2022北京丰台高一（上）期末数学（教师版）

2022北京丰台高一（上）期末

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知函数，那么　　

A． B． C． D．2

2．已知集合，1，2，3，，，2，，那么集合可能是　　

A．，2， B．，1， C．，1， D．，3，

3．已知，，，，那么下列结论成立的是　　

A． B． C． D．

4．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是　　

A． B． C． D．

5．下列函数中，最小正周期为的是　　

A． B． C． D．

6．已知，那么的最小值是　　

A． B． C． D．

7．已知函数，那么“”是“函数是增函数”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学研究表明，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．已知两次地震的能量与里氏震级分别为与，若，则　　

A． B．3 C． D．

9．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．

收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为，篮框中心点为，他可以选择让篮球在运行途中经过，，，四个点中的某一点并命中，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是　　

A． B． C． D．

10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若是函数的一个零点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）已知幂函数的图象经过点，那么　　．

12．（5分）在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于坐标原点对称．若，则　　．

13．（5分）已知命题“，”是真命题，那么实数的取值范围是 　　．

14．（5分）函数的最小值是 　　．

15．（5分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．现有两名剪纸艺人创作甲、乙两种作品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，点的横、纵坐标分别为第名艺人下午创作的甲作品数和乙作品数，，2．给出下列四个结论：

①该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少；

②该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少；

③该天第1名艺人创作的作品总数比第2名艺人创作的作品总数少；

④该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少．

其中所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（13分）已知不等式的解集．

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）若集合，求，．

17．（14分）已知，且是第二象限角．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

18．（14分）已知函数．

（Ⅰ）求函数的定义域；

（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并证明；

（Ⅲ）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明．

19．（14分）一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记分钟后的病毒所占内存为．

（Ⅰ）求关于的函数解析式；

（Ⅱ）如果病毒占据内存不超过，时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长．

20．（15分）已知函数，．

（Ⅰ）在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：

在答题卡相应位置完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间，上的图象；

（Ⅱ）求函数的单调递增区间；

（Ⅲ）求函数在区间上的值域．

21．（15分）已知为正整数，集合，，，，，，2，，，对于中任意两个元素，，，和，，，，定义：，，，；．

（Ⅰ）当时，设，1，，，0，，写出，并计算；

（Ⅱ）若集合满足，且，，，求集合中元素个数的最大值，写出此时的集合，并证明你的结论；

（Ⅲ）若，，且，任取，求的值．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，那么，

故选：．

【点评】本题考查函数解析式的计算，涉及函数值的计算，属于基础题．

2．【分析】根据题意和并集的运算直接写出即可．

【解答】解：因为集合，1，2，3，，，2，，

所以集合中必须要有0和3，另外再在1，2，4中加数，也可以不加数，

故选：．

【点评】本题考查并集及其运算，属于基础题．

3．【分析】直接利用不等式的性质和赋值法的应用求出结果．

【解答】解：对于：当，时，不满足，故错误；

对于：当，时，无意义，故错误；

对于：当时，所以，故错误；

对于：利用不等式的性质，所以，故正确．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

4．【分析】由题意只要检验各选项中函数的奇偶性即可判断．

【解答】解：：函数定义域为非奇非偶函数，不符合题意；

为奇函数，图象关于原点对称，符合题意；

为偶函数，图象关于轴对称，不符合题意；

为非奇非偶函数，图象关于原点不对称，不符合题意．

故选：．

【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断及奇函数性质的应用，属于基础题．

5．【分析】由题意利用三角函数的周期性，得出结论．

【解答】解：由于的最小正周期为，故排除；

由于的最小正周期为，故排除；

由于的最小正周期为，故排除；

由于的最小正周期为，故满足条件，

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．

6．【分析】由题中的条件，利用基本不等式即可解出．

【解答】解：，

，

当且仅当时，取等号．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的运算，基本不等式，学生的数学运算能力，属于基础题．

7．【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：当时，，此时为单调增函数，故“” “函数是增函数”；

若为增函数，则有，故由“函数是增函数”不能推出“”，

所以“”是“函数是增函数”的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查了分段函数的单调性，充分必要条件的判定，属于基础题．

