人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程课后复习题

2．4.1　圆的标准方程

1．[2023·江苏常州二中高二检测]圆心为(－3，1)，半径为的圆的方程为(　　)

A．(x－3)2＋(y－1)2＝5

B．(x＋3)2＋(y－1)2＝5

C．(x＋3)2＋(y－1)2＝25

D．(x＋3)2＋(y－1)2＝

2．[2023·北京大兴高二检测]圆x2＋(y＋2)2＝1关于x轴对称的圆的方程是(　　)

A．x2＋y2＝1    B．(x－2)2＋y2＝1

C．x2＋y2＝2    D．x2＋(y－2)2＝1

3．方程y＝－表示的曲线是(　　)

4．以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是(　　)

A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10

B．(x－1)2＋(y－2)2＝100

C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25

D．(x－1)2＋(y－2)2＝25

5．(多选)已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则下列坐标表示点在圆外的有(　　)

A．(－3，2)    B．(3，2)

C．(1，4)    D．(1，1)

6．[2023·福建永安高二检测](多选)设圆的方程是(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，其中a>0，b>0，下列说法中正确的是(　　)

A．该圆的圆心为(a，b)   

B．该圆过原点

C．该圆与x轴相交于两个不同点

D．该圆的半径为a2＋b2

7．圆心在x轴上且过点(1，3)的一个圆的标准方程可以是________________．

8．[2023·山东青岛二中高二检测]已知△AOB的三个顶点分别是A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，则△AOB的外接圆的方程为________________．

1．[2023·江西赣州高二检测]若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)

A．－1<a<1    B．0<a<1

C．a>1或a<－1    D．a＝±4

2．经过点(1，0)且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)

A．(x－1)2＋y2＝1    B．(x－1)2＋(y－1)2＝1

C.x2＋(y－1)2＝1    D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

3．[2023·福建漳州高二检测]已知圆C的圆心在直线y＝2x上，且过点A(2，5)和B(－2，1)，则圆C的标准方程为(　　)

A.(x－1)2＋(y－2)2＝10

B．(x－1)2＋(y－2)2＝

C．(x－2)2＋(y－1)2＝16

D．(x－2)2＋(y－1)2＝4

4．已知直线l：2x－y＋2＝0与以点C(2，1)为圆心的圆相交于A，B两点，且CA⊥CB，则圆C的方程为(　　)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝25

B．(x－2)2＋(y－1)2＝20

C．(x－2)2＋(y－1)2＝10

D．(x－2)2＋(y－1)2＝5

5．[2023·安徽亳州二中高二检测](多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　).

A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上

B．所有圆Ck均不经过点(3，0)

C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个

D．所有圆的面积均为4π

6．过直线x＋y＝2与直线x－y＝0的交点，圆心为C(－1，1)的圆的标准方程是________________．

7．若直线x＋y＋a＝0过圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的圆心，则实数a的值为________．

8．[2023·山东泰安高二检测]写出过M(4，0)，N(0，4)两点，且半径为4的圆的一个标准方程为________________．

9．[2023·江苏泰州高二检测]已知圆C与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A(2，0)，B(0，6)两点，圆心C在第二象限．

(1)若圆C与x轴的另一个交点坐标为(－12，0)，求圆C的标准方程；

(2)若|OC|＝，求圆C的标准方程．

10．已知圆C经过点A(0，2)，B(6，4)，且圆心在直线x－3y－4＝0上．

(1)求圆C的方程；

(2)若平面上有两个点P(－6，0)，Q(6，0)，点M是圆C上的点且满足＝2，求点M的坐标．

1．[2023·山东潍坊高二检测]在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为；乙：该圆经过点(3，3)；丙：该圆的圆心为(2，1)；丁：该圆经过点(7，0).如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是(　　)

A．甲    B．乙

C．丙    D．丁

2．过A(0，0)，B(3，9)，C(6，0)，D(0，2)四点中的三点的一个圆的方程为________________．

3．[2023·福建莆田八中高二检测]已知圆C过点A(4，0)，B(0，4)，且圆心C在直线l：x＋y－6＝0上．

(1)求圆C的方程；

(2)若从点M(4，1)发出的光线经过直线y＝－x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程；

(3)若点Q在直线l上运动，求QA2＋QB2的最小值．

2．4.1　圆的标准方程

必备知识基础练

1．答案：B

解析：由圆的标准方程公式得圆的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝5.故选B.

2．答案：D

解析：圆x2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(0，－2)，点(0，－2)关于x轴的对称点为(0，2)，

因此圆x2＋(y＋2)2＝1关于x轴对称的圆的方程是x2＋(y－2)2＝1.故选D.

3．答案：A

解析：对y＝－两边平方整理得x2＋y2＝4(y≤0)，

所以方程表示圆心为坐标原点，半径为2的圆在x轴及下方的部分，A选项满足．故选A.

4．答案：D

解析：∵AB为直径，∴AB的中点(1，2)为圆心，

半径为|AB|＝＝5，

∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选D.

5．答案：AD

解析：选项A中(－3－2)2＋(2－3)2＝26>4在圆外；选项B中(3－2)2＋(2－3)2＝2<4在圆内；选项C中(1－2)2＋(4－3)2＝2<4在圆内；选项D中(1－2)2＋(1－3)2＝5>4在圆外．故选AD.

6．答案：BC

解析：由圆的标准方程可知：该圆的圆心坐标为(a，－b)，半径为，所以选项A、D不正确；

因为(0－a)2＋(0＋b)2＝a2＋b2，所以该圆过原点，因此选项B正确；

在圆的方程(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2中，令y＝0，有

(x－a)2＋b2＝a2＋b2⇒(x－a)2＝a2⇒x＝2a，或x＝0，因为a>0，

所以该圆与x轴相交于两个不同点，因此选项C正确．

故选BC.

