人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程第1课时课时训练

第1课时　直线与圆的位置关系(1)

1．直线kx＋y－2－3k＝0与圆x2＋y2－4x－5＝0的位置关系是(　　)

A．相离    B．相切

C．相交    D．相交或相切

2．[2023·江苏南通高二测试]直线3x＋4y＋5＝0与圆x2＋y2＝10相交于A，B两点，则AB的长等于(　　)

A．3　　　B．4    C．6　　　D．1

3．从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2，3)向圆引切线，则此切线的长是(　　)

A．　　　B．2    C．　　　D．

4．[2023·江苏连云港高二测试]设a，b为实数，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　)

A．在圆上    B．在圆外

C．在圆内    D．不能确定

5．[2023·山东烟台高二检测]若直线ax＋by－1＝0与圆C：x2＋y2＝1相离，则过点P(a，b)的直线与圆C的位置关系是(　　)

A．相离    B．相切

C．相交    D．不确定

6．(多选)过点(1，4)且与圆(x＋1)2＋y2＝4相切的直线的方程为(　　)

A．x－1＝0   B．y－4＝0

C．3x－4y＋13＝0    D．4x－3y＋8＝0

7．过点(3，2)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程是________________(用一般式表示).

8．直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，且A(0，1).若|AB|＝，则直线l的斜率为________．

1．若圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5与直线l相切，且直线l与直线x－2y＝0垂直，则直线l的方程是(　　)

A．x＋2y＋2＝0或x＋2y－8＝0

B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0

C．2x＋y＋1＝0或2x＋y－9＝0

D．2x－y－5＝0或2x－y－5＝0

2．[2023·福建龙岩高二检测]已知直线y＝2x关于直线y＝x对称的直线l被圆x2＋y2－mx＋3＝0截得的弦长为，则实数m的值为(　　)

A．4    B．±4

C．8    D．±8

3．[2023·山东青岛二中高二检测]直线l：kx－y－1－2k＝0(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5的公共点个数为(　　)

A．0个    B．1个

C．2个    D．1个或2个

4．已知直线l：x－y＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－2m＝0相离，则实数m的取值范围是(　　)

A．[－，－]    B．(－∞，－)

C．(－，－)    D．(－，＋∞)

5．[2023·山东泰安高二检测]已知圆M：(x－2)2＋y2＝4内有点P(3，1)，则以点P为中点的圆M的弦所在直线方程为(　　)

A．x＋y－2＝0    B．x－y－2＝0

C．x＋y－4＝0    D．x－y＋2＝0

6．[2021·新高考Ⅱ卷](多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切

B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离

D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

7．[2022·新高考Ⅱ卷]已知点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a的对称直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1存在公共点，则实数a的取值范围为________．

8．[2023·山东青岛高二检测]若圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x＋a的距离为1，则实数a的值为________．

9．[2023·河北邢台高二检测]已知圆C经过原点且与直线x－y－4＝0相切，圆心C在直线x＋y＝0上．

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过点(2，1)，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

10．在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心是(0，1)，半径是1，直线l的方程为x－2y＋m＝0，点A(－1，0).

(1)若l与圆C相切，求m的值；

(2)若l经过点A，求直线l与圆的交点的坐标；

(3)若过点A的直线l′截得圆C的弦长|MN|≥，求l′的斜率的取值范围．

1．若直线l：x＋m(y－4)＝0与曲线x＝有两个交点，则实数m的取值范围是(　　)

A．0<m<    B．0≤m<

C．0<m≤    D．0≤m≤

2．[2023·山东烟台高二检测]在平面直角坐标系中，M，N分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线x＋2y－5＝0相切，则圆C面积的最小值为________．

3．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R).

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．

第1课时　直线与圆的位置关系(1)

必备知识基础练

1．答案：C

解析：直线kx＋y－2－3k＝0即k(x－3)＋(y－2)＝0，过定点(3，2)，因为圆的方程为x2＋y2－4x－5＝0，则32＋22－4×3－5＝－4<0，所以点(3，2)在圆内，则直线与圆相交．故选C.

2．答案：C

解析：因为圆心(0，0)到直线3x＋4y＋5＝0的距离为d＝＝1，所以|AB|＝2＝2＝6.故选C.

3．答案：B

解析：

设切点为Q，圆心为C，连接PQ，PC，CQ，则CQ⊥PQ，

而|PQ|＝

＝＝2.

故选B.

4．答案：B

解析：根据题意<1，即a2＋b2>1，故点P(a，b)在圆外．故选B.

5．答案：C

解析：因为直线ax＋by－1＝0与圆C：x2＋y2＝1相离，

所以圆心(0，0)到直线ax＋by－1＝0的距离大于半径，

即>1，所以a2＋b2<1，故点P(a，b)在圆内，

所以过点P(a，b)的直线与圆C相交．故选C.

6．答案：AC

解析：设切线为l，圆心到切线的距离为d，圆的半径为r＝2.

若l的斜率不存在，则直线方程为x＝1，

圆心到直线的距离为d＝1－(－1)＝2＝r，满足题意；

若l的斜率存在，设直线方程为y－4＝k(x－1)，即kx－y＋4－k＝0，

因为直线与圆相切，所以d＝＝r＝2，解得k＝，

所以切线方程为3x－4y＋13＝0.故选AC.

