2023北京通州高一（上）期末数学（教师版）

2023北京通州高一（上）期末

数    学

2023年1月

本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题共40分）

一､选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 的值为

A.  B.  C.  D.

2. 设，则下列结论错误的是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 将函数的图像向左平移个单位长度得到曲线，然后再使曲线上各点的横坐标变为原来的得到曲线，最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线对应的函数是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. “”是“角是第一象限的角”的（    ）．

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 函数与的图象（    ）

A. 关于轴对称 B. 关于轴对称

C. 关于原点对称 D. 关于直线对称

8. 函数的零点所在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知，则的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下：

为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：

①，②．

选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（    ）

（参考数据：，）

A. 6min B. 6.5min C. 7min D. 7.5min

第二部分（非选择题共110分）

二､填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11. 半径为1，圆心角为1弧度的扇形的面积为__________．

12. 计算：______．

13. 若函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式为__________．

14. 已知，则最大值为__________，最小值为__________．

15. 函数，方程有3个实数解，则k的取值范围为___________.

三､解答题：（本大题共6小题，共85分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知是第四象限角．

（1）求的值；

（2）求值．

17. 已知函数.

（1）求函数的定义域，最小正周期；

（2）求函数的单调区间.

18. 已知函数最小正周期为．

（1）求的值；

（2）从下面四个条件中选择两个作为已知，求的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．

条件①：的值域是；

条件②：在区间上单调递增；

条件③：的图象经过点；

条件④：的图象关于直线对称．

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．

19. 已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）若函数为偶函数，求的值；

（3）是否存在，使得函数是奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20. 某一扇形铁皮，半径长为1，圆心角为．工人师傅想从中剪下一个矩形，如图所示．

（1）若矩形为正方形，求正方形的面积；

（2）求矩形面积的最大值．

21. 已知函数零点是．

（1）求实数的值；

（2）判断函数的单调性，并说明理由；

（3）设，若不等式在区间上有解，求的取值范围．

参考答案

第一部分（选择题共40分）

一､选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 【答案】B

【解析】

【分析】直接由特殊角的三角函数值得解.

【详解】

故选B.

【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，属于基础题．

2. 【答案】D

【解析】

【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解.

【详解】因为表示终边落在轴上角的集合，

表示终边落在轴正半轴上角的集合，

表示终边落在轴负半轴上角的集合，

所以，，正确；，故错误.

故选：D

3. 【答案】C

【解析】

【分析】因为点在单位圆上，且终边在第三象限确定唯一，根据三角函数求解.

【详解】在单位圆上即

终边在第三象限所以，，所以

所以

故选：C

4. 【答案】A

【解析】

【分析】

根据解析式可直接判断出奇偶性和单调性.

【详解】对于A，为奇函数且在上单调递增，故A正确；

对于B，是奇函数在上单调递减，故B错误；

对于C，是偶函数，故C错误；

对于D，是非奇非偶函数，故D错误.

故选：A.

5. 【答案】C

【解析】

【分析】利用图像变换方式计算即可.

【详解】由题得：，所以：，得到：

故选：C

6. 【答案】B

【解析】

【详解】若“角是第一象限角”，则“”，“若”，则“角是第一象限角或第三象限角”，所以“”是“角是第一象限角”的必要不充分条件．故选．

点睛：充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

7. 【答案】A

【解析】

【分析】根据对数知识将化为，由此可得答案.

【详解】由得，

所以函数与的图象关于轴对称.

故选：A

8. 【答案】C

【解析】

【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.

【详解】由于均为增函数，

所以为定义域上的增函数，

,

根据零点存在定理,

零点在区间内.

故选：C

9. 【答案】D

【解析】

【分析】构造指数函数，结合单调性分析即可.

【详解】在R上单调递减，，

∴；

在R上单调递增，，

∴；

∴

故选：D

10. 【答案】B

【解析】

【分析】根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模型①为更符合实际的模型.利用前两组数据可以求得和的值，进而将最佳口感温度代入所求得解析式，利用对数的运算性质求得的值，即可做出判断.

【详解】由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为6,5.4,4.86,4.37,3.94, 

呈现越来越小的变化趋势，

故选用模型①为更符合实际的模型.

由时，，代入，得,解得.

∴.
由时,可得，解得,

∴,

由,得,∴,

,

刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为6.5min,

故选:B.

第二部分（非选择题共110分）

二､填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11. 【答案】##0.5

【解析】

【分析】根据扇形面积公式即可得到答案.

【详解】半径为1，圆心角为1弧度扇形的面积为

.

故答案为：.

12. 【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件利用对数运算法则，二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值计算作答.

【详解】.

故答案为：

13. 【答案】

【解析】

【分析】根据图象，可得，，图象过点，且在附近单调递减.进而可求出，，根据的范围即可解出，进而得到解析式.