8．【分析】利用对数运算法则和指数与对数互化求解．

【解答】解：由题意得：，，

两式相减得：，

，．

故选：．

【点评】本题考查对数的运算，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

9．【分析】定性分析即可得到答案．

【解答】解：、两点，横坐标相同，而点的纵坐标大于点的纵坐标，显然，点上升阶段的水平距离长；

，两点，纵坐标相同，而点的横坐标小于点的横坐标，等经过点的篮球运行到与点横坐标相同时，显然在点上方，故点上升阶段的水平距离长；

同理可知点路线优于点路线，

综上：是被“盖帽”的可能性最大的线路．

故选：．

【点评】本题考查了合情推理，属于基础题．

10．【分析】直接利用函数的关系式的变换和函数的图象的平移变换的应用求出结果．

【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象；

故函数，

由于是函数的一个零点，

故，

故当的最小值为时，关系式相等．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的零点和方程的根，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．【分析】由题意代入点的坐标，即可求出的值．

【解答】解：指数函数的图象经过点，

，

解得：，

故答案为：3．

【点评】本题考查了幂函数的图象和性质，属于基础题．

12．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．

【解答】解：在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于坐标原点对称，且，

．

故答案为：．

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查了函数思想，属于基础题．

13．【分析】根据题意，由指数函数的性质可得，结合全称命题的定义分析可得答案．

【解答】解：根据题意，，，

若命题“，”是真命题，必有，即的取值范围为，；

故答案为：，．

【点评】本题考查命题真假的判断，注意全称命题的定义，属于基础题．

14．【分析】将函数整理，由的范围可得的最小值．

【解答】解：，

又因为，，

所以当时，最小为0，

故答案为：0．

【点评】本题考查三角函数的最值的求法，考查计算能力，是基础题．

15．【分析】根据已知及图象逐一判断即可．

【解答】解：①由图象可知的横坐标小于纵坐标，所以该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少，故①正确；

②由图象可知的纵坐标小于的纵坐标，所以该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少，故②正确；

③由图象可知第1名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数都多于第2名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，

第1名艺人下午创作的甲作品多于第2名艺人下午创作的甲作品，创作的乙作品少于第2名艺人下午创作的乙作品，

但该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少，故③错误，④正确．

故答案为：①②④．

【点评】本题主要考查命题真假的判断，考查数形结合思想，属于中档题．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．【分析】（Ⅰ）直接根据韦达定理即可求解，

（Ⅱ）直接根据集合得基本运算求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）不等式的解集，

和2是方程的两根，

且，

，，

（Ⅱ）集合，

，

，．

【点评】本题主要考查韦达定理以及集合的基本运算，比较基础．

17．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．

（Ⅱ）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）因为，且是第二象限角，

所以；

（Ⅱ）．

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．

18．【分析】（Ⅰ）由对数式的真数大于0，联立不等式组求解；

（Ⅱ）直接利用函数奇偶性的定义证明；

（Ⅲ）直接利用函数单调性的定义证明．

【解答】解：（Ⅰ）由，得；

函数的定义域为；

（Ⅱ）是定义域内的偶函数．

证明如下：

，

且的定义域为，

是定义域内的偶函数；

（Ⅲ）函数在区间上单调递减．

证明如下：

，

设，

则，

，，则，

，即，，

函数在区间上单调递减．

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查函数的奇偶性与单调性的判定及证明，是中档题．

19．【分析】（Ⅰ）由题意可得，第分钟后，病毒所占内存为；

（Ⅱ）由，求解指数方程得答案．

【解答】解：（Ⅰ）因为在刚开机时它占据的内存，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占的内存是原来的2倍，

所以，一个三分钟后它占据的内存为；

两个三分钟后它占据的内存为；

三个三分钟后它占据的内存为；

所以，分钟后它占据的内存为；

（Ⅱ）由，得，解得．

故本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是基础题．

20．【分析】（Ⅰ）分别计算五点坐标，利用五点法即可画出图形．

（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可得解．

（Ⅲ）利用正弦函数的性质即可得解．

【解答】解：（Ⅰ）完成上述表格如下：

描点，连线，可得图象如下：

（Ⅱ）令，，解得，，

可得函数的单调递增区间为，，．

（Ⅲ）因为，可得，，

所以，，，．

【点评】本题考查了五点法作函数的图象以及正弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．

21．【分析】（1）根据定义直接求解即可；

（2）根据定义，结合反证法进行求解即可；

（3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可．

【解答】解：（1），1，，．

（2）最大值是4．

此时，0，，，1，，，0，，，1， 或，0，，，1，，，0，，，1，．

若还有第5个元素，则必有，0，，，1，和，0，，，1，和，1，，，0，和，1，，，0，之一出现，

其对应的，不符合题意．

（3）解：设，，，，，，，，，，，，

所以，，，，，，，2，3，

从而，，，，

又，

当 时，；

当时，．

所以，，，

所以．

【点评】本题考查数列的应用，考查学生的综合能力，属于难题．