2022-2023学年湖南省长沙一中双语中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙一中双语中学九年级（上）期末数学试卷

1.  的倒数是(    )

A. 2023 B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知点，则P到y轴的距离为(    )

A.  B. 4 C. 3 D.

4.  为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展形式多样的活动，七、八、九年级共有50人参加书法学习，其中七年级的人数比八年级人数的2倍少1人，设八年级的人数为x人，则九年级的人数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. 概率很小的事件是不可能事件
B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C. 某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖
D. 只要试验的次数足够多，频率就等于概率

7.  在惠水县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为：95、97、97、96、98、95，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是(    )

A. 众数为95 B. 众数为97 C. 平均数为96 D. 极差为3

8.  如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，四边形ABCD内接于，如果的度数为，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若，则下列说法中正确的个数是(    )
①AD是的平分线；
②；
③点D在AB的中垂线上；
④：：

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11.  已知，则______.

12.  如果，那么a的取值范围是______ .

13.  关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是______.

14.  如图，在中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，，AD是的高，，，那么EH的长为______.

15.  如图，与x轴相切，与y轴相交于点、，那么扇形BAC的面积是______ .

16.  如图，中，，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，则的度数为______ .

17.  计算：

18.  解下列一元二次方程：
；
 

19.  体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触.如图所示，AC是水平地面，其中AB是测温区域，测温仪安装在竖直标杆PC上的点D处，若该测温仪能识别体温的最大张角为即，能识别体温的最小张角为即
当设备安装高度米时，求出图中AC的长度；结果保留根号
为了达到良好的检测效果，该公司要求测温区AB的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度CD是多少？结果保留1位小数，参考数据：

20.  为提高学生的综合素养，我校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”.为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

本次共调查了______ 名学生；并将条形统计图补充完整；
组所对应的扇形圆心角为______ 度；
若我校共有学生2000人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是______ ；
现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生.要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率.

21.  如图，在中，，，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点
求证：∽；
当，时，求BF的长．

22.  2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元一袋十个的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月分销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？

23.  如图，在平面直角坐标系中，已知的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，，，且动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒.
求A、B两点的坐标；
当与相似时，求t的值；
当时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

24.  定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.

如图1，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形画出1个即可；
如图2，圆内接四边形ABCD中，，点E是的中点，连结BE交CD于点F，连结AF，
①求证：BF是四边形ABCF的“相似对角线”；
②若的面积，求线段BF的长.

25.  已知抛物线经过，两点，且与y轴交于点
求抛物线的函数关系式；
如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，是外接圆，求圆心P点的坐标；
如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点不与A、C重合经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；
①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
②求出当的面积取得最大值时，点E的坐标.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：的倒数是
故选：
根据倒数的定义解答即可．
此题考查的是倒数的定义，乘积是1的两数互为倒数．
 

2.【答案】D 

【解析】解：A、，本选项计算错误，不符合题意；
B、，本选项计算错误，不符合题意；
C、，本选项计算错误，不符合题意；
D、，本选项计算正确，符合题意；
故选：
根据幂的乘方法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则计算，判断即可．
本题考查的是单项式乘单项式、同底数幂的乘除法、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】C 

【解析】解：，则点P到y轴的距离是
故选：
根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．
本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．
 

4.【答案】C 

【解析】解：由题意得：七年级参加书法学习的人数为：人，
则九年级参加书法学习的人数为：人，
故选：
用含x的代数式表示出七年级的人数，再用总人数减去七、八年级的人数即可．
本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
 

5.【答案】B 

【解析】解：该几何体从左边看，有两列，从左到右第一列有两个正方形，第二列有一个正方形．
故选：
左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
 

6.【答案】B 

【解析】解：A、概率很小的事件也可能发生，是随机事件，不是不可能事件，本选项错误；
B、平行四边形是中心对称图形，本选项正确；
C、中奖概率只是一种可能性，并不一定中奖，本选项错误；
D、试验的次数足够多时，频率只是稳定在概率附近，频率不一定等于概率，本选项错误．
故选
根据概率的定义解答．
本题考查了概率的意义，熟悉概率的分类是解题的关键．
 

7.【答案】D 

【解析】解：和97都出现了2次，出现的次数最多，
众数是95和97，
这组数据的平均数是：，
极差是：
故选：
根据中位数、众数和极差的概念分别进行求解，即可得出答案．
此题考查了中位数、众数和极差的概念．本题为统计题，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
 

8.【答案】D 

【解析】解：，
，
，，
，
，
故选：
根据两直线平行同位角相等，得到、和的数量关系，进而求出的度数．
本题考查平行线的性质和外角，能够正确运用平行线的性质是解答本题的关键．
 

9.【答案】B 

【解析】解：的度数为，
，
四边形ABCD内接于，
，
，
故选：
根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的概念求出即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

10.【答案】C 

【解析】解：①根据作图的过程可知，AD是的平分线．故①正确；
②，，
，
是的平分线，
，
，
故②正确；
③，
，
点D在AB的中垂线上．故③正确；
④，
，
，
：：3，
：：故④不正确．
综上所述，正确的有：①、②、③．
故选：
①根据作图的过程可以判定AD是的角平分线；
②利用角平分线的定义以及，可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；
③利用等角对等边可以证得的等腰三角形，由线段的垂直平分线的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．熟悉等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
；
故答案为：
根据比例的性质可进行求解．
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：
故答案为：
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
 

