高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第1课时课时练习

第1课时　抛物线的简单几何性质

1．[2023·安徽合肥高二测试]顶点在原点，准线方程为x＝的抛物线的标准方程为(　　)

A．y2＝x    B．y2＝－x

C．y2＝3x    D．y2＝－3x

2．若抛物线y2＝mx的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，则m的值为(　　)

A．4　　　B．－4    C．2　　　D．－2

3．[2023·湖北武汉高二测试]抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点(－5，2)在抛物线上，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝－2x    B．y2＝－4x

C．y2＝2x  D．y2＝4x

4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|AB|＝8，则p＝(　　)

A．1　　　B．2    C．4　　　D．8

5．过抛物线y2＝2x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为4，则|AB|＝(　　)

A．10    B．9

C．6    D．5

6．[2023·河北邯郸高二检测](多选)对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是(　　)

A．开口向上，焦点为(0，2)

B．开口向上，焦点为(0，)

C．焦点到准线的距离为4

D．准线方程为y＝－4

7．抛物线C：y2＝2px的焦点F恰好是圆(x－1)2＋y2＝1的圆心，过点F且倾斜角为45°的直线l与C交于不同的A，B两点，则|AB|＝________．

8．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝72x上，则这个三角形的边长是________．

1．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，则p＝(　　)

A．2    B．2或4

C．1或2    D．1

2．[2023·江苏连云港高二测试]已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线C的标准方程是(　　)

A．x2＝－8y

B．y2＝16x或x2＝－8y

C．x2＝－12y

D．y2＝16x

3．圆心在抛物线x2＝2y(x>0)上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是(　　)

A．x2＋y2－x－2y－＝0

B．x2＋y2＋2x－2y＋1＝0

C．x2＋y2－x－2y＋1＝0

D．x2＋y2－2x－y＋＝0

4．[2023·广西钦州高二检测]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若＝3，则点P到准线l的距离为(　　)

A．3    B．4

C．5    D．6

5．(多选)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF，NF，NB，NA.下列说法正确的是(　　)

A．|MN|＝|AB|

B．FN⊥AB

C．Q是线段MN的一个三等分点

D．∠QFM＝∠QMF

6．[2023·江西抚州高二检测](多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，其中点M在第一象限，若cos θ＝，|MN|＝，则下列说法正确的是(　　)

A．焦点F到准线的距离为6

B．x1x2＝

C．y1y2＝－9

D．＝

7．过抛物线y2＝4x的焦点的直线和抛物线交于A，B两点，若弦|AB|＝8，则该直线方程是________．

8．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，则抛物线的方程为________________．

9．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点A(4，m)(m>0)到其准线的距离为5.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知O为原点，点B在抛物线C上，若△AOB的面积为6，求点B的坐标．

10．[2023·江苏省镇江一中高二测试]已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是F(1，0)，斜率为的直线l经过F且与抛物线相交于A，B两点．

(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；

(2)求线段AB的长．

1．[2023·广东东莞高二测试]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，若以线段PQ为直径的圆与直线x＝5相切，则＝(　　)

A．8    B．7

C．6    D．5

2．已知直线l是抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线，半径为的圆过抛物线的顶点O和焦点F，且与l相切，则抛物线C的方程为________；若A为C上一点，l与C的对称轴交于点B，在△ABF中，sin ∠AFB＝sin ∠ABF，则|AB|的值为________．

3．[2023·江苏常州高二检测]抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线y2＝2px(p>0)，一光源在点M(，4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x－4y－17＝0上的点N，再反射后又射回点M，设P，Q两点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).

(1)证明：y1y2＝－p2；

(2)求抛物线方程．

第1课时　抛物线的简单几何性质

必备知识基础练

1．答案：D

解析：由题意可知，抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则＝，所以p＝，所以抛物线的标准方程为y2＝－3x.故选D.

2．答案：B

解析：由题可知抛物线的焦点为(，0)，椭圆左焦点为(－1，0)，∴＝－1⇒m＝－4.故选B.

3．答案：B

解析：根据题意设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)，因为点(－5，2)在抛物线上，所以有20＝－5m，解得m＝－4，所以抛物线的方程是y2＝－4x.故选B.

4．答案：C

解析：依题可知，2p＝8，所以p＝4.故选C.

5．答案：B

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得＝4，

所以由抛物线的几何意义得|AB|＝x1＋＋x2＋＝8＋1＝9.故选B.

6．答案：AC

解析：由抛物线x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2.故选AC.

7．答案：8

解析：由题意知，焦点F(1，0)，则抛物线C：y2＝4x，

直线l：y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，消去y并整理得x2－6x＋1＝0.则x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.

8．答案：144

解析：设正三角形ABC的顶点A(0，0)，边长为a(a>0)，

由于正三角形的两个顶点在抛物线y2＝72x上，

根据正三角形和抛物线的对称性可设B(a，a)，

将B点坐标代入抛物线y2＝72x得a2＝72×a，a＝144.

所以正三角形的边长为144.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，

所以，即，代入抛物线方程可得8＝2p(3－)，

整理得p2－6p＋8＝0，解得p＝2或p＝4.故选B.

2．答案：B

解析：直线x－2y－4＝0交x轴于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，－2)，

①当焦点为A(4，0)时，设方程为y2＝2px(p>0)，得＝4，2p＝16，抛物线方程为y2＝16x.

②当焦点为B(0，－2)时，设方程为x2＝－2py(p>0)，得＝2，2p＝8，抛物线方程为x2＝－8y.

