高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算课时练习

1.1.1　空间向量及其线性运算

1．下列关于空间向量的说法中错误的是(　　)

A.零向量与任意向量平行

B.任意两个空间向量一定共面

C.零向量是任意向量的方向向量

D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量

2．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　)

A.与    B．与

C.与    D．与

3．[2023·山东潍坊高二检测]＋－＝(　　)

A.2    B．

C.0    D．2

4．[2023·湖南怀化高二检测]如图，在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，＋－C1C＝(　　)

A.   B．

C.   D．

5．[2023·福建泉州高二检测]如图，在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，设＝a，＝b，AA1＝c，则＝(　　)

A.a＋b＋c    B．－a＋b＋c

C.a－b＋c    D．a＋b－c

6．[2023·山东潍坊高二检测](多选)如图所示，在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中(　　)

A.单位向量有8个

B.与相等的向量有3个

C.与相反的向量有4个

D.向量，，共面

7．[2023·河北沧州模拟]空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＋2＝________．

8．[2023·广西柳州高二检测]在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，若＝a，＝b，CC1＝c，则A1B＝________．(用a，b，c表示)

1．[2023·山东日照高二检测]如图，在三棱锥O ­ ABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则＝(　　)

A.－a＋b＋c

B.－a＋b＋c

C.－a－b－c

D.－a＋b－c

2．在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，点M为棱DD1中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)

A. B．1

C.－    D．－1

3.

[2023·湖南长沙一中高二检测]如图，在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，若＝x＋y＋z，则＝(　　)

A.   B．

C.    D．

4．[2023·浙江杭州二中高二检测]已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m＋2＋，则m的值为(　　)

A.－1    B．－2

C.－3    D．1

5．[2023·广东肇庆一中高二检测](多选)在下列条件中，不能使M与A，B，C一定共面的是(　　)

A.＝2－－

B.＝＋＋

C.＋＋＝0

D.＋＋＋＝0

6．设▱ABCD的对角线AC和BD交于E，P为空间任意一点，如图所示，若＋＋＋＝x，则x＝________．

7．[2023·山东烟台高二检测]已知O为空间中一点，A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，若2＝x＋＋，则x的值为________．

8．[2023·河北沧州高二练习]已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋(1－λ)确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________．

9．如图所示，

在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，M、N分别是AA1，BC的中点．设＝a，＝b，＝c.

(1)已知P是C1D1的中点，用a，b，c表示，，＋；

(2)已知P在线段C1D1上，且＝，用a，b，c表示.

10.

如图所示，四面体O ­ ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．

(1)试用向量a，b，c表示向量，；

(2)试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面．

1．[2023·安徽合肥八中高二检测](多选)如图，在三棱柱ABC ­ A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则(　　)

A.当λ＝1时，点P在棱BB1上

B.当μ＝1时，点P在棱B1C1上

C.当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上

D.当λ＝μ时，点P在线段BC1上

2.

[2023·福建厦门六中高二检测]如图，已知四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，＝，＝2，AC1与平面EFG交于点M，则＝________．

3．已知e1、e2、e3是不共面的向量，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3.

(1)判断P，A，B，C四点是否共面；

(2)能否用，，表示？并说明理由．

1．1.1　空间向量及其线性运算

必备知识基础练

1．答案：C

解析：由已知，选项A，零向量方向是任意的，所以零向量与任意向量平行，该选项正确；选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确；选项C，在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，该选项错误；选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确．故选C.

2．答案：D

解析：因为＝，则四边形ABCD是平行四边形，结合题图，∴＝－，A错误；＝－，B错误；与方向不相同，C错误；＝，D正确．故选D.

3．答案：D

解析：＋－＝－＝＋＝2，故选D.

4．答案：A

解析：＋－＝－＝＋＝．故选A.

5．答案：B

解析：连接AD1，如图所示．＝－＝＋－＝c＋b－a.故选B.

6．答案：ABC

解析：由题可知单位向量有，，，，，，，共8个，故A正确；与相等的向量有，，共3个，故B正确；向量的相反向量有，，，共4个，故C正确；因为＝，向量，，有一个公共点A1，而点A1，B1，D1都在平面A1B1C1D1内，点C在平面A1B1C1D1外，所以向量，，不共面，故D错误．故选ABC.

