2023年山西省阳泉市中考数学二模试卷

2023年山西省阳泉市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算：的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  阳泉市于年被正式命名为“国家卫生城市”为了进一步巩固创卫成果，近日我市多个小区实行垃圾分类，以下是几种常见的垃圾分类标志图片，其文字上方图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  中国为世界交出“绿色答卷”年中国国土绿化状况公报显示，目前我国森林面积达亿亩，森林覆盖率达，其中，人工林保存面积达亿亩，居世界首位，我国成为全球森林资源增长最快最多的国家数据亿亩用科学记数法表示为(    )

A. 亩
B. 亩
C. 亩
D. 亩

5.  如图是我国古代数学家在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，给出“弦图”这位数学家是(    )

A. 毕达哥拉斯
B. 祖冲之
C. 赵爽
D. 华罗庚

6.  若点，在同一个反比例函数的图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图所示，量角器的圆心在矩形的边上，直径经过点，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是(    )

A. 成语“守株待兔”是随机事件
B. 成语“水中捞月”是随机事件
C. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
D. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件

9.  如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  某抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后得到的表达式为，则原抛物线的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  ______．

12.  图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系如图，大长方形由个全等的长为，宽为的小长方形和另外两个长方形拼成记其中长方形的面积为，长方形的面积为，设，且当时，不论取何值，为定值，则与的数量关系为______ ．

13.  如图，是的直径，，点在上，，是的中点，连接，是直径上的动点，若弦，则周长的最小值为______ ．

14.  “中国古村看阳泉，太行深处有人家”在“我可爱的家乡”主题班会中，老师准备了“山西的小布达拉宫”大汖古村，“水上人家”娘子关村，“世外桃源”桃林沟村，“千年古村”大阳泉村这四个特色古村的照片各一张，并将它们背面朝上放置照片大小及背面完全相同甲同学从中随机抽取一张不放回，乙同学再从剩下的照片中随机抽取一张，然后甲、乙根据抽取的照片对古村作相关介绍则两人恰好介绍“娘子关村”和“大汖古村”的概率是______ ．

 

15.  如图，中，于点，平分交于点，交于点，若，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解不等式组请按以下步骤完成解答：
解：解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；

所以，原不等式组的解集为______ ．

17.  本小题分
位于阳泉市平定县的七亘村曾是隐藏在太行山腹地的军事要地抗日战争时期，刘伯承元帅指挥的七亘伏击战创造了八路军抗日战争史上非常经典的以少胜多的战例周末、爱好骑行的小张和小王相约同时从市图书馆出发，到七亘党性教育基地重温那段红色历史假定小张骑行的速度一直保持，而小王骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示，请解答以下问题：
当时，小王骑行的速度是______ ；
当时，求与之间的函数表达式；
直接写出何时开始小王骑行在小张的前面．

18.  本小题分
年人工智能的飞速发展正在引发人们深思，而科幻小说作为一种独特的文学体裁，将科技与人文相结合，探索未来世界的各种可能性某校为激发学生的想象力，帮助学生提升科学素养，购进某版本的小说三体和时间机器若干套，其中每套三体的价格比时间机器的价格贵元，用元购买三体和用元购买时间机器的套数相等，求每套小说三体的价格．

19.  本小题分
随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比：，，，的长为米，的长为米按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？

20.  本小题分
为纪念“五四”运动，某校举办了“青春心向党奋进新时代”的文艺汇演活动，并邀请了位评委为各节目评分，其中至号为专业评委，至号为大众评委活动策划组提出了如下评分方案：
方案一：取各位评委所给分数的平均数．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余位评委所给分数的平均数．
例如，节目演出后各个评委所给分数如表：

按照方案一，该节目的得分为分．
按照方案二，该节目的得分为分．
策划组经过讨论，认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此又设计了如下方案：
方案三：先计算至号评委所给分数的平均数，至号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重表示专业评委的权重，表示大众评委的权重，且如当时，则此时该节目的得分为分．
请回答下列问题：
你认为“方案一”与“方案二”相比，哪个更合理？请说明理由．
关于评分方案，下列说法正确的有______ ．
A.当时，节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
B.当时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；
C.当时，节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高；
D.以上说法都不对．
策划组准备从同学们推选出的，，，，这名候选人中随机抽取人作为主持人，其中同学，，三人在同一年级，请用列表或画树状图的方法求抽到的名同学恰好在同一年级的概率．