综上，抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.故选B.

3．答案：D

解析：由题意设所求圆的圆心为，半径为r，其中a>0，因为抛物线x2＝2y(x>0)的准线方程为y＝－，

且该圆与抛物线的准线及y轴都相切，

所以a＝＋＝r，解得r＝a＝1，

所以该圆的方程为(x－1)2＋2＝1，

即x2＋y2－2x－y＋＝0.故选D.

4．答案：C

解析：由抛物线C：y2＝4x，可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1，

过点P作y轴的垂线，垂足为N，

因为OF∥PN，所以＝＝，

所以|PN|＝4|FO|＝4，

所以点P到准线l的距离为4＋1＝5.故选C.

5．答案：ABD

解析：如图，由抛物线的定义，得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.

又|MN|＝，则|MN|＝＝|AB|，A正确．

由|MN|＝|AB|，|AM|＝|MB|，得|MN|＝|AM|，所以∠MAN＝∠MNA.而∠MNA＝∠CAN，所以∠MAN＝∠CAN，所以△ANC≌△ANF，可知∠ACN＝∠AFN＝90°，所以FN⊥AB，B正确．

在Rt△MNF中，|QN|＝|QF|，可知∠QNF＝∠QFN，所以∠QFM＝∠QMF，D正确．

由∠QFM＝∠QMF，可知|QF|＝|QM|，所以|NQ|＝|QM|，即Q是MN的中点，故C不正确．

6．答案：BCD

解析：根据题意可得sin θ＝＝，故直线l的斜率k＝tanθ＝4，

设直线MN的方程为y＝4(x－)，联立抛物线方程y2＝2px，

可得：24x2－25px＋6p2＝0，显然Δ>0，

则x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝－2p＝－p2，

|MN|＝x1＋x2＋p＝，故＋p＝，解得p＝3；

对A：焦点F到准线的距离为p＝3，故A错误；

对B：x1x2＝＝，故B正确；

对C：y1y2＝－p2＝－9，故C正确；

对D：因为p＝3，则24x2－25px＋6p2＝0即24x2－75x＋54＝0，

解得x1＝2，x2＝，则＝＝＝，故D正确．故选BCD.

7．答案：y＝±(x－1)

解析：由题，抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，

设过(1，0)的直线为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由，得y2－4ty－4＝0，则，

所以|AB|＝·＝·＝4(1＋t2)＝8，

所以t＝±1，

所以该直线方程为x＝±y＋1，即y＝±(x－1).

8．答案：y2＝3x或y2＝－3x

解析：设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，由对称性，知x1＝x2，y2＝－y1，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2y1＝2，所以y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.

所以所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.

9．解析：(1)由抛物线C的方程可得其准线方程x＝－，

依抛物线的性质得＋4＝5，解得p＝2.

∴抛物线C的方程为y2＝4x.

(2)将A(4，m)代入y2＝4x，得m＝4.

所以A(4，4)，直线OA的方程为y＝x，即x－y＝0.

设B(t2，2t)，

则点B到直线OA的距离d＝，又|OA|＝4，

由题意得×4×＝6，解得t＝－1或t＝3.

∴点B的坐标是(1，－2)或(9，6).

10．解析：(1)由焦点F(1，0)，得＝1，解得p＝2.

所以抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).

直线l的方程为y＝(x－1).

与抛物线方程联立，得，

消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，

由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.

所以线段AB的长为.

核心素养升级练

1．答案：C

解析：

抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线x＝－1，

取PQ的中点H，分别过P，Q，H作抛物线准线的垂线，垂足分别为N，M，E，则四边形NPQM为直角梯形，HE为梯形的中位线，|HE|＝(|MQ|＋|NP|).

由抛物线定义可知，|MQ|＝|QF|，|NP|＝|PF|，则|PQ|＝|MQ|＋|NP|，

故|HE|＝|PQ|，即点H到抛物线准线的距离为|PQ|的一半，

则以线段PQ为直径的圆与抛物线的准线相切．又以线段PQ为直径的圆与直线x＝5相切，

则以线段PQ为直径的圆的直径等于直线x＝5与直线x＝－1间的距离．

即|PQ|＝5－(－1)＝6.故选C.

2．答案：y2＝2x　

解析：由题意得圆心的横坐标为p，半径为，

∴p＝⇒p＝1，

∴抛物线C的方程为y2＝2x.

设A到准线的距离为d，

∵sin ∠AFB＝sin ∠ABF，∴|AB|＝|AF|，

∴＝＝cos ∠ABF，∴∠ABF＝45°，

∴lAB：y＝x＋代入y2＝2x，解得xA＝，yA＝1，

∴|AF|＝xA＋＝1＝d，

∴|AB|＝.

3．解析：(1)根据抛物线的光学性质可知，直线PQ过抛物线的焦点F(，0)，且与x轴不平行，

设直线PQ的方程为x＝my＋，

由消去x并化简得y2－2mpy－p2＝0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，Δ＝4m2p2＋4p2>0，

则y1y2＝－p2.

(2)依题意，M(，4)，所以y1＝4，x1＝＝，则P(，4)．

设M关于直线l的对称点为M1(m，n)，

则，解得m＝，n＝－1，即M1.

则y2＝－1，x2＝＝，则Q(，－1)，

P(，4)，F(，0)，Q(，－1)三点共线，＝(－，－4)，＝(－，－5)，

所以(－)×(－5)＝－4×(－)，解得p＝2，

所以抛物线的方程为y2＝4x.