145.安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考 数学（理） Word版含解斩

www.ks5u.com姓名              座位号

(在此卷上答题无效)

数 学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可用铅笔在答题卡规定位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷(选择题  共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则

A.       B.      C.      D.

2.已知复数，则下列说法正确的是

A.复数z的实部为3                  B.复数z的虚部为

C.复数z的共轭复数为       D.复数z的模为1

3.椭圆的一个焦点坐标为

A.(5，0)     B.(0，5)      C.(，0)      D.(0，)

4.已知m＝1og40.4，n＝40.4，p＝0.40.5，则

A.m<n<p         B.m<p<n       C.p<m<n          D.n<p<m

5.曲线在x＝1处的切线方程为

A.y＝7ex－5e      B.y＝7ex＋9e      C.y＝3ex＋5e     D.y＝3ex－5e

6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝11，S15＝15，则a2＝

A.18           B.16            C.14           D.12

7.要得到函数y＝一sin3x的图象，只需将函数y＝sin3x＋cos3x的图象

A.向右平移个单位长度       B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度        D.向左平移个单位长度

8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为

A.        B.         C.        D.

9.定义在R上的奇函数f(x)满足，当时，，则不等式f(x2－2x)－f(3)<0的解集为

A.(－1，3)       B.(－3，1)         C.       D.

10.过原点O作直线l：(2m＋n)x＋(m－n)y－2m＋2n＝0的垂线，垂足为P，则P到直线x－y＋3＝0的距离的最大值为

A.      B.        C.        D.

11.已知圆锥的母线长l为4，侧面积为S，体积为V，则取得最大值时圆锥的侧面积为

A.      B.      C.         D.

12.已知点A是双曲线（a>0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得△AMN是以点M为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率

A.存在最大值   B.存在最大值  C.存在最小值   D.存在最小值

第Ⅱ卷

注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上。

13.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，m)，且a与a＋b垂直，则m＝            

14.已知所有项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S4＝a4＋21，则公比q＝                  

15.二项式的展开式中，x4的系数为                

16.已知角，且满足，则＝        (用a表示)。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。

17.(本小题满分12分)

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2C－cos2B=sin2A－sinAsinC。

(Ⅰ)求角B的值；

(Ⅱ)若△ABC的面积为，，求a＋c的值。

18.【本小题满分12分】

如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED//FB，DE＝BF，AB＝FB，FB⊥平面ABCD。

(Ⅰ)设BD与AC的交点为0，求证：OE⊥平面ACF；

(Ⅱ)求二面角E－AF－C的正弦值。

19.(本小题满分12分)

抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点是F，直线y＝2与C的交点到F的距离等于2。

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

(Ⅱ)一直线l：x＝kx＋b(b1，k0)交C于A、B两点，其中点(b，k)在曲线(x－3)2－4y2＝8上，求证：FA与FB斜率之积为定值。

20.(本小题满分12分)

设函数，a为常数。

(Ⅰ)若函数f(x)在上是单调函数，求a的取值范围；

(Ⅱ)当时，证明：。

21.(本小题满分12分)

某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立。若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元。

(Ⅰ)求系统不需要维修的概率；

(Ⅱ)该电子产品共由3个系统G组成，设为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望；

(Ⅲ)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？

请考生从第22、23题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系中，曲线C1的参效方程为(为参数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。

(Ⅰ)求曲线C2的直角坐标方程；

(Ⅱ)求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

己知函数。

(Ⅰ)求不等式f(x)>6的解集；

(Ⅱ)若恒成立，求实数m的取值范围。

数学参考答案（理科）

1.【解析】，故选D.

2.【解析】，所以的实部为，虚部为 ，的共

轭复数为，模为，故选C.

3.【解析】因为，所以，故双曲线的右焦点的坐标是.

4.【解析】因为，所以.

5.【解析】，所以，又时，，所以所求切线方程为，即

6.【解析】因为，所以，又，所以公差

，所以．

7.【解析】因为， 所以将其图象向左平移个单位长度，可得，故选C.