7．答案：x＋y－5＝0

解析：设切线方程为y－2＝k(x－3)，因为过点(3，2)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则(3，2)在圆上，切点与圆心连线的斜率k1＝＝1，所以切线的斜率为k＝－1，则切线方程为y－2＝－1×(x－3)，化简得x＋y－5＝0.

8．答案：±1

解析：设直线l的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，圆心到直线l的距离为d，

圆的半径r＝1，

因为|AB|＝2＝，所以d＝，

由d＝＝，解得k＝±1.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：因为直线l与直线x－2y＝0垂直，

所以设直线l的方程为2x＋y＋C＝0，

又因为直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，

所以＝，

解得C＝5或C＝－5，

所以直线l的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.故选B.

2．答案：B

解析：因为直线y＝2x与直线y＝x的交点为(0，0)，所以直线l经过点(0，0)，

取直线y＝2x上一点(1，2)关于y＝x对称的点为(2，1)在直线l上，

所以kl＝，所以l的直线方程为x－2y＝0，

圆心(，0)到直线x－2y＝0的距离为d＝，

圆的半径r＝，所以()2＋()2＝()2，

解得m＝±4.故选B.

3．答案：D

解析：l：kx－y－1－2k＝0(k∈R)为k(x－2)－y－1＝0，

故l过定点(2，－1)，在圆x2＋y2＝5上，

故直线l与圆相切或相交，公共点个数为1个或2个．故选D.

4．答案：C

解析：由C：x2＋y2－2y－2m＝0⇒x2＋(y－1)2＝2m＋1>0，则m>－，

所以圆心为(0，1)，半径为，

由直线与圆相离，故>，可得m<－，

综上，－<m<－.故选C.

5．答案：C

解析：由圆M的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，可知圆心M(2，0)，半径r＝2，

如图，连接MP，作MP的垂线，交圆M于A，B两点，

以点P为中点的圆M的弦即为AB，

∵kMP＝＝1，MP⊥AB，

∴kAB＝－＝－1，

所以直线AB的方程为y－1＝－1(x－3)，整理得x＋y－4＝0.故选C.

6．答案：ABD

解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，

若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，

则直线l与圆C相切，故A正确；

若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝>|r|，

则直线l与圆C相离，故B正确；

若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，

则直线l与圆C相交，故C错误；

若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，

所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．

故选ABD.

7．答案：[，]

解析：A(－2，3)关于y＝a对称的点的坐标为A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上，

所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l为y＝x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0；

圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1，

依题意圆心到直线l的距离d＝≤1，

即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得≤a≤，即a∈[，].

8．答案：±

解析：由圆x2＋y2＝4可知圆心为(0，0)，半径为2，

要使圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x＋a的距离为1，

则圆心(0，0)到直线l：y＝x＋a的距离为1，

所以＝1，解得a＝±.

9．解析：(1)因为圆心C在直线x＋y＝0上，可设圆心为C，

则点C到直线x－y－4＝0的距离d＝，

|OC|＝.

据题意，d＝|OC|，则＝，

解得a＝1，

所以圆心为C(1，－1)，半径r＝d＝，

则所求圆的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

(2)当弦长为2，则圆心到直线的距离为＝1.

当k不存在时，直线x＝2符合题意；

当k存在时，设直线方程为kx－y－2k＋1＝0，

圆心到直线的距离为＝1，∴k＝，

∴直线方程为3x－4y－2＝0.

综上所述，直线方程为x＝2或3x－4y－2＝0.

10．解析：(1)圆C的方程为x2＋(y－1)2＝1.

由题意知，圆心C到直线l的距离为d＝＝＝1，

解得m＝2＋或2－.

(2)若直线l过点A，则m＝1，直线l的方程为x－2y＋1＝0，

联立直线l与圆C的方程，解得或，即交点坐标分别为(1，1)，(－，).

(3)设直线l′斜率为k，则直线l′的方程为y＝k(x＋1)，

即kx－y＋k＝0.

设圆心C到直线l′的距离为d′，有(d′)2＋()2＝1，

因为|MN|≥，所以d′≤，

即d′＝＝≤，解得≤k≤，

故l′的斜率的取值范围为[，].

核心素养升级练

1．答案：B

解析：x＝表示的曲线是圆心为(0，0)，半径为2的圆在y轴以及右侧的部分，如图所示：

直线l：x＋m(y－4)＝0必过定点(0，4)，

当直线l与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，

即＝2，结合直线与半圆相切可得m＝，

当直线l的斜率不存在时，即m＝0时，直线和曲线恰有两个交点，

所以要使直线和曲线有两个交点，

则0≤m<.故选B.

2．答案：

解析：∵MN是直径，

∠MON＝90°，

∴点O在圆上，

过O作OD垂直直线x＋2y－5＝0，交点为D，

∵圆C与直线x＋2y－5＝0相切，

∴要使圆C的面积最小，此时OD为圆的直径即可，

O到直线x＋2y－5＝0的距离为OD＝＝，

则圆的半径为，

即圆的最小面积为πr2＝.

3．解析：(1)证明：将直线l的方程变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，令，解得，即直线l过定点(3，1).因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，所以点(3，1)在圆内部．所以不论m为何实数，直线l与圆恒相交．

(2)由(1)的结论知直线l过定点M(3，1)，且当直线l⊥CM时，此时圆心到直线l的距离最大，进而l被圆所截的弦长|AB|最短，故|CM|＝＝，

从而此时|AB|＝2＝2＝4，

此时kAB＝－＝2，直线AB方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.