2023北京清华附中高一（上）期末数学（非马班）（教师版）

这是一份2023北京清华附中高一（上）期末数学（非马班）（教师版），共14页。
2023北京清华附中高一（上）期末数学（非马班）（清华附中高22级）第一部分（选择题  共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 2. 若点在角的终边上，则（    ）A.  B.  C.  D. 3. 计算：（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 64. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）A. 向左平移个单位长度  B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度5. 已知，则a，b，c的大小关系为（    ）A.  B.  C.  D. 6. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ）A.  B.  C.  D. 7. 下列区间包含函数零点的为（    ）A.  B.  C.  D. 8. 若函数是奇函数，使得取到最大值时的一个值为（    ）A.  B. 0 C.  D. 9. 已知实数，则“”是“”（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件10. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）①时，的最大值为；②时，方程在上有且只有三个不等实根；③时，为奇函数；④时，的最小正周期为A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④第二部分（非选择题  共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 函数的定义域为___________.12. 已知，则___________．13. 已知函数经过点，则不等式的解集为___________．14. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为___________．15. 已知，给出下列四个结论：①若，则或2；②若，且，则；③不存正数k，使得恰有1个零点；④存在实数，使得恰有3个零点．其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16 已知二次函数，其中．（1）若的最小值为0，求m的值；（2）若有两个不同零点，求证：．17. 已知函数的图象过点，相邻的两个对称中心之间的距离为.（1）求的解析式；（2）求单调递增区间和对称中心．18 已知函数，其中且．（1）已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；（2）若，求的最小值；（3）若在区间上的最大值为2，求a的值．19. 已知函数．（1）求，并求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值，并求相应的x值．20. 如图，在函数图像任取三点，满足，，，分别过A、B、C三点作x轴垂线交x轴于D、E、F．（1）当时，求梯形ADEB的周长；（2）用a表示的面积S，并求S的最大值．21. 已知整数，集合，对于中的任意两个元素，，定义A与B之间的距离为．若且，则称是是中的一个等距序列．（1）若，判断是否是中的一个等距序列？（2）设A，B，C是中的等距序列，求证：为偶数；（3）设是中的等距序列，且，，．求m的最小值．
参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 【答案】D【解析】【分析】首先解指数不等式得到，再求即可.【详解】，，则.故选：D2. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的概念求解即可得到答案.【详解】点为坐标原点，.根据三角函数的概念可得，.故选：C.3. 【答案】B【解析】【分析】由对数的运算法则化简即可求得.【详解】由对数运算法则化简得故选：B4. 【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.【详解】因为，所以由函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象，故选：C5. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得到，，，即可得到答案.【详解】，即.，即.，即.所以.故选：C6. 【答案】B【解析】【分析】逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间上的单调性，可得出结论.【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，故A错误；对于B选项，函数的最小正周期为，当时，，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故C错误；对于D选项，函数的最小正周期为，故D错误.故选：B.7. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断答案.【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，函数在上单调递增，因为，所以，函数零点在区间 内，故选：C.8. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的奇偶性求出,再根据对称轴使得取到最大值,计算即可.【详解】若函数是奇函数,所以.所以,当取到最大值时,,即,可得，当时, .故选:.9. 【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式，结合充分性、必要性、余弦型函数性质进行求解即可.