21.  本小题分
请阅读以下材料，完成相应的任务．

任务：
在“证法回顾”中证明的依据是______ ；
请按照“解决问题”中的证明思路，写出该证明的剩余部分．

22.  本小题分
综合与实践
在数学活动课上，老师带领同学们以“矩形的折叠”为主题展开综合与实践活动．

如图，老师的操作如下：
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：再一次折叠纸片，使点落在上，记作点，并使折痕经过点，得到折痕把纸片展平，连接，则 ______ 度
“先锋”小组将矩形纸片剪成正方形纸片后继续探究，过程如下：
操作三：如图，将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接，则与的数量关系是______ ．
操作四：如图，改变折痕的位置点不与点、重合，使点位于的下方，则“操作三”中与的数量关系还成立吗？请说明理由．
“启思”小组继续思考，经过讨论，提出如下问题：如图，当正方形纸片的边长为，时，求的长．

23.  本小题分
综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧抛物线上另有一点在第一象限，且满足，．
求，两点的坐标，并直接写出抛物线的对称轴；
求线段的长；
探究在对称轴上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
依据有理数的加法法则进行计算即可．
本题主要考查的是有理数的加法法则，熟记法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：：，不符合题意；
：，不符合题意；
：，符合题意；
：，不符合题意；
故选：．
直接利用合并同类项；单项式乘法运算法则；以及幂的乘方运算法则和同底数幂除法运算法则分别计算得出答案．
此题考查了合并同类项，单项式乘法，幂的乘方，同底数幂除法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：亿亩亩亩，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．
故选：．
观察我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理．
此题考查了数学常识，熟练准确的识别“弦图”及其提出者是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，在同一个反比例函数的图象上，
，
．
故选：．
根据反比例函数图象上的点的特征，列式计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的特征．熟练掌握反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
四边形是矩形，
，
，
故选：．
根据矩形的性质得到，即可根据平行线的性质求解．
此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、成语“守株待兔”是随机事件，故A符合题意；
B、成语“水中捞月”是不可能事件，故B不符合题意；
C、诗句“清明时节雨纷纷”是随机事件，故C不符合题意；
D、诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，不可能事件，必然事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，不可能事件，必然事件的特点是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：以为直径半圆的面积以为直径的半圆的面积，
阴影的面积扇形的面积半圆的面积半圆的面积扇形的面积，
由题意知扇形的圆心角是，半径是，
扇形的面积，
阴影的面积．
故选：．
由题意可以得到阴影的面积扇形的面积，求出扇形的面积，即可解决问题．
本题考查扇形面积的计算，旋转的性质，关键是得到阴影的面积扇形的面积．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：原抛物线由新抛物线先向下平移个单位，再向左平移个单位，
新抛物线的表达式为，
原抛物线的表达式为：，
化简后为：，
故选：．
原抛物线由新抛物线先向下平移个单位，再向左平移个单位，根据新抛物线的解析式，根据平移的性质即可得到答案．
此题考查了抛物线的平移，正确掌握抛物线平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算法则．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：
，，


，
当时，不论取何值，为定值．
，即．
故答案为：．
根据图形，将和的表达式写出，根据“当时，不论取何值，为定值“得出含的项系数为，即可求解．
本题主要考查了整式的混合运算，列代数式，解题的关键是根据图形，列出正确的代数式．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，则点在上，连接交于，此时最小，即，

点是的中点，，
，
，
，
，
是正三角形，
，
又，
周长的最小值为，
故答案为：．
根据轴对称的性质得到：点关于的对称点，连接交于，此时最小，即周长的最小，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可．
本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：总共有，，，四张照片，
甲、乙两个同学抽取的组合总共有：，；，；，；，；，；，；，，；，；，；，；，，总计种，
当甲、乙两个同学抽取的组合为，和，时，两人恰好介绍“娘子关村”和“大汖古村”，
两人恰好介绍“娘子关村”和“大汖古村”的概率为：；
故答案为：．
先统计出甲、乙抽取情况的组合数量，再统计出两人恰好介绍“娘子关村”和“大汖古村”的数量，根据概率的公式进行计算即可．
本题主要考查列举法求概率，解题的关键是掌握概率的计算方法．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，平分，，设，
，，
在中，，即，
在中，，即，
，令，
，，，
，
解得或舍，
．
故答案为：．
根据题意，在中和在中，表示出，列出等式即可求解．
本题考查了三角的外角性质，三角函数，解题关键是表示出．
 

