2023年浙江省宁波市镇海重点中学高考数学模拟试卷（5月份）

2023年浙江省宁波市镇海重点中学高考数学模拟试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A. 或 B.
C.  D.

2.  已知，则“”是“”的条件．(    )

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要

3.  多项式展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  数列满足，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图已知小正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，且，则大正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知，，，则向量在向量方向上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  表面积为的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  某地区高三男生的身高服从正态分布，则(    )

A.
B. 若越大，则越大
C.
D.

10.  随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 有最大值 D. 随的增大而减小

11.  在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
过点，且以为方向向量的空间直线的方程为．
过点，且为法向量的平面的方程为．
现已知平面：，：，：，：，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  定义：若数列满足，在实数，对任意，都有，则称是数列的一个上界现已知为正项递增数列，，下列说法正确的是(    )

A. 若有上界，则一定存在最小的上界
B. 若有上界，则可能不存在最小的上界
C. 若无上界，则对于任意的，均存在，使得
D. 若无上界，则存在，当时，恒有

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  复数，则 ______ ．

14.  已知，为两个正实数，且，则的最大值为______ ．

15.  已知恒成立，则的取值范围是______ ．

16.  已知椭圆，、分别是其左，右焦点，为椭圆上非长轴端点的任意一点，是轴上一点，使得平分过点作、的垂线，垂足分别为、则的最大值是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
设函数，，．
求函数的单调递增区间；
已知凸四边形中，，，，求凸四边形面积的最大值．

18.  本小题分
已知数列的前项和为，，且．
求数列的通项；
设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．

19.  本小题分
在直角梯形中，，，，现将沿着对角线折起，使点到达点位置，此时二面角为．
求异面直线，所成角的余弦值；
求点到平面的距离．

20.  本小题分
浙江省是第一批新高考改革省份，取消文理分科，变成必考科目和选考科目其中必考科目是语文、数学、外语，选考科目由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术个科目中自主选择其中个科目参加等级性考试为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，从镇海中学高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表：

从这名学生中任选名，求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率；
从这名学生中任选名，记表示这名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值，求随机变量的数学期望；
学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中纯理科生大概的比例，得到的数据如下表：定文同时选考物理、化学、生物三科的学生为纯理科生

请补齐表格，并说明依据小概率值的独立性检验，能否认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关．
参考公式：，其中．
附表：

21.  本小题分
已知椭圆，为其右焦点，，为椭圆外两点直线交椭圆于两点．
若，，求的值；
若三角形面积为，求的取值范围．

22.  本小题分
已知，．
求在处的切线方程；
求证：对于，和，，且，都有；
请将中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
求出集合，，然后进行交集的运算即可．
本题考查了集合的描述法的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：”，
是的充要条件．
故选：．
利用指数函数的单调性，充要条件的定义判定即可．
本题考查了指数函数的单调性，充要条件的判定，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：多项式，
故它的展开式中的系数．
故选：．
多项式即，把 按照二项式定理展开，可得二项式展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，解得，则，解得，
所以，
所以数列是以为周期的周期数列，
故．
故选：．
根据递推公式求得数列的周期，由此即可求得的值．
本题考查数列的递推关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
设直角三角形两边之长为，，则斜边为，
正方形的面积为，，解得，
大正方形的边长，
大正方形的面积为．
故选：．
由已知可得，进而设直角三角形两边之长为，，由小正方形的面积可得，进而可求大正方形的面积．
本题考查正方形的面积的求法，考查三角恒等变换，属中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，即，
又，，，得．
向量在向量方向上的投影向量为：．
故选：．
由已知求得，再由投影向量的定义得答案．
本题考查投影向量的定义，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：已知，，，
可得，
所以，
而，
所以，
由泰勒展开式得，，
所以，
而，
可得，
综上得．
故选：．
由题意，结合三角函数的性质以及泰勒展开式进行逐一分析即可．
本题考查比较数的大小，考查了逻辑推理能力以及遇到问题解决问题的能力．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，
同时，该圆锥的内切球的半径为，
由于圆锥的内切球的表面积为，则有，解可得，必有，
由圆锥的内切球半径公式可得：，则有，
又由，则有，变形可得，
则圆锥的表面积，
变形可得：，
由于，则，则，当且仅当，即时等号成立，
即该圆锥的表面积的最小值为．
故选：．
根据题意，设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，该圆锥的内切球的半径为，由球的表面积公式求出的值，结合圆锥的内切球半径公式可得，变形与的关系，由圆锥的表面积公式可得，结合基本不等式分析可得答案．
本题考查球的表面积计算，涉及圆锥与球的位置关系，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：某地区高三男生的身高服从正态分布，可知是对称轴，
所以，所A正确；
，所以C正确；
若越大，则越小，所以不正确；
，所以不正确；
故选：．
利用正态分布的特征判断选项的正误即可．
本题考查正态分布的特征与性质的应用，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知，即，故A正确；
，故B正确；
，
因为，，易得，
而，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得最大值，
所以随着的增大先增大后减小，当时取得最大值，故C正确，D错误．
故选：．
利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查期望方差的计算，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，平面：，即，则平面一个的法向量为，设，
直线：，变形可得：，即，
则直线的一个方向向量为，设，
由于，则，A错误，D正确；
直线：，即，直线的一个方向向量为，设，
由于，则，
对于：，当时，有，，直线过点，平面：，也过点，则，B错误；
直线：，则直线的一个方向向量为，设，
由于，则，A错误，D正确；
由于，则，
同时，：，过点，平面：不过点，则有，C正确．
故选：．
根据题意，分析平面的法向量和三条直线的方向向量，由此分析三条直线与平面的位置关系，综合可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面的法向量，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：若有上界，则一定存在最小的上界，故A正确；
对于：若有上界，则一定存在最小的上界，故B错误；
对于：若无界，又为正项递增数列，
则时，，，
则，
所以，故C正确；
对于：假设对任意时，恒有，与假设矛盾，故假设不成立，
所以若无上界，则存在，当时，恒有，故D正确，
故选：．
对于，：由有界性的定义，即可判断，是否正确；
对于：若无界，又为正项递增数列，则，即，即可判断是否正确；
对于：假设对任意时，恒有，与假设矛盾，故假设不成立，若无上界，则存在，当时，恒有，即可判断是否正确．
本题考查数列的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，．
故答案为：．
由复数的运算法则求出，从而求出．
本题考查复数的运算与复数的模，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，当且仅当时取等号，
又，
则的最大值为．
故答案为：．
根据基本不等式化简运算，可得的最大值．
本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：已知恒成立，
所以恒成立，
等价于，
整理得，
，
不妨设，函数定义域为，
易得函数在定义域上单调递增，
整理得，
等价于在区间上恒成立，
不妨令，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
可得，
解得，
因为，
联立，解得．
故答案为：．
由题意，将不等式恒成立转化成，设，根据的单调性得到，此时问题转化成在区间上恒成立，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，结合，列出等式即可求出的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性；考查了逻辑推理、转化思想和数学运算能力．
 

