高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率测试题

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定

1．[2023·福建厦门高二测试]直线l1⊥l2，若l1的倾斜角为60°，则l2的斜率为(　　)

A．    B．－

C．    D．－

2．直线3x－y＋5＝0与直线6x－2y＋10＝0的位置关系是(　　)

A．相交但不垂直    B．平行

C．重合    D．垂直

3．已知直线l1：x＋2y＋1＝0，l2：2x＋4y＋1＝0，则l1，l2的位置关系是(　　)

A．垂直    B．相交

C．平行    D．重合

4．[2023·河北衡水高二测试]已知直线l1与直线l2：3x－y＋10＝0垂直，则直线l1的倾斜角为(　　)

A．30°    B．60°

C．120°    D．150°

5．[2023·广东清远高二测试]已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a，4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a＝(　　)

A．－2    B．2

C．－1    D．1

6．(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有(　　)

A．若l1∥l2，则它们的斜率相等

B．若l1与l2的斜率相等，则l1∥l2

C．若l1∥l2，则它们的倾斜角相等

D．若l1与l2的倾斜角相等，则l1∥l2

7．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1与l2的位置关系是________．

8．经过点A(1，2)和点B(－3，2)的直线l1与经过点C(4，5)和点D(a，－7)的直线l2垂直，则a＝________．

1．[2023·山东德州高二检测]已知直线x＋my－2＝0与直线y＝nx垂直，则m，n的关系为(　　)

A．mn－1＝0    B．mn＋1＝0

C．m－n＝0    D．m＋n＋1＝0

2．[2023·山东潍坊高二检测]直线l1，l2的斜率是方程x2－mx－1＝0的两个根，则(　　)

A．l1∥l2

B．l1⊥l2

C．l1与l2相交但不垂直

D．l1与l2的位置关系不确定

3．已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋y－3＝0垂直，则tan 2θ的值为(　　)

A．－    B．

C．－    D．

4．设a∈R，则“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．[2023·福建厦门一中高二检测](多选)已知直线l1：mx＋2y＋1＝0，l2：x＋(m＋1)y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)

A．若l1∥l2，则m＝－2

B．若l1∥l2，则m＝1或m＝－2

C．若l1⊥l2，则m＝－

D．若l1⊥l2，则m＝

6．已知直线2x＋y－3＝0与直线(a－3)x－2y＋4＝0平行，则a＝________．

7．[2023·浙江舟山高二测试]直线2ax－3y＋8＝0与直线x－y－1＝0垂直，则a＝________．

8．已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)三点，则△ABC为________三角形．

9．[2023·辽宁大连八中高二检测]已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0.

(1)已知l1⊥l2，求m的值；

(2)已知l1∥l2，求m的值．

10．已知三条直线的方程分别为2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0与2mx－3y＋12＝0，若三条直线能围成直角三角形，求实数m的值．

1．[2023·湖北广水二中高二检测]设a、b、c分别是△ABC的对边长，则直线x sin A＋y sin B－sin C＝0与ax＋by－c＝0的位置关系是(　　)

A．平行    B．垂直

C．重合    D．相交

2．已知直线l1：(a－2)x－3y＋5＝0和l2：3x－(b＋1)y－7＝0互相垂直，且a，b∈R＋，则＋的最小值为________．

3．已知A(1，2)，B(5，0)，C(3，4).

(1)若A，B，C，D可以构成平行四边形，求点D的坐标；

(2)在(1)的条件下，判断A，B，C，D构成的平行四边形是否为菱形．

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定

必备知识基础练

1．答案：D

解析：k1＝tan 60°＝，k1·k2＝－1，所以k2＝－.故选D.

2．答案：C

解析：直线6x－2y＋10＝0可化为3x－y＋5＝0，所以直线3x－y＋5＝0与直线6x－2y＋10＝0的位置关系是重合．故选C.

3．答案：C

解析：由l1：y＝－x－，l2：y＝－x－知，这两条直线的斜率相等截距不等，即l1，l2平行．故选C.

4．答案：D

解析：由l1⊥l2，得kl2＝＝，∴kl1＝－＝－＝tan 150°，故直线l的倾斜角为150°.故选D.

5．答案：C

解析：直线l1的斜率k1＝＝，直线l2的斜率k2＝－2，所以＝－2，解得a＝－1.故选C.

6．答案：BCD

解析：对于A，当l1和l2倾斜角均为时，l1∥l2，但两直线斜率不存在，A错误；对于B，若l1和l2斜率相等，则两直线的倾斜角相等，可知l1∥l2，B正确；对于C，若l1∥l2，可知两直线的倾斜角相等，C正确；对于D，若两直线倾斜角相等，则两直线的斜率相等或两直线斜率均不存在，可知l1∥l2，D正确．故选BCD.

