高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式同步达标检测题

2．3.1　两条直线的交点坐标2．3.2　两点间的距离公式

1．[2023·广东珠海二中高二检测]直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是(　　)

A．(－2，－1)    B．(－1，－2)

C．(1，2)    D．(2，1)

2．已知A(2，－3)，B(5，－7)，则|AB|＝(　　)

A．3　　　B．4    C．5　　　D．6

3．已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M(1，1)，则a＋b＝(　　)

A．－1    B．1

C．2    D．－2

4．已知A(a，－5)与B(0，10)两点间的距离是17，则a的值为(　　)

A．8    B．2

C．±2    D．±8

5．若三条直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0相交于同一点，则实数a＝(　　)

A．－12    B．－10

C．10   D．12

6．[2023·江苏连云港高二检测]已知A(a，2)，B(－2，－3)，C(1，6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为(　　)

A．－2    B．－1

C．1    D．2

7．过两条直线l1：x＋y－2＝0与l2：3x－y－4＝0的交点，且斜率为－3的直线l的方程为________．

8．已知△ABC的顶点为A(2，1)，B(－2，3)，C(0，－1)，则AC边上的中线长为________．

1．[2023·黑龙江大兴安岭实验中学高二检测]过直线x＋y－3＝0和2x－y＋6＝0的交点，且与直线2x＋y－3＝0垂直的直线方程是(　　)

A．4x＋2y－9＝0    B．4x－2y＋9＝0

C．x＋2y－9＝0    D．x－2y＋9＝0

2．已知A(1，2)，B(－1，1)，C(0，－1)，D(2，0)，则四边形ABCD的形状为(　　)

A．梯形    B．平行四边形

C．菱形    D．正方形

3．[2023·广东佛山一中高二检测]两条直线y＝kx＋2k＋1和2x＋y－4＝0的交点在第四象限，则k的取值范围是(　　)

A．－2<k<－    B．－<k<0

C．－4<k<－2    D．k>－2

4．[2023·天津河西高二检测]已知点A(－1，2)，B(2，)，P为x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为(　　)

A.(－1，0)    B．(1，0)

C．(0，－1)    D．(0，1)

5．[2023·江苏宿迁高二测试]直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是(　　)

A．2　　　B．2    C．2　　　D．4

6．(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值可以是(　　)

A．－    B．－

C． D．2

7．已知某等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x＋y－2＝0与x－7y－10＝0，原点是该等腰三角形底边的中点，则底边所在直线的方程为________________________________________________________________________．

8．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标为(2，－1)，则线段AB的长度为________．

9．[2023·山东新泰一中高二检测]已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3).

(1)在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；

(2)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度．

10．[2023·江苏南通高二检测]已知△ABC的顶点A(0，1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋y－2＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为3x＋y－5＝0.

(1)求点B的坐标；

(2)求直线BC的方程．

1．点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0，(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为(　　)

A．，x＋y－2＝0

B．，3x＋y－4＝0

C．，2x－3y＋1＝0

D．，2x－3y＋1＝0

2．点P是直线l：x－y＋1＝0上的一动点，则P到两点A(－1，1)，B(2，0)的距离之和最小值为________．

3．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和直线l2：x－3y＋10＝0截得的线段的中点恰好为P.

(1)求直线l的方程；

(2)求直线l被l1和l2截得的线段长．

2．3.1　两条直线的交点坐标

2．3.2　两点间的距离公式

必备知识基础练

1．答案：B

解析：联立得，

所以直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是(－1，－2).故选B.

2．答案：C

解析：因为A(2，－3)，B(5，－7)，

所以|AB|＝＝5.故选C.

3．答案：A

解析：∵点M(1，1)在直线l1和l2上，

∴，

解得，

∴a＋b＝－1.故选A.

4．答案：D

解析：由两点间的距离公式得＝17，解得a＝±8.故选D.

5．答案：A

解析：由l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0，可得交点坐标为(1，3)，

代入直线l1：ax＋2y＋6＝0，可得a＋6＋6＝0，所以a＝－12.故选A.

6．答案：A

解析：由两点间的距离公式，及|AB|＝|AC|可得：＝，解得a＝－2.

故选A.

7．答案：3x＋y－5＝0

解析：由解得，

故l的方程为y－＝－3(x－)，即3x＋y－5＝0.

8．答案：3

解析：设AC的中点为D，

因为△ABC的顶点为A(2，1)，C(0，－1)，

则D(1，0)，又B(－2，3)，

所以|BD|＝＝＝3.

关键能力综合练

1．答案：D

解析：联立，解得x＝－1，y＝4.

设与直线2x＋y－3＝0垂直的直线方程是x－2y＋m＝0，

将x＝－1，y＝4代入方程，解得m＝9，

故所求方程为x－2y＋9＝0.故选D.