16.【答案】 

【解析】解：由椭圆，可知，、分别是其左，右焦点，，
令，，则，
，其中，
设，，则，
由余弦定理可知，
，
，
，
，
，



．
的面积，
，
的面积，
，
，由，，
则的最大值是．
故答案为：．
根据椭圆的焦点三角形的面积公式，令，，则，即可求得，
由，根据二倍角公式及诱导公式即可求得，
根据，即可求得与面积比的最大值．
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆的焦点三角形的面积公式，二倍角公式及诱导公式的应用，考查转化思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意知，得，
因为，所以，所以，所以，
，则，
所以的单调递增区间为；
由，得，
所以四边形的面积，
设，则，
当时，取到最大值． 

【解析】由题意得到，利用三角函数的恒等变换和正弦函数的单调区间即可求解；
由，得，四边形的面积，设，利用三角函数的恒等变换即可求解．
本题考查了三角函数的恒等变换和性质，属于中档题．
 

18.【答案】解：由，且，可得，
解得．
当时，由，可得，
上面两式相减可得，
即为，
当时，上式也成立．
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则；
由，可得，
，
，
上面两式相减可得
，
化简可得．
由对任意恒成立，可得，即恒成立．
当，时，恒成立，
由在，递减，可得时，取得最大值，取得最小值，
所以；
当时，恒成立；
当，时，恒成立．
由在，递减，可得时，取得最大值，，
所以．
综上可得，的取值范围是． 

【解析】由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求；
求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得，再讨论，，，，结合数列的单调性和不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
本题考查数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式和求和公式，数列的错位相减法求和，不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：过点做交于，连接以点为原点，以为轴，
在平面内，过点垂直于的线为轴，过点垂直于平面的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：

因为，所以，所以为二面角的平面角．
所以，又因为，所以点，
又因为，，，
 所以，，
所以，，
所以与夹角的余弦值为；
，，
设为平面的一个法向量，
则，令，则，
所以点到平面的距离为． 

【解析】建立空间直角坐标系，求得直线，的方向向量，利用向量法可求异面直线，所成角的余弦值；求得平面的一个法向量，进而由向量法可求点到平面的距离．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查点到面的距离的求法，属中档题．
 

20.【答案】解：记“所选取的名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件，
则两人选考物理、化学、生物科目数量以下用科目数或选考科目数指代为的情况数为，
数目为的为，数目为的有，则．
由题意可知的可能取值分别为，，，
；
，
，
则的分布列为：

故的期望为．
由题意可得：

，
所以依据小概率值的独立性检验，我们认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关． 

【解析】根据古典概型结合组合数分析运算；
根据题意结合古典概型求分布列，进而可求期望；
根据题意完善列联表，求值，并与临界值对比分析．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，是中档题．
 

21.【答案】解：设，，
因为，在椭圆外，所以，由题意知，的方程为，
联立椭圆方程，得，化简，得，
由，得，
由，得，
所以，
由式可得，，
 所以，
的值为；
，
令，所以，因为，所以，
所以，
所以的取值范围是． 

【解析】设，，的方程为，与椭圆组成方程组，得，进而可得；
，令，可求的取值范围．
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
 

22.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
此时，
又，
所以在处的切线方程为，
即；
证明：不妨设，
令，函数定义域为，
可得，
因为，
所以，
则在区间上恒成立，单调递减，
所以，
即；
对于任意的，任意的，，
都有，
证明：
当时，由知，命题成立；
假设当时，命题成立，
即对任意的，，，，以及，，，，，，，
都有，
不妨设，，，，，，
以及，，，，，，，，
不妨令，，，，，，
可得，
由归纳假设可知




，
所以当时命题也成立，
综上，对于任意的，任意的，且，
都有． 

【解析】由题意，对进行求导，得到和的值，代入切线方程中即可求解；
设，构造新函数，对进行求，利用导数得到该函数的单调性，结合单调性进行求解即可．
结合数学归纳法进行求证即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和数学归纳法，考查了观察能力、逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力．