高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课后复习题

2．4.2　圆的一般方程

1．[2023·江苏泰州高二检测]圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心坐标和半径分别为(　　)

A．(－1，2)，3    B．(1，－2)，3

C．(－1，2)，9    D．(1，－2)，9

2．[2023·安徽合肥高二检测]已知方程x2＋y2－2x＋2＋k＝0表示圆，则k的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)    B．(－∞，－)

C.(－∞，－1)    D．(－，＋∞)

3．与圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是(　　)

A．x2＋y2－2x＋4y－4＝0

B．x2＋y2－2x＋4y＋4＝0

C．x2＋y2＋2x－4y－4＝0

D．x2＋y2＋2x－4y＋4＝0

4．若直线2x－y＋a＝0始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则a的值为(　　)

A．4　　　B．6    C．－6 　 　 D．－2

5．[2023·北京大兴高二检测]已知点M1(－3，0)和点M2(3，0)，动点M(x，y)满足|MM1|＝2|MM2|，则点M的轨迹方程为(　　)

A．x2＋y2＋18x＋9＝0

B．x2＋y2＋6x＋9＝0

C．x2＋y2＋6x－9＝0

D．x2＋y2－10x＋9＝0

6．[2023·广西柳州高二检测](多选)已知方程x2＋y2＋2x－m＝0，下列叙述正确的是(　　)

A．方程表示的是圆

B．当m＝0时，方程表示过原点的圆

C．方程表示的圆的圆心在x轴上

D．方程表示的圆的圆心在y轴上

7．经过坐标原点，且圆心坐标为(－1，1)的圆的一般方程是________________．

8．经过三点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的一般方程为________________．

1．[2023·河北沧州高二检测]若圆x2＋y2＋2x＋ky＋k－1＝0的面积是π，则该圆的圆心坐标为(　　)

A．(－1，1)    B．(－1，－1)

C．(－1，2)    D．(－1，－2)

2．[2023·广东广州高二检测]若圆x2－2x＋y2＝0与圆C关于直线x＋y＝0对称，则圆C的方程为(　　)

A．x2＋2x＋y2＝0    B．x2＋y2－2y＝0

C．x2＋y2＋2y＝0    D．x2－2x＋y2＝0

3．方程y＋1＝表示的曲线为(　　)

A．圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4

B．圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的右半部分

C.圆(x＋2)2＋(y－1)2＝4

D．圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的上半部分

4．若圆C：x2＋y2－(m－2)x＋(m－2)y＋m2－3m＋2＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　)

A．1    B．2

C．2或1    D．－2或－1

5．已知圆C经过两点A(0，2)，B(4，6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　　)

A．x2＋y2－6x－6y－16＝0

B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0

C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0

D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0

6．(多选)关于曲线C：x2＋y2＝2|x|＋2|y|，下列说法正确的是(　　)

A．曲线C围成图形的面积为4π＋8

B．曲线C所表示的图形有且仅有2条对称轴

C．曲线C所表示的图形是中心对称图形

D．曲线C是以(1，1)为圆心，2为半径的圆

7．当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接点P与定点Q(3，0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程为________________．

8．[2023·浙江宁波高二检测]若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－7)2的最小值为________．

9．[2023·广东东莞四中高二检测]已知关于x，y的二元二次方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0.

(1)若方程表示的曲线是圆，求证：点M(D，E)在圆x2＋y2＝12外；

(2)若方程表示的圆C的圆心在直线x＋y－1＝0上且在第二象限，半径为，求圆C的方程．

10．已知圆C经过点A(－2，0)，B(6，0)，且圆心C在直线y＝x上．

(1)求圆C的一般方程；

(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．

1．[2023·辽宁沈阳高二检测]阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比＝λ(λ>0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2＋y2＝1，Q为x轴上一定点，P(－，0)，且λ＝2，则点Q的坐标为(　　)

A．(－1，0)    B．(1，0)

C．(－2，0)    D．(2，0)

2．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________________．

3．[2023·湖北宜城一中高二检测]已知圆C经过(2，6)，(5，3)，(2，0)三点．

(1)求圆C的方程；

(2)设点A在圆C上运动，点B(2，3)，且点M满足＝2，求点M的轨迹方程．

2．4.2　圆的一般方程

必备知识基础练

1．答案：A

解析：由方程x2＋y2＋2x－4y－4＝0可得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，

故圆心坐标为(－1，2)，半径为3.故选A.

2．答案：C

解析：因为x2＋y2－2x＋2＋k＝0表示圆，

所以D2＋E2－4F＝(－2)2－4(2＋k)>0，解得k<－1，

得k的取值范围是(－∞，－1).故选C.

3．答案：B

解析：设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝4，

所以所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋4＝0.故选B.

4．答案：C

解析：圆x2＋y2－4x＋4y＝0的圆心坐标为(2，－2)，

直线平分圆的周长，必经过圆心，

∴点(2，－2)在直线2x－y＋a＝0上，

∴4＋2＋a＝0，a＝－6.故选C.

5．答案：D

解析：因为点M1(－3，0)和点M2(3，0)，动点M(x，y)，

所以|MM1|＝，|MM2|＝，

又因为其满足|MM1|＝2|MM2|，

所以＝2，整理得x2＋y2－10x＋9＝0，

所以点M的轨迹方程为x2＋y2－10x＋9＝0.故选D.

