元二次不等式的解集是解答关键，推理与运算能力.

10.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现，求：函数对称中心为___________；

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意求解的根,进而求得拐点,即对称中心的坐标即可.

【详解】由题, ,故,令可得.代入可得.故其对称中心为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了求导分析函数的对称中心问题,需要根据题意求解的根.属于基础题.

11.已知椭圆的标准方程为，若椭圆的焦距为，则的取值集合为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意分焦点在轴与轴上两种情况求解即可.

【详解】由题,当焦点在轴上时,,即,解得或.

当焦点在轴上时,,即,解得.

综上, 的取值集合为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了椭圆的焦距以及含指数式的方程求解.属于基础题.

12.一个质点从A上出发依次沿图中线段到达B、C、D、E、F、G、H、I、J各点，最后又回到A（如图所示），其中：，AB//CD//EF//HG//IJ，BC//DE//FG//HI//JA.欲知此质点所走路程，至少需要测量n条线段的长度，则n的值为_____

【答案】3

【解析】

【分析】

计算得到路程等于，得到答案.

【详解】路程等于，

故至少需要测量3条线段长度.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了线段的长度问题，确定路程等于解题的关键..

13.记，已知函数

是偶函数（为实常数），则函数的零点为__________．（写出所有零点）

【答案】

【解析】

【详解】因为是偶函数（为实常数），

的零点是

14.已知对角线互相垂直且面积为5的四边形，其顶点都在半径为3的圆上，设圆心到两对角线的距离分别为，则的最大值为      ．

【答案】

【解析】

解：由已知可知，

利用均值不等式可以求解

二、解答题

15.（本小题共14分）已知动点在角的终边上.

（1）若，求实数的值；

（2）记，试用将S表示出来.

【答案】解：（1） 是角的终边上一点，

则--------------------------  3分

又，则，所以. ----------------  6分

（2） ==

   -------------  9分

    -----------------  12分

-      ---------------------------    14分

【解析】

分析：（1）利用正切函数的定义，得；（2）将已知表达式恒等变换，化为，再将代入，化简即可．

详解：解：（1） 是角的终边上一点，

则--------------------------  3分

又，则，所以. ----------------  6分

（2） ==

   -------------  9分

    -----------------  12分

-      ---------------------------    14分

点睛：本题主要考查了三角函数的定义以及三角函数恒等变换，考查了二倍角公式等，属于中档题．

16.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且，侧面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，点G为AD的中点.

（1）求证：BG面PAD；

（2）E是BC的中点，在PC上求一点F，使得PG面DEF.

【答案】（1）证明见解析；（2）F为PC中点时满足题意，具体见解析

【解析】

【分析】

（1）连结BD，证明BGAD，因面PAD底面ABCD，且面PAD底面ABCD=AD，即可证明BG垂直于面PAD；

（2）点E是 BC的中点，点F为PC的中点，连接GC交DE于点H，证明PGFH ，因为面DEF，面DEF，即可证明PG面DEF.

【详解】证明：（1）连结BD，因为四边形ABCD为菱形，且，

所以三角形ABD为正三角形，又因为点G为AD的中点，所以BGAD；

因为面PAD底面ABCD，且面PAD底面ABCD=AD，

平面，

所以BG面PAD.

（2）当点F为PC的中点时，PG面DEF，

连结GC交DE于点H，

因为E、G分别为菱形ABCD的边BC、AD的中点，所以四边形DGEC为平行四边形，

所以点H为DE的中点，又点F为PC的中点，

所以FH是三角形PGC的中位线，所以PGFH ，

因为面DEF，面DEF，

所以PG面DEF.

综上：当点F为PC的中点时，PG面DEF.

【点睛】本题考查了线面垂直的判定，重点考查了线面平行，属中档题.

17. 某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．

（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；

（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）

【答案】（1），当时，最低成本为90元；（2）生产件时，总利润最高，最高为元.

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）

由基本不等式得

当且仅当，即时，等号成立

∴，成本的最小值为元．

（Ⅱ）设总利润为元，则

当时

答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．

考点：函数模型运用

点评：主要是考查了函数模型运用，结合均值不等式来求解最值，属于中档题．

18.已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点 在直线，（为长半轴，为半焦距）上.