16.【答案】     

【解析】解：原式

；
解不等式，得；
解不等式，得；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；

所以，原不等式组的解集为；
故答案为：，，．
先计算算术平方根、负整数指数幂、乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算加减；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：当时，小王骑行的速度：，
故答案为：．
设当时，求与之间的函数表达式为，
将，代入得：
，解得：，
当时，求与之间的函数表达式为．
小张骑行的路程为：，
，
解得：，
答：从开始小王骑行在小张的前面．
用除以即可求解；
用待定系数法求解即可；
得出小张骑行路程的表达式，再计算小王骑行追上小张的时间即可．
本题要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，以及从函数图象获取需要的数据．
 

18.【答案】解：设每套小说三体的价格为元，则每套小说时间机器的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：每套小说三体的价格为元． 

【解析】设每套小说三体的价格为元，则每套小说时间机器的价格为元，由题意：用元购买三体和用元购买时间机器的套数相等，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图：

延长交于，
：，
，
，
，
，
，
，
过点作于，
，
，
，
米．
答：点到的距离的值为米． 

【解析】延长交于，根据坡度和坡角可得，，过点作于，根据锐角三角函数即可求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
 

20.【答案】 

【解析】解：方案二更合理，理由：去掉最高分和最低分，减少“极端值”对平均数的影响，
故答案为：方案二更合理，理由：去掉最高分和最低分，减少“极端值”对平均数的影响．
当时，节目按照“方案三”评分的结果为分，
由于，即“方案三”评分的结果“方案一”评分的结果，
因此不正确；
B.当时，节目按照“方案三”评分的结果为分，
当时，节目按照“方案三”评分的结果分，说明“专业评委”打分所占的比例要比“群众评委”的高，说明评分更注重节目的专业性，
因此B正确；
C.当时，节目按照“方案三”评分的结果为分，
由于，即“方案三”的评分结果比“方案一”和“方案二”的评分结果都高；
因此C正确；
D.以上分析可得选项均正确，
因此不正确；
故选：．
画树状图如图：

有种等可能的结果，选中名同学恰好在同一年级的结果有种，
选中名同学恰好在同一年级的概率为．
根据平均数的计算方法，以及“绝端值”对平均数的影响进行解答即可；
根据题意逐项进行计算可得答案；
根据题意画树状图，共有种等可能的情况数，其中抽到的名同学恰好在同一年级的情况有种，再由概率公式求解即可．
本题考查平均数，加权平均数，树状图法求概率等知识，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
 

21.【答案】平行四边形的对边平行 

【解析】解：如图中，过点作，与的延长线交于点．

，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，平行四边形的对边平行，
，．
故答案为：平行四边形的对边平行；

结论：．
理由：如图，过点作，过点作交于点，连接．

，，
四边形为平行四边形．
，，

．
，，
，
≌，
，
，
，
，
．
如图中，过点作，与的延长线交于点证明四边形是平行四边形，可得结论；
结论：如图，过点作，过点作交于点，连接证明四边形是平行四边形，推出，再证明，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题．
 

22.【答案】   

【解析】解：对折矩形纸片，
，，
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，，
，
，
，
在矩形中，，
，
故答案为：；
操作三：由知，，
四边形是正方形，
，，
由折叠的性质得，，，
，，
又，
≌，
，
故答案为：；
操作四：成立，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠的性质得，，，
，，
又，
≌，
；
正方形纸片的边长为，
，
由折叠的性质得，，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
．
根据折叠的性质及锐角三角函数求出，根据矩形的性质及角的和差求解即可；
操作三：根据正方形及折叠的性质推出，，，则≌，根据全等三角形的性质及角的和差求解即可；
操作四：根据正方形及折叠的性质推出，，，则≌，根据全等三角形的性质即可得解；
根据折叠的性质及全等三角形的性质推出，，结合正方形的性质根据勾股定理求解即可．
本题是四边形综合题，考查了与矩形、正方形有关的折叠问题，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握相关性质，并正确求解．
 

23.【答案】解：令，则，
得，，
，，
则抛物线的对称轴为直线；
，，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
；
存在，是抛物线的对称轴上的一点，
设，
过点作于点，
，
，
，
的坐标为，
，
，
，
当时，，
即，
解得，
，
当时，，
即，
解得，
或；
当时，，即，
解得，
，
综上所述，点的坐标为或或或 

【解析】解方程求得，，根据抛物线的对称轴公式即可得到结论；
根据相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义即可得到结论；
设，过点作于点，求得，根据勾股定理得到，求得的坐标为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数点坐标的特征，相似三角形的判定和性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质等，其中，熟练掌握数形结合思想和分类讨论思想是解本题的关键．