【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以.

又由图象知，，所以.

因为，所以，所以，所以.

又由图象可推得，图象过点，且在附近单调递减，

所以有，解得.

又，所以.

所以，函数的解析式为.

故答案为：.

14. 【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由可推出，即得，即可得到最值.

【详解】因为成立，当且仅当时，等号成立.

所以，

即，解得.

所以，当且仅当时，有最大值；当且仅当时，有最小值.

故答案为：；.

15. 【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件将方程的实数解问题转化为函数的图象与直线的交点问题，再利用数形结合思想即可作答.

【详解】方程有3个实数解，等价于函数的图象与直线有3个公共点，

因当时，在上单调递减，在上单调递增，，

当时，单调递增，取一切实数，

在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图：

由图象可知，当时，函数的图象及直线有3个公共点，方程有3个解，

所以k的取值范围为.

故答案为：

三､解答题：（本大题共6小题，共85分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 【答案】（1）；   

（2），

【解析】

【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系列方程组求解即可；

（2）由两角和的余弦、正切公式化简求解即可.

【小问1详解】

因为，是第四象限角，

所以解得，

所以.

【小问2详解】

；

.

17. 【答案】（1）定义域：，最小正周期：T=2（2）单调递增区间是：

【解析】

【分析】（1）根据正切函数的定义域满足：即可求解，周期.

 （2）根据正切函数的图像以及性质整体代入求解即可.

【详解】函数，

（1）正切函数的定义域满足：，

解得：，

函数的定义域为，

最小正周期.

故函数的最小正周期为2

（2）由，

可得：

函数的单调增区间

【点睛】本题考查了正切函数的定义域、最小正周期以及正切型函数的单调性，考查了整体代入法求三角函数的性质，属于基础题.

18. 【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由周期可得；

（2）由①中确定，由③得出的关系式，由④可确定，条件②不能得出确定的值，在区间上单调递增，没有说就是单调增区间，由它可能确定参数的范围．因此考虑方案：①③；①④；③④分别求解．

【小问1详解】

因为，所以．

【小问2详解】

（2）方案一：

选择①，③

因为的值域是，

所以．

所以．

因为的图象经过点，

所以，

即．

又，所以．

所以的解析式为．

因为，

所以．

当，

即时，

取得最小值；

当，即时，

取得最大值．

方案二：

选择条件①，④

因为的值域是，

所以．

所以．

因为的图象关于直线对称，

所以，

所以．

又，所以．

所以解析式为．

以下同方案一．

方案三：

选择条件③，④

因为的图象关于直线对称，

所以，

所以．

又，

所以．

因为的图象经过点，

所以，

即．

所以的解析式为．

以下同方案一．

19. 【答案】（1）;   

（2）；   

（3）不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据解析式建立不等式求三角不等式的解即可；

（2）根据偶函数的定义，化简后利用三角函数恒成立即可得解；

（3）根据奇函数的定义化简，转化为恒成立，可分析此式不恒成立得解.

【小问1详解】

要有意义，

则，即，解得，即，

所以函数的定义域为.

【小问2详解】

因为为偶函数，

则

即恒成立，化简可得恒成立，

所以，

因为，所以.

【小问3详解】

若函数为奇函数，

则有，

即，

即，

化简得，恒成立.

因为当时，，，，

，而，

所以不恒成立，

即不恒成立，

所以不存在，使函数是奇函数.

20. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）连，则，设，则，，，根据求出，进而可得答案；

（2）设矩形面积为，则，利用正弦函数的性质可得答案.

【小问1详解】

连，因为扇形半径长为1，则，

设，则，

，，

，，

，

矩形为正方形，，

即，，

，，，

，，

正方形的面积为；

【小问2详解】

设矩形面积为，则

，

当，即时，，

此时，最大值为，

即矩形面积的最大值为．

21. 【答案】（1）   

（2）在上是单调递减函数，理由见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据可求出结果；

（2）根据对数函数的单调性和单调性的定义可得结果；

（3）转化为在区间上有解，换元后化为在区间上有解，令， ，化为，根据二次函数知识求出的最大值可得答案.

【小问1详解】

因为函数的零点是，

所以，即，所以，解得.

【小问2详解】

由（1）知，，在上是单调递减函数，

理由如下：

设，则，

因为，所以，

因为为增函数，

所以，

所以，

所以在上是单调递减函数.

【小问3详解】

因为不等式在区间上有解，

所以在区间上有解，

所以在区间上有解，

因为为增函数，

所以在区间上有解，

所以在区间上有解，

令，因为，所以，

所以在区间上有解，

令，，则，

因为在上单调递减，

所以当时，.

所以.