（1）求椭圆的标准方程

（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N.求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定值为

【解析】

【分析】

（1）由题可知，，再结合，可求出 ，从而可得椭圆的标准方程；

（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心和半径，由以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，根据勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，即可确定出所求圆的方程；

（3）设出点的坐标，表示出及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入，即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值.

【详解】（1）又由点M在准线上，得

故，

从而

所以椭圆方程为

（2）以OM为直径圆的方程为

即

其圆心为，半径

因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2

所以圆心到直线的距离

所以，

解得

所求圆的方程为

（3）方法一：由平面几何知：

直线OM：，直线FN： 

由得

所以线段ON的长为定值.

方法二、设，则 

又

所以，为定值

【点睛】此题考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则，属于中档题.

19.已知.

（1）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围；

（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；

（3）当，时，求证：.

【答案】（1）；

（2）.

（3）见解析.

【解析】

分析：（1）函数在区间有极值.在上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点 ，由此得到的取值范围；
（2）构造函数，若关于的方程有实数解 有实数解
（法二）由分离系数，

构造函数 ，由题意可得， ．
（3）结合函数在区间为减函数可得， ，利用该结论分别把 代入叠加可证．

详解：解：（1），

当时，；当时，；

函数在区间（0，1）上为增函数；在区间为减函数 ，

当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值.

，解得；

（2）由（1）得的极大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：. 

（另解：，，

令 ，所以 ，当时，

当时，；当时，

当时，函数取得极大值为

当方程有实数解时，.）

（3）函数在区间为减函数，而，

，即

，

即，而，

结论成立. 

点睛：本题考查函数存在极值的性质，函数与方程的转化，及利用函数的单调性证明不等式，要注意叠加法及放缩法在证明不等式中的应用．

20.设数列的前n项和为，

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．

（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在

【解析】

【分析】

（1）由前项和公式，结合求出，进而可得出结论成立；

（2）根据得，不妨设，两边同除以，再结合条件，即可得出结论；

（3）同(2)，先设，当，结合条件验证不成立即可.

【详解】（1）n=1时，，

时，（n=1也符合）

，，即数列是等比数列．

（2）若则

可设，两边同除以得：

因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在．

（3）若则

可设，，， 不成立．

【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数数列的性质和公式即可，属于常考题型.

21.已知正数，，满足，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

由正数，，满足，又，然后结合均值不等式求证即可.

【详解】证明：由正数，，满足，

则

（当且仅当时等号成立）,

故命题得证.

【点睛】本题考查了三项均值不等式,重点考查了运算能力,属基础题.

22.在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点，求实数的值.

【答案】4

【解析】

【分析】

设变换T：，直线上任意一点，是所得直线上一点，根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标代入得到直线的方程，得到结果.

详解】设变换T：，则，即

代入直线，得.

将点代入上式，得k4.

【点睛】此题考查二阶矩阵的变换，考查运算求解能力，属于基础题.

23.椭圆中心在原点，焦点在轴上.离心率为，点是椭圆上的一个动点，若的最大值为10，求椭圆的标准方程.

【答案】

【解析】

【分析】

由椭圆的离心率为，求得，，设出椭圆的方程，再结合椭圆的参数方程，求得的最大值，求得的值，即可求解.

【详解】由题意，椭圆的离心率为，即，即，

又由，

设椭圆标准方程是，则椭圆的参数方程为是参数，

所以（其中），

当时，此时取得最大值，即，解得，

所以椭圆的方程为.

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，以及椭圆的参数方程的应用，其中解答中熟练应用椭圆的参数方程，求得的最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

24.已知（其中）

（1）求及；

（2）试比较与的大小，并说明理由．

【答案】（1），（2）见解析

【解析】

【详解】（Ⅰ）令，则，令，

则，∴；

（Ⅱ）要比较与的大小，即比较：与的大小，

当时，；当时，；

当时，；

猜想：当时，，下面用数学归纳法证明：

由上述过程可知，时结论成立，

假设当时结论成立，即，

两边同乘以3 得：

而

∴

即时结论也成立，

∴当时，成立.

综上得，当时，；

当时，；当时，

考点：数学归纳法