7．答案：平行或重合

解析：由已知，得kl1＝tan 60°＝，kl2＝＝，∴kl1＝kl2，但直线l1在y轴上的截距不确定，∴直线l1与l2的位置关系是平行或重合．

8．答案：4

解析：∵直线l1的斜率为0，又l1⊥l2，∴l2的斜率不存在，故a＝4.

关键能力综合练

1．答案：C

解析：直线x＋my－2＝0与直线nx－y＝0垂直，则1×n＋m×(－1)＝0⇒n－m＝0，即m－n＝0.故选C.

2．答案：B

解析：设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，依题意k1＋k2＝m，k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.故选B.

3．答案：C

解析：直线x＋y－3＝0的斜率为－＝－，而直线l与直线x＋y－3＝0垂直，于是得tan θ＝，而0≤θ<π，则θ＝，所以tan 2θ＝tan ＝－.故选C.

4．答案：A

解析：若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0与直线l2：x－y＋4＝0平行；若“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”，∴a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1，∴“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件．故选A.

5．答案：AC

解析：令m(m＋1)－2＝0，解得m＝1或m＝－2.当m＝1时，l1与l2重合；当m＝－2时，l1∥l2.A正确，B错误．若l1⊥l2，则m＋2(m＋1)＝0，解得m＝－，C正确，D错误．故选AC.

6．答案：－1

解析：由题意可知，(a－3)＋2×2＝0，得a＝－1，当a＝－1时，直线2x＋y－3＝0与直线－4x－2y＋4＝0平行．

7．答案：－

解析：由直线2ax－3y＋8＝0与直线x－y－1＝0垂直得，2a＋3＝0⇒a＝－.

8．答案：直角

解析：如图，猜想AB⊥BC，△ABC是直角三角形，

由题可得边AB所在直线的斜率kAB＝－，边BC所在直线的斜率kBC＝2，

由kABkBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°，

所以△ABC是直角三角形．

9．解析：(1)因为l1⊥l2，则有1×(m－2)＋3m＝0，解得m＝，

所以m的值为.

(2)当l1∥l2或重合时，3－m(m－2)＝0，m＝3或m＝－1，

当m＝3时，l1：x＋3y－1＝0，l2：x＋3y＋3＝0，此时两直线平行，满足条件，

当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：－3x＋3y＋3＝0，即x－y－1＝0，此时两直线重合，不符合题意，

综上，m＝3.

10．解析：三条直线的斜率分别为k1＝2，k2＝1，k3＝，

若围成直角三角形，则k1k3＝－1或k2k3＝－1，

解得m＝－或－，

直线2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0的交点为(1，6)，若能围成三角形，则(1，6)不在2mx－3y＋12＝0上，即2m－18＋12≠0⇒m≠3，故m＝－或－均符合要求．

核心素养升级练

1．答案：C

解析：由正弦定理＝＝＝2R可知，x sin A＋y sin B－sin C＝0化为x·＋y·－＝0，即ax＋by－c＝0.所以直线x sin A＋y sin B－sin C＝0与ax＋by－c＝0重合．故选C.

2．答案：3＋2

解析：由题得3(a－2)＋3(b＋1)＝0，∴a＋b＝1.∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.当且仅当a＝2－，b＝－1时等号成立．∴＋的最小值为3＋2.

3．解析：(1)由题意得kAB＝＝－，

kAC＝＝1，kBC＝＝－2，设D(a，b).

若四边形ABCD是平行四边形，则kCD＝kAB，kAD＝kBC，

即，解得，即D(－1，6).

若四边形ABDC是平行四边形，

则kCD＝kAB，kBD＝kAC，

即，解得，即D(7，2).

若四边形ACBD是平行四边形，

则kAD＝kBC，kBD＝kAC，

即，解得，即D(3，－2).

综上，点D的坐标为(－1，6)或(7，2)或(3，－2).

(2)若D的坐标为(－1，6)，

因为kAC＝1，kBD＝＝－1，

所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，

所以平行四边形ABCD为菱形．

若点D的坐标为(7，2)，

因为kBC＝－2，kAD＝＝0，

所以kBC·kAD＝0≠－1，所以平行四边形ABDC不是菱形．

若点D的坐标为(3，－2)，因为kAB＝－，直线CD的斜率不存在，所以平行四边形ACBD不是菱形．

因此平行四边形ABCD为菱形，平行四边形ABDC，ACBD不是菱形．