2022北京西城高一（上）期末数学（教师版）

2022北京西城高一（上）期末

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（4分）已知集合，，那么　　

A． B． C． D．

2．（4分）方程组的解集是　　

A．， B．， 

C．， D．

3．（4分）函数的定义域是　　

A．， B．， C．，， D．，，

4．（4分）为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在，内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为　　

A．0.38 B．0.61 C．0.122 D．0.75

5．（4分）若，，则一定有　　

A． B． 

C． D．以上答案都不对

6．（4分）已知向量，，那么　　

A．5 B． C．8 D．

7．（4分）若，则　　

A． B． C． D．

8．（4分）设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．（4分）设为上的奇函数，且在上单调递增，（1），则不等式的解集是　　

A． B． 

C． D．，，

10．（4分）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一点（含端点，，若，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）命题“，”的否定是 　　．

12．（5分）如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，记甲、乙的平均成绩分别为，，则，的大小关系是 　　．

13．（5分）若不等式的解集为，则　　，　　．

14．（5分）如图，在正六边形中，记向量，，则向量　　．（用，表示）

15．（5分）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“单调增函数”．

对于“单调增函数”，有以下四个结论：

①“单调增函数” 一定在上单调递增；

②“单调增函数” 一定是“单调增函数”（其中，且

③函数是“单调增函数”（其中表示不大于的最大整数）；

④函数不是“单调增函数”．

其中，所有正确的结论序号是 　　．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（13分）在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的．

（Ⅰ）求丙答题正确的概率；

（Ⅱ）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．

17．（15分）设，其中．

（Ⅰ）当时，求函数的图像与直线交点的坐标；

（Ⅱ）若函数有两个不相等的正数零点，求的取值范围；

（Ⅲ）若函数在上不具有单调性，求的取值范围．

18．（14分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：

（Ⅰ）若乙的平均得分高于甲的平均得分，求的最小值；

（Ⅱ）设，，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，求的概率；

（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）

19．（15分）已知函数．

（Ⅰ）若（a），求的值；

（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（Ⅲ）若对于，恒成立，求实数的范围．

20．（13分）某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用（单位：万元）与使用时间，单位：年）之间的函数关系式为，该船每年捕捞的总收入为50万元．

（Ⅰ）该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？

（Ⅱ）若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？

21．（15分）设是实数集的非空子集，称集合，，且为集合的生成集．

（Ⅰ）当，3，时，写出集合的生成集；

（Ⅱ）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；

（Ⅲ）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并说明理由．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【分析】先求出集合，再利用并集定义能求出．

【解答】解：集合，，

．

故选：．

【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．【分析】利用代入法可求得方程组的解集．

【解答】解：由，得，

代入，得，

解得，

故时，，

时，，

故方程组的解集是，，

故选：．

【点评】本题主要考查了一元二次方程组的解法，集合的表示方法，属于基础题．

3．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解．

【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．

函数的定义域是，．

故选：．

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．

4．【分析】根据已知条件，直接读取频率分布直方图，即可求解．

【解答】解：质量指标值在，内的产品为一等品，

该企业生产的产品为一等品的概率约为．

故选：．

【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．

5．【分析】根据已知条件，结合特殊值法，即可求解．

【解答】解：对于，令，，，，满足，，但，故错误，

对于，令，，，，满足，，但，故错误，

对于，令，，，，满足，，但，故错误．

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．

6．【分析】通过向量的坐标运算以及向量的模的求法，求解即可．

【解答】解：向量，，那么，．

故选：．

【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，是基础题．

7．【分析】由已知结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质可求．

【解答】解：由题意得，，

所以，

故选：．

【点评】本题主要考查了指数与对数的相互转化及对数的运算性质，属于基础题．

8．【分析】直接利用向量的共线和充分条件和必要条件的应用求出结果．

【解答】解：设，为平面向量，则当时，向量，共线，当向量，，共线，则不存在实数使，故“存在实数，使得”是“向量，共线”的充分不必要条件；

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：向量共线，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

9．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可．

【解答】解：为上的奇函数，且在上单调递增，（1），

在上单调递增且，

则的图象如图：

则的解为或，

由或，得或，

即的解集，，，

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系作出函数的图象是解决本题的关键，是中档题．

10．【分析】设，，，由平面向量的线性运算法则可得，进而得，再结合配方法和二次函数的性质，得解．

【解答】解：由题意知，为等腰直角三角形，其中，

设，，，

则，

所以

，在，上单调递减，

故当时，取得最大值，为10，

当时，取得最小值，为2，

所以的取值范围为，．

故选：．

【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的加法、减法和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，．