7．答案：(x－1)2＋y2＝9

解析：以x轴上的点(1，0)为圆心，则半径r＝3，

所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝9.

8．答案：(x－2)2＋(y－)2＝

解析：由题设易知：△AOB为直角三角形，故外接圆圆心是斜边的中点，而∠AOB＝90°，

所以斜边为AB，则外接圆圆心为，故r2＝＝，

综上，△AOB的外接圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝.

关键能力综合练

1．答案：A

解析：因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，

所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，即a2－1<0，解得－1<a<1.

故选A.

2．答案：B

解析：由得，

即所求圆的圆心坐标为(1，1).

由该圆过点(1，0)，得其半径为1，

故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.故选B.

3．答案：A

解析：设圆C的圆心坐标为C(a，2a)，半径为r，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a)2＝r2，

由点A(2，5)和点B(－2，1)在圆C上，

可得(2－a)2＋(5－2a)2＝r2，　①

(－2－a)2＋(1－2a)2＝r2，　②

由①②可得a＝1，r2＝10，

故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝10.故选A.

4．答案：C

解析：由题意，△ACB为等腰直角三角形，

所以圆心C(2，1)到直线l：2x－y＋2＝0的距离d＝r，即＝r，解得r＝，

所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.故选C.

5．答案：ABD

解析：圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；

令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，

∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0，无实数根，∴B正确；

由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，

∵Δ＝16－8＝8>0，有两不等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；

由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选ABD.

6．答案：(x＋1)2＋(y－1)2＝4

解析：由，得，

所以直线x＋y＝2与直线x－y＝0的交点为(1，1)，

所以圆的半径为＝2，

所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4.

7．答案：1

解析：由题意，圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2，可得圆心为(1，－2)，

因为圆心为(1，－2)在直线x＋y＋a＝0上，可得1－2＋a＝0，解得a＝1.

8．答案：x2＋y2＝16或(x－4)2＋(y－4)2＝16

解析：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16，

则有，

解得或，

所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝16或(x－4)2＋(y－4)2＝16.

9．解析：(1)由题意知A(2，0)，(－12，0)在圆上，故圆心在直线x＝＝－5上，

又直线AB的斜率为＝－3，故其垂直平分线方程为y－3＝(x－1)，

令x＝－5得y＝1，即圆心为(－5，1)，则半径为r＝＝5，

所以圆C的标准方程为(x＋5)2＋(y－1)2＝50.

(2)由(1)可知，圆心在AB的垂直平分线y－3＝(x－1)上，

又因为|OC|＝，则圆心在x2＋y2＝26上，

联立，由于圆心C在第二象限，解得x＝－5，y＝1，(x＝舍去)

故圆心为(－5，1)，则半径为r＝＝5，

故圆C的标准方程为(x＋5)2＋(y－1)2＝50.

10．解析：(1)∵圆心在直线x－3y－4＝0上，

设圆心C(3a＋4，a)，

已知圆C经过点A(0，2)，B(6，4)，则由|CA|＝|CB|，

得＝，

解得a＝0，所以圆心C为(4，0)，

半径r＝|CA|＝＝2，

所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝20.

(2)设M(x，y)，

∵M在圆C上，∴(x－4)2＋y2＝20，

又P(－6，0)，Q(6，0)，

由＝2可得(x＋6)2＋y2＝4[(x－6)2＋y2]，

化简得(x－10)2＋y2＝64，

联立，

解得M(，)或(，－).

核心素养升级练

1．答案：D

解析：设A(3，3)，B(2，1)，C(7，0).

假设甲错误，乙丙丁正确，

|AB|＝＝，|BC|＝＝，

|AB|≠|BC|，矛盾，所以甲正确．

假设乙错误，甲丙丁正确，

由甲、丙正确可知圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，

C(7，0)不满足上式，矛盾，所以乙正确．

假设丙错误，甲乙丁正确．

由乙丁得|AC|＝＝5>2，与半径为矛盾，所以丙正确．

假设丁错误，甲乙丙正确，

则由甲丙可知圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，

A(3，3)满足上式，符合题意．

综上所述，结论错误的同学是丁．故选D.

2．答案：(x－3)2＋(y－4)2＝25或(x－12)2＋(y－1)2＝145或(x－3)2＋(y－1)2＝10或(x－)2＋(y－)2＝

解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

若过A，B，C三点，则，解得，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25；

若过A，B，D三点，则，解得，所以圆的方程为(x－12)2＋(y－1)2＝145；

若过A，C，D三点，则，解得，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10；

若过B，C，D三点，则，解得，所以圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝.

3．解析：(1)由A(4，0)，B(0，4)，得直线AB的斜率为kAB＝＝－1，线段的中点D(2，2)，

所以kCD＝1，直线CD的方程为y－2＝x－2，即y＝x，

联立，解得，即C(3，3)，

所以半径r＝|AC|＝＝，

所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10.

(2)由l1恰好平分圆C的圆周，得l1经过圆心C(3，3)，

设点M关于直线y＝－x的对称点N(x，y)，

则直线MN与直线y＝－x垂直，且线段MN的中点为(，)在y＝－x上，

即，解得，

所以点N(－1，－4)，

所以直线CN即为直线l1，且kl1＝kCN＝＝，

直线l1方程为y－3＝(x－3)，即7x－4y－9＝0.

(3)由已知点Q在直线x＋y－6＝0上，

设Q(m，6－m)，

则QA2＋QB2＝(4－m)2＋(－6＋m)2＋(－m)2＋(4－6＋m)2＝4m2－24m＋56＝4(m－3)2＋20，

所以当m＝3时，QA2＋QB2取最小值为20.