【详解】当时，，当时，，，或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A10. 【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项.【详解】因为，所以当时，，此时函数的最大值为，命题①为真命题；当时，，方程可化为，当时，，故，由正弦函数性质可得方程在上有两个解， 当时，原方程可化为，方程在上无解，所以方程在上有且只有两个不等实根；命题②为假命题；当时，，，，所以，所以不为奇函数，命题③为假命题；当时，，所以的最小正周期为，命题④正确；故选：D.第二部分（非选择题  共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数需满足 ，解得 且 ，故函数的定义域为，故答案为：12. 【答案】【解析】【分析】直接运用正弦的诱导公式进行求解即可.【详解】，故答案为：13. 【答案】【解析】【分析】首先代入求出，则，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】由题意得，解得，故，则即为，根据在上为单调增函数，则有，解得，故解集为，故答案为：.14. 【答案】1【解析】【分析】由条件确定当时，函数取得最大值，代入即可求的集合，从而得到的最小值.【详解】由条件对任意的实数x都成立，可知，是函数的最大值，当时，，，解得：，，所以当k=0时，取最小值为1.故答案为：115. 【答案】①②【解析】【分析】对于①，解即可判断；对于②，由对数函数的图象与性质可得，由对数的运算可判断；对于③，分与讨论，结合对数函数的图象即可判断；对于④，根据指对数的图象即可判断.【详解】对于①，若，则，解得或2，故①正确；对于②，若，且，则，则，解得，故②正确；对于③，当，易知与的图象有一个交点，当时，与的图象在上没有交点，此时恰有1个零点，故③错误；对于④，当时，，易知与的图象在上有一个交点，因为与的图象关于对称，且没有交点，故恰有1个零点，故④错误.故答案为:①②.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质即可得到，再解方程即可.（2）首先根据题意得到，再利用基本不等式的性质求解即可.【小问1详解】，因为，，解得.【小问2详解】因为有两个不同零点，所以，又因为，所以.因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，因为，所以，即证.17. 【答案】（1）    （2）的增区间为，对称中心为【解析】【分析】（1）根据函数所过点，建立方程，结合周期的性质以及公式，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的单调性以及对称性，可得答案.【小问1详解】由函数的图象过点，，则，由，则，由相邻的两个对称中心之间的距离为，则函数的周期，解得，故.【小问2详解】由（1）可知，，令，解得，则函数的增区间为；令，解得，则函数的对称中心为.18. 【答案】（1）；    （2）；    （3）3.【解析】【分析】（1）求出即可得出结果；（2）由已知，令，，可得，即可求出最小值；（3）令，则.分类讨论当以及时，根据指数函数的单调性求出在上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出a的值．【小问1详解】因为，所以定点坐标为.【小问2详解】当时，.令，.则，当，即时，函数有最小值.【小问3详解】令，则.①当时，可知在上单调递减，所以.又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减，所以在处取得最大值.由已知可得，，解得或.因为，所以两个数值均不满足；②当时，可知在上单调递增，所以.又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增，所以在处取得最大值.由已知可得，，解得或（舍去），所以.综上所述，.19. 【答案】（1），    （2）时，；时，.【解析】【分析】(1)将函数化简为正弦型函数即可求解；(2)整体替换法先计算区间内是否含有极值，若有则为最值，若无则最值在端点处取得.【小问1详解】，，.小问2详解】由(1)知，令得,当时，，，令得,与区间无交集，又，，故时，；时，.20. 【答案】（1）；    （2）答案见解析.【解析】【分析】对于（1），由题可得，.，据此可得答案；对于（2），设与BE交点为P，则S，据此可得答案.【小问1详解】由题可得，，.，则梯形ADEB的周长为；小问2详解】设与BE交点为P，则S.又，且，E为DF中点，则由梯形中位线定理得（若，变为三角形中位线，结论不变.），则则S，其中.因，则函数在上单调递增，得当时，.当且仅当时取等号.又函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号.即的面积，其中；当且仅当时，的面积有最大值.21. 【答案】（1）不是中的一个等距序列    （2）见解析    （3）7【解析】【分析】（1）算出与验证不相等；（2）结果为来讨论；（3）分析从变成经过变换次数的规律，根据知道每次需要变换几个对应坐标.【小问1详解】所以不是中的一个等距序列【小问2详解】设把分别称作的第一个，第二个，第三个坐标，若则中有个对应坐标不相同，例如当时，说明中有个对应坐标不相同，其中就是符合的一种情况.①    当得，所以是偶数②    当，则中有个对应坐标不相同，并且中有个对应坐标不相同，所以中有或个对应坐标不相同，当有个对应坐标不相同时，即则，当有个对应坐标不相同时，，都满足为偶数.③    当则中有个对应坐标不相同，并且中有个对应坐标不相同，所以中有或个对应坐标不相同，当有个对应坐标不相同时，即则，当有个对应坐标不相同时，，都满足为偶数.④    当则中有个对应坐标不相同，并且中有个对应坐标不相同，所以中有个对应坐标不相同，即则，满足为偶数.综上：A，B，C是中的等距序列，则为偶数【小问3详解】根据第二问可得，则说明中有个对应坐标不相同由变换到需改变5个坐标，保留1个不变，又因为从变成经过奇数次变化，所以从变到至少经过次变换，每个坐标变换5次，故的最小值为.