2．答案：D

解析：由两点间的距离公式可得

|AB|＝＝，

|BC|＝＝，

|CD|＝＝，

|DA|＝＝，

所以|AB|＝|BC|＝|CD|＝|DA|，

又|AC|＝＝，

|BD|＝＝，

所以|AC|＝|BD|，

故四边形ABCD是正方形．故选D.

3．答案：A

解析：联立，可解得，

因为交点在第四象限，所以，解得－2<k<－.

故选A.

4．答案：B

解析：设P(m，0)，则|PA|＝，|PB|＝，由|PA|＝|PB|，得

(m＋1)2＋4＝(m－2)2＋7，解得m＝1，故点P(1，0).故选B.

5．答案：B

解析：因为l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q(，)，

所以|OQ|＝＝＝，

当m＝0时，|OQ|max＝2，

所以|OQ|的最大值是2.故选B.

6．答案：ABC

解析：由已知，设l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0，

由可知，直线l1，l2相交于点A(－1，－)，

直线l3：mx－y－1＝0恒过定点B(0，－1)，

因为三条直线不能构成三角形，所以l1∥l3或l2∥l3或l3经过点A(－1，－)；

①当l1∥l3时，l1：2x－3y＋1＝0，l3：mx－y－1＝0，所以2×(－1)＝－3m，解得m＝；

②当l2∥l3时，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0，所以4×(－1)＝3m，解得m＝－；

③当l3经过点A(－1，－)时，m＝－，

所以实数m的取值集合为.故选ABC.

7．答案：y＝3x

解析：由解得，因此得等腰三角形的顶点坐标为(3，－1)，

因原点是该等腰三角形底边的中点，则等腰三角形底边上的高所在直线的斜率为－，

所以等腰三角形底边所在直线的斜率为3，方程为y＝3x.

8．答案：2

解析：在平面直角坐标系中，AO⊥BO，

则△ABO为直角三角形，且AB为斜边，

故|AB|＝2|OM|＝2＝2.

9．解析：(1)设AC边中点为M，则M点坐标为(，)，

∴直线kBM＝＝，

∴直线BM的方程为y－(－1)＝(x＋2)，

即9x－5y＋13＝0，AC边中线所在直线的方程为9x－5y＋13＝0.

(2)设点D的坐标为(x，y)，由已知得M为线段BD的中点，

有，解得，∴D(3，8)，

又∵B(－2，－1)，C(2，3)，

则|BC|＝＝4.

10．解析：(1)因为直线CD的斜率为－1，AB⊥CD，

所以直线AB的斜率为1，

又因为A(0，1)，

所以直线AB的方程为y＝x＋1，

联立，解得，

故点B的坐标为(1，2).

(2)设点C(x0，y0)，所以x0＋y0－2＝0.

因为点E是AC边的中点，

所以点E的坐标为(，)，

因为AC边上的中线BE所在直线的方程为3x＋y－5＝0，

所以3×＋－5＝0，

即3x0＋y0－9＝0.

联立，解得，

所以点C的坐标为(，－)，

所以直线BC的斜率k＝＝－，

故直线BC的方程为y－2＝－(x－1)，

即7x＋5y－17＝0.

核心素养升级练

1．答案：C

解析：l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)变形为x＋y－2＋(3x＋y－4)λ＝0，

故，解得，

故直线l过定点A(1，1)，

故|PA|为点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大值，

即|PA|＝＝，

且此时直线PA的斜率为kPA＝＝，

故此时直线PA的方程为y＋1＝(x＋2)，整理得2x－3y＋1＝0.故选C.

2．答案：

解析：因为－1－1＋1<0，2－0＋1>0，所以A，B两点在直线的两侧，

则当点P为线段AB与直线l的交点时，点P到A，B两点的距离之和最小，

且最小值为A，B两点间距离|AB|＝＝.

3．解析：(1)设直线l与直线l1和直线l与直线l2的交点分别为A，B，

若直线l斜率不存在，则直线l的方程：x＝0，

将x＝0代入l1：2x＋y－8＝0可得，y＝8，即A(0，8)，

将x＝0代入l2：x－3y＋10＝0可得，y＝，即B，

显然线段AB的中点不是P(0，1)，不符合题意；

若直线l斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，(k≠－2且k≠)，

由⇒，即A，

由⇒，即B，

因为线段AB的中点是P(0，1)，

所以＋＝0且8－＋＝2，解得k＝－，

从而直线l的方程为y＝－x＋1，即x＋4y－4＝0.

(2)由(1)中结论可知，A(4，0)，B(－4，2)，

从而|AB|＝＝2，

故直线l被l1和l2截得的线段长为2.