7．答案：

解析：＋－＋2＝＋＋2＝－＋2＝＋2＝.

8．答案：b－a－c

解析：连接CA1，则＝－＝－－＝b－a－c.

关键能力综合练

1．答案：A

解析：由题意，＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.故选A.

2．答案：A

解析：

如图所示，连接BM，因为点M为棱DD1中点，所以＝，＝＋＋＝－＋＋，所以x＋y＋z＝－1＋1＋＝.故选A.

3．答案：C

解析：由已知，在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，所以C1M＝＋＝＋＝－－＝－－(＋)＝－－－＝x＋y＋z，所以(x，y，z)＝(－，－，－1).故选C.

4．答案：B

解析：因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，所以根据共面向量基本定理，存在x，y∈R，使得＝x＋y，因为＝－，＝－，＝－，所以－＝x(－)＋y(－)，即＝(1－x－y)＋x＋y，因为＝m＋2＋，所以，解得m＝－2.故选B.

5．答案：ABD

解析：M与A，B，C一定共面的充要条件是＝x＋y＋z，x＋y＋z＝1，对于A选项，由于2－1－1＝0≠1，所以不能得出M，A，B，C共面，对于B选项，由于＋＋≠1，所以不能得出M，A，B，C共面，对于C选项，由于＝－－，则，，为共面向量，所以M，A，B，C共面，对于D选项，由＋＋＋＝0得＝－－－，而－1－1－1＝－3≠1，所以不能得出M，A，B，C共面．故选ABD.

6．答案：4

解析：由E为AC，BD中点，可得＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4，所以x＝4.

7．答案：－2

解析：依题意，A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，所以＝m＋n，所以2m＋2n＝x＋＋，2m－2m＋2n－2n＝x＋＋，2m－(2m＋2n)＋2n＝x＋＋，所以，解得x＝－2.

8．答案：

解析：因为P，A，B，C四点共面，所以存在不全为0的m，n使得＝m＋n，

O是平面ABC外任意一点，则－＝m(－)＋n(－)，

即(m＋n－1)＝m＋n－，

所以＝＋－，

令y＝，z＝，x＝，则x＋y＋z＝1，

所以＋＋(1－λ)＝1，所以λ＝.

9．解析：(1)因为M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，

所以＝＋＝(＋)＋＝a＋c＋b；

＝＋＝－＋＋＝－a＋b＋c；

＋＝(＋＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.

(2)因为＝，所以＝，

所以＝＋＝＋＋＝a＋c＋b.

10．解析：(1)＝－＝－a，

因为＝＋，

而＝，＝－，

又D为BC的中点，所以＝(＋)，

所以＝＋＝＋(－)＝＋×(＋)－＝(＋＋)＝(a＋b＋c).

(2)证明：因为＝－，

＝＝×(＋)＝(b＋c)，

所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a＝－，

＝－，所以＝.

所以M，N，G，H四点共面．

核心素养升级练

1．答案：BCD

解析：当λ＝1时，＝＋μ，所以＝μ，则∥，即P在棱CC1上，故A错误；同理当μ＝1时，则∥，故P在棱B1C1上，故B正确；当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以＝λ＋(1－λ)，即＝λ，故点P在线段B1C上，故C正确；当λ＝μ时，＝λ(＋)＝λ，故点P在线段BC1上，故D正确．故选BCD.

2．答案：

解析：由题可设＝λ (0<λ<1)，因为＝＋＋＝2＋3＋，所以＝2λ＋3λ＋λ，因为M，E，F，G四点共面，所以2λ＋3λ＋λ＝1，解得λ＝.

3．解析：(1)假设P，A，B，C四点共面，则存在实数x、y、z，

使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，

即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3).

比较对应的系数，得到关于x、y、z的方程组

，

解得，这与x＋y＋z＝1矛盾，

故P，A，B，C四点不共面．

(2)能用，，表示，理由如下：

若，，共面，则存在实数m、n，使＝m＋n，

同(1)可证，，，不共面，即是向量，与的线性组合，

令＝a，＝b，＝c，

由，得，

所以＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17－5－30.