8.【解析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，有种

选法，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，

被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，故

不同的调换方法有种.而基本事件总数为,所以所求概率为.

9.【解析】由题意可知，当时，，所以为R上的单调递增函数，故由，得，即，解得，故选A.

10.【解析】整理得，由题意得，解得，所以直线过定点.因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，因为圆心到直线的距离为，所以到直线的距离的最大值为.

11.【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，则，

所以，当且仅当时取等号.此时侧面积为.

12.【解析】双曲线的右顶点，双曲线的渐近线方程为

，不妨取，设，则，.

若存在过的直线与双曲线的渐近线交于一点，使得是以为直角顶点

的直角三角形，则，即，整理可得

，由题意可知此方程必有解，则判别式

，得，即，解得，所以离心率存在最大值.

13. 【解析】向量，，，

 与垂直，，解得．

14.【答案】4 【解析】由题意得，所以，又，所以，解得或（舍），所以.

15.【答案】 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，故所求系数为.

16.【答案】 【解析】法一：由得，

所以，即.

结合诱导公式得.

因为，所以.

由诱导公式可得，易知，

因为在上单调递减，所以，即.

法二：由得，

所以.

因为，所以.

由诱导公式可得，即

因为在上单调递增，所以，即.

17．【解析】(1) 由，

得． 

由正弦定理，得，即，…………………………3分

所以．………………………………………………5分

因为，所以．……………………………………………………6分

（2）由（1）知，∴．①…………8分

又，…………………………………………………………9分

∴，②…………………………………………………………………………10分

又，∴据①②解，得．…………………………………………12分

18.【解析】（1）证明：由题意可知：面，

从而，，又为中点，

，在中，，

，又，

面．……………………………………………………………………5分

（2）面，且，

如图以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，

从而，0，，，0，，，2，，，2，，，1，

由（1）可知，1，是面的一个法向量，…………………………7分

设，，为面的一个法向量，

由，令得，，，………………………………9分

设为二面角的平面角，

则，．

二面角的正弦值为．………………………………………………12分

19.【解析】（1）由知到准线的距离也是2，

点横坐标是，

将代入，得，

抛物线的方程为.………………………………………………………………5分

（2）证明：联立得，

设，，则，.………………………………7分

因为点在曲线上，所以代入整理可得.………8分

则.

…………………………………………………………………………………………………12分

20.【解析】（1）由得导函数，其中.

当时，恒成立，

故在上是单调递增函数，符合题意； ……………………2分

当时，恒成立，

故在上是单调递减函数，符合题意；……………………3分

当时，由得，

则存在，使得.

当时，，当时，

，所以在上单调递减，在上单调递增，

故在上是不是单调函数，不符合题意.

综上，的取值范围是. ……………………………………………6分

（2）由（1）知当时，，

即，故.…………………………………………………………9分

令，

则，

当时，，所以在上是单调递减函数，

从而，即.………………………………………………12分

21.【解析】（1）系统不需要维修的概率为.…………2分

（2）设为维修维修的系统的个数，则，且，

所以.

所以的分布列为

所以的期望为.…………………………………………6分

（3）当系统有5个电子元件时，

原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，系统的才正常工作.

若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，

则概率为；

若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，

则概率为；

若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，

系统均能正常工作，则概率为.

所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为，

于是由知，当时，即时，

可以提高整个系统的正常工作概率.………………………………………………12分

22.【解析】（I）依题意，曲线的直角坐标方程为.…………………………3分

（II）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线的直角坐标方程为，……………………………………7分

联立解方程组得或

根据的范围应舍去故交点的直角坐标为.……………………………10分

23.【解析】（1）依题意，，

当时，原式化为，解得，故；

当时，原式化为，解得，故无解；

当时，原式化为，解得，故；

综上所述，不等式的解集为；………………………………5分

（2）因为，

当且仅当时，等号成立.

故恒成立等价于；即，解得

故实数的取值范围为.……………………………………………………………10分