13.【答案】2 

【解析】解：把代入一元二次方程，得
，
解得，，
而，即
所以k的值为
故答案为：
根据一元二次方程的解的定义得到，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
 

14.【答案】 

【解析】解：设AD交EH于点R，
矩形EFGH的边FG在BC上，
，，
∽，
于点D，
，
，
，
，，，
，
，，，
，
解得，
的长为，
故答案为：
设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明，，则∽，得，其中，，，可以列出方程，解方程求出EH的值即可．
此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：做，假设与x轴相切于E点，连接AE，做，
假设，图象与y轴相交于点、，
，，
，，
，
，
解得：，
，
为等边三角形，
，
扇形BAC的面积是：
故答案为：
利用垂径定理的内容得出，进而得出AD与半径的关系，从而得出为等边三角形，利用扇形面积公式求出即可．
此题主要考查了等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利用已知得出是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过A作轴于点C，过B作轴于D，
则，
顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：
过A作轴，过B作轴于D，于是得到，根据反比例函数的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
 

17.【答案】解：原式

 

【解析】先化简，再进行加减运算．
本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂，开方运算，合并同类二次根式是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
解得：，；
，

，
解得：， 

【解析】因式分解法解一元二次方程即可；
因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意可知：，，米，
米；
，，
，
又，
，
米，
在中，，，
米米米，
答：最低安装高度为米． 

【解析】根据特殊角的三角函数值解答即可；
根据已知条件判断，再解直角三角形BDC即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握题目中的等量关系．
 

20.【答案】40 72 800 

【解析】解：名；
本次共调查了40名学生；
C组人数为：名，补全条形图如下：

故答案为：40；
；
组所对应的扇形圆心角为72度；
故答案为：72；
人；
估计该校喜欢跳绳的学生人数约是800；
故答案为：800；
列表如下：

由表格可知，共有12种等可能的情况，其中刚好抽到1名男生与1名女生的情况有6种，

用A组人数除以所占的百分比，求出总数，总数减去其他组的人数求出C组人数，补全条形图即可；
用组人数所占的百分比，求出圆心角的度数即可；
用全校人数乘以样本中喜欢跳绳的学生所占的比例，即可得解；
利用列表法进行求解即可．
本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，，
，
，，
，
∽
，
，
，
∽，
，
 

【解析】由，，推出，由此即可证明．
先证明，由∽，得，即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为
设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为袋，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，不合题意，舍去
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元． 

【解析】设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为袋，根据总利润=每袋口罩的销售利润月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：在，，
设，，则：，
，
，
，
，，
，；
动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，
，，
；
①当∽时：

，即：，

解得：；
②当∽时：

，即：，
解得：；
综上：或；
解：存在；
当时，，，
，

过点Q作轴于点E，

则：，
，
，
设，，
则：，
，
，
，
；
当以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时：设，
①当AP为对角线时：，
解得：，
即：；
②当AQ为对角线时：，
解得：，
即：；
③当QP为对角线时：，
解得：，
即：；

综上：当M点坐标为：或或时，以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形． 

【解析】利用，，求出OA，OB的长，即可得解；
分∽和∽两种情况，进行讨论求解；
分别以AP，AQ，PQ，为对角线，进行讨论求解即可．
本题是相似形综合题，考查坐标与图形，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质．熟练掌握并运用相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
 

24.【答案】解：由图可知，，，，
，
，
四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
①当时，∽或∽，
或，
或
同理：当时，或；
由于是无刻度尺，故，，
作图如下：

①证明：点E是的中点，
，
四边形ABCD为圆内接四边形，
，
，，
，
∽，
是四边形ABCF的“相似对角线”；
②解：∽，
，
，
过点A作于点H，

，
，
，
，
，
，
 

【解析】根据勾股定理求出，，，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质求解，确定D点位置作图即可；
①证明∽，即可得证；②根据∽，得，过点A作于点H，易得，进而得到，即可得解．
本题考查相似三角形的判定和性质，圆内接四边形，解直角三角形．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线经过，两点，
，
解得，
抛物线解析式为：；

当时，；
，
设直线AC：，
将代入直线AC，
得，
，
直线AC：，
为线段AC上一点且横坐标为1，
，
是外接圆，
圆心P必在弦OA的垂直平分线上，
设，
，
，
解得，
圆心P点的坐标为；

①如图，过B作轴于H，
，，，
，，
，，
又，，
，
，，即是直角三角形；
，
在与中，
，
≌，
，



，
四边形OEAF的面积是定值，这个定值为；
②四边形OEAF的面积是定值，
当的面积取得最大值时，的面积最小，
当OE最小时，的面积最小，
时，OE最小，，
，即E为AC中点，
，
当的面积取得最小值时，E点坐标为 

【解析】根据，两点利用待定系数法求二次函数解析式；
先求出直线AC解析式以及E的坐标，再根据是外接圆得圆心P必在弦OA的垂直平分线上，设，由求得，即可求得圆心P点的坐标为；
①如图，作于根据点A、B、C的坐标可得，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得，然后根据等角对等边可得，再证明≌，进而得，再证明，即可说明四边形OEAF的面积是定值，这个定值为；
②根据四边形OEAF的面积是定值，当的面积取得最大值时，的面积最小，当OE最小时，的面积最小，求得此时E的坐标即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，求三角形外接圆圆心，全等三角形的判定与性质，根据点A、B、C的坐标证明出是直角三角形是解决此题的关键．