6．答案：BC

解析：由x2＋y2＋2x－m＝0得(x＋1)2＋y2＝m＋1；

若m＋1≤0，即m≤－1，则方程不表示圆，A错误；

当m＝0时，方程为(x＋1)2＋y2＝1，则方程表示以(－1，0)为圆心，半径为1的圆，此圆经过原点，B正确；

若方程表示圆，则该圆圆心为(－1，0)，半径为，则圆心在x轴上，不在y轴上，C正确，D错误．故选BC.

7．答案：x2＋y2＋2x－2y＝0

解析：依题意设圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝r2，又圆过坐标原点，

所以r2＝(0＋1)2＋(0－1)2＝2，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＋2x－2y＝0.

8．答案：x2＋y2＋6x－2y－15＝0

解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，可得

，

解得，

所以圆的一般方程是x2＋y2＋6x－2y－15＝0.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：圆的半径r＝1，即[k2＋4－4(k－1)]＝1，k＝2，则x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，

圆心坐标为(－，－)，即(－1，－1).故选B.

2．答案：C

解析：圆x2－2x＋y2＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1，0)，半径为r＝1.

因为(1，0)关于直线x＋y＝0对称的点为(0，－1)，所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1，

即x2＋y2＋2y＝0.故选C.

3．答案：D

解析：因为y＋1＝≥0，所以(y＋1)2＝－x2＋4x(y≥－1)，

即(x－2)2＋(y＋1)2＝4(y≥－1)，

故方程y＋1＝表示的曲线为圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的上半部分．故选D.

4．答案：A

解析：将(0，0)代入圆方程，得m2－3m＋2＝0，解得m＝1或2，

当m＝1时，x2＋y2＋x－y＝0，满足题意；

当m＝2时，x2＋y2＝0，不满足题意．故选A.

5．答案：C

解析：线段AB的中点坐标为(2，4)，直线AB的斜率为kAB＝＝1，

则线段AB的垂直平分线的方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.

由，解得.

所以圆C的圆心为(3，3)，半径r＝＝，

所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10，即x2＋y2－6x－6y＋8＝0.故选C.

6．答案：AC

解析：曲线C：x2＋y2＝2|x|＋2|y|如图所示：

对于A，图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以(1，1)为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，S1＝[π×()2]＋×2×2＝π＋2，所以曲线C围成图形的面积为S＝4S1＝4π＋8，故A正确；

对于B，由图可知，曲线C所表示的图形对称轴有x轴，y轴，直线y＝x，直线y＝－x四条，故B错误；

对于C，由图可知，曲线C所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；

对于D，曲线C的图形不是一个圆，故D错误．故选AC.

7．答案：(x－)2＋y2＝

解析：设点M(x，y)，因M是线段PQ的中点，则点P(2x－3，2y)，

于是得(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(x－)2＋y2＝，

所以点M的轨迹方程为(x－)2＋y2＝.

8．答案：20

解析：圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，圆心为(－2，－1)，半径为2，

由已知可得，直线l：ax＋by＋1＝0过圆心，即有－2a－b＋1＝0，

即2a＋b＝1，则b＝1－2a，

代入(a－2)2＋(b－7)2＝(a－2)2＋(1－2a－7)2＝(a－2)2＋(1－2a－7)2＝5(a＋2)2＋20≥20.

9．解析：(1)证明：因为方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0表示的曲线是圆，

所以D2＋E2－12>0，即D2＋E2>12，

因而点M(D，E)在圆x2＋y2＝12外．

(2)由题意知，圆心C(－，－)，

因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，　①

又因为半径r＝＝，即D2＋E2＝20，　②

联立①②，解得或，

又因为圆心在第二象限，所以－<0，－>0，即D>0，E<0.

所以D＝2，E＝－4，

故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝2.

10．解析：(1)设所求圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心C(－，－)，

由题意得，解得，

所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－4y－12＝0.

(2)依题意，设M(x，y)，P(x0，y0)，因为M为线段OP的中点，O(0，0)，所以x0＝2x，y0＝2y，

又因为点P在圆C上运动，所以x＋y－4x0－4y0－12＝0，

故(2x)2＋(2y)2－4×(2x)－4×(2y)－12＝0，

整理得x2＋y2－2x－2y－3＝0，

所以点M的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.

核心素养升级练

1．答案：C

解析：设Q(a，0)，M(x，y)，所以|MQ|＝.

由P(－，0)，得|MP|＝ .

因为＝λ＝2，所以＝2，整理得x2＋y2＋x＝.

因为动点M的轨迹方程是x2＋y2＝1，所以解得a＝－2，所以Q(－2，0).故选C.

2．答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－)2＋(y－)2＝或(x－)2＋(y－1)2＝

解析：依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

若过(0，0)，(4，0)，(－1，1)，则，解得，所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；

若过(0，0)，(4，0)，(4，2)，则，解得，所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；

若过(0，0)，(4，2)，(－1，1)，则，解得，所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，即(x－)2＋(y－)2＝；

若过(－1，1)，(4，0)，(4，2)，则，解得，所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即(x－)2＋(y－1)2＝.

3．解析：(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则有，解得，

则圆C的方程为x2＋y2－4x－6y＋4＝0.

(2)设M(x，y)，A(xA，yA)，

则有＝(x－xA，y－yA)，＝(2－x，3－y)，2＝(4－2x，6－2y).

由＝2，可得，解得.

由点A在圆C上，得(3x－4)2＋(3y－6)2－4(3x－4)－6(3y－6)＋4＝0.即x2＋y2－4x－6y＋12＝0，故点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－6y＋12＝0.