故答案为：，．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．

12．【分析】根据已知条件，结合平均数公式，分别求出，，再通过比较大小，即可求解．

【解答】解：由表格数据可得，，

，

故．

故答案为：．

【点评】本题主要考查茎叶图的应用，考查计算能力，属于基础题．

13．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出和的值．

【解答】解：因为不等式的解集为，

所以和2是方程的实数解，

由根与系数的关系，知，

解得，．

故答案为：；1．

【点评】本题考查了一元二次不等式与方程的应用问题，是基础题．

14．【分析】利用正六边形的性质以及三角形法则化简即可求解．

【解答】解：在正六边形中，，

且，则，

故答案为：．

【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到三角形法则以及正六边形的性质，属于基础题．

15．【分析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明．

【解答】解：①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；

②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；

③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；

④当时，，若，则，显然不满足，故函数不是“单调增函数”，④正确．

故答案为：②③④．

【点评】本是属于新概念题，考查了推理能力，充分理解和运用定义是解答本题的关键，属于中档题．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．【分析】（Ⅰ）设丙答题正确的概率为，利用对立事件和相互独立事件概率公式 列方程，能求出丙答题正确的概率；

（Ⅱ）由相互独立事件概率乘法公式能求出甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．

【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件，，，

设丙答对题的概率为，乙答对题的概率为（B），

每人回答问题正确与否相互独立，事件，，是相互独立事件，

根据相互独立事件概率乘法公式得（B）（C），

解得，

丙答题正确的概率为；

（Ⅱ）甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为：

（B）．

【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

17．【分析】当时，，联立方程，求解坐标，即可求解．

由已知条件可得，，解出的取值范围，即可求解．

根据已知条件，结合二次函数的性质，即可求解．

【解答】解：当时，，

联立方程，解得或，

故焦点坐标为和．

函数有两个不相等的正数零点，

设方程有两个不等的正实根，，

即，解得，

故的取值范围为，．

函数在上单调递增，在上单调递减，

函数在上不具有单调性，

，解得，

故的取值范围为．

【点评】本题主要考查二次函数的性质与图象，属于中档题．

18．【分析】（Ⅰ）由题意得，，由此能求出的最小值；

（Ⅱ）由，，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，利用列举法能求出的概率；

（Ⅲ）由题设条件能求出的所有可能取值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得，整理得，

根据题意得，，

乙的平均得分高于甲的平均得分时，的最小值为5；

（Ⅱ）设，，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，

设事件表示“”，

记甲的4局比赛为，，，，各局得分为6，6，9，9，

乙的4局比赛为，，，，各局得分为7，9，6，10，

从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有的可能的结果有16种，分别为：

，，，，，，，，

，，，，，，，，

事件包含的基本事件有8种，分别为：

，，，，，，，，

的概率；

（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，

的所有可能取值为6，7，8．

【点评】本题考查平均数、概率的运算，考查平均数、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19．【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程直接进行求解即可，

（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义进行证明即可，

（Ⅲ）利用参数分离法转化求最值问题进行求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）若（a），得，即，得，

得；

（Ⅱ）由，得或，定义域关于原点对称，

则，

即，则是奇函数．

（Ⅲ），

设，则为增函数，在，为增函数，

在，为增函数，

要使对于，恒成立，

则使，

（3），

，

则求实数的范围是，．

【点评】本题主要考查函数奇偶性的的判断以及函数最值的求解，利用奇函数的定义以及参数分离法转化为求最值是解决本题的关键，是中档题．

20．【分析】由题意可得，渔船捕捞的利润，即可求解．

据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．

【解答】解：由题意可得，渔船捕捞的利润，解得，

，且，

该渔船捕捞3年开始盈利．

由题意可得，平均盈利额，

当且仅当，即时，等号成立，

故在第7年平均盈利额达到最大，总收益为万元．

【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题．

21．【分析】（Ⅰ）利用集合的生成集定义直接求解．

（Ⅱ）设，，，，，且，利用生成集的定义即可求解；

（Ⅲ）不存在，理由用反证法说明．

【解答】解：（Ⅰ），3，，，10，，

（Ⅱ）设，，，，，不妨设，

因为，

所以中元素个数大于等于7个，

又，，，，，，，，，，，，

此时中元素个数大于等于7个，

所以生成集中元素个数的最小值为7．

（Ⅲ）不存在，理由如下：

假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其生成集，3，5，6，10，，

不妨设，则集合的生成集，，，，，，

则必有，，其4个正实数的乘积；

也有，，其4个正实数的乘积，矛盾；

所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，．

【点评】本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题．