2023年广东省潮州市高考数学模拟试卷

2023年广东省潮州市高考数学模拟试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设复数满足是虚数单位，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  已知为第二象限角，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金为持金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，关所收税金之和恰好重斤．问原来持金多少？”记这个人原来持金为斤，设，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  “”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

6.  过圆上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，若，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知数列，，其中，且，是方程的实数根，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知三棱锥的外接球的球心为，平面，，，，则球心到平面的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是(    )

A. 焦点为 B. 渐近线方程为
C. 离心率 D. 焦点到渐近线的距离为

10.  某学校组织了一次劳动技能大赛，共有名学生参赛，经过评判，这名参赛者的得分都在内，得分分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示按得分分成，，，，这五组，则下列结论正确的是(    )

A. 直方图中
B. 此次比赛得分不及格的共有人
C. 以频率为概率，从这名参赛者中随机选取人，其得分在的概率为
D. 这名参赛者得分的中位数为

11.  设函数的最小正周期为，且过点，则下列正确的有(    )

A. 在单调递减
B. 的一条对称轴为
C. 的周期为
D. 把函数的图象向左平移个长度单位得到函数的解析式为

12.  已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是(    )

A. 函数 在上为增函数 B. 是函数的极小值点
C. 函数 必有 个零点 D.  

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知单位向量，满足，则与的夹角为______．

14.  年月日至日的中美高层战略对话结束后，某校高二班班主任王老师利用班会时间让学生观看了相关视频，见识了强大的祖国对中美关系的霸气表态，同学们非常激动，爱国情感油然而生为使班会效果更佳，班主任王老师计划从由名女生分别记为甲、乙、丙和名男生分别记为，，，组成的学习小组中选出名进行观后体会交流，则男生和女生甲没有被同时选中的概率为          ．

15.  已知圆柱的侧面积为，其外接球的表面积为，则的最小值为______ ．

16.  已知椭圆：的焦点为，过且倾斜角为的直线交椭圆的上半部分于点，以，为坐标原点为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知正项数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．

18.  本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，已知，．
求角的大小；
若的面积为，设是的中点，求的值．

19.  本小题分
为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶比赛．每场比赛由两支队伍对抗进行，每队由名成员组成，共进行局．每局比赛时，两队成员交替发球，每名成员只能从发球区左侧掷冰壶一次．当所有成员全部掷完冰壶后，开始计分．若冰壶未到达营垒区，计分；若冰壶能准确到达营垒区，计分，整场比赛累计得分多者获得比赛胜利．已知队两名成员甲、乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为和，队两名成员丙、丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为假设两队投掷的冰壶在运动过程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局比赛互不影响．
求队每局得分的分布列及期望；
若第一局比赛结束后，队得分，队得分，求队最终获得本场比赛胜利且总积分比队高分的概率．

20.  本小题分
如图，在斜三棱柱中，侧面侧面，，，为上的动点．
当为的中点时，证明：；
求与平面所成角的正弦值的取值范围．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，动圆与圆相内切，且与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点的直线与曲线交于，两点，分别以，为切点作曲线的切线，，直线，相交于点若，求直线的方程．

22.  本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若函数在定义域内有两个不相等的零点，．
求实数的取值范围；
证明：

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，由，得，解得，
所以，
所以．
故选：．
根据一元二次不等式的解法，结合并集的定义即可求解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，得，
，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
又，
，
解得，
又为第二象限角，，
，
．
故选：．
由为第二象限角可得，再结合即可求出．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，考查了诱导公式的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：这个人原来持金为斤，
第关收税金为，第关收税金为，
第关收税金为，
以此类推可得，第关收税金为，第关收税金为，
所以，即，解得，
由，
则．
故选：．
根据题意求得每次收的税金，结合题意可得，，求得的值，代入函数的解析式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
当时，则，
当时，对数无意义，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
根据幂函数的性质和对数函数的性质，以及充分条件，必要条件的定义可以判断．
本题考查了幂函数和对数函数的性质，以及充分条件，必要条件，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图：的圆心为，半径，即，
圆：，圆心为，半径，则，
若，则，
又由，则，则，
故选：．
根据题意，由圆的方程求出圆的圆心和半径，作出草图，由圆的切线性质分析可得，据此分析可得答案．
本题考查圆的切线的性质，注意分析两圆半径的关系，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，是方程的实数根，
，，．
时，，可得：．
．
．
则．
故选：．
，是方程的实数根，可得，，时，，可得：，利用等比数列的通项公式可得：，，即可得出．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的通项公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，取的中点，

，点为平面所在圆的圆心，面，
面，面面，
等腰，且为的中点，，
又面面，面，
点到面的距离为，
平面，，点到面的距离等于点到面的距离为．
设球的半径为，则，
而，即，解得或舍负，
．
在中，，，
由余弦定理知，，，
．
由等体积法可知，，即，
，即球心到平面的距离为．
故选：．
取的中点，结合圆的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理易证得点到面的距离等于点到面的距离；设球的半径为，以为中间变量，通过勾股定理可求得；再利用解三角形中的余弦定理和正弦的面积公式求得和，最后根据等体积法，即可得解．
本题考查空间中线面的位置关系、点到面的距离问题，熟练掌握空间中线面垂直的判定定理与性质定理、等体积法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

利用双曲线的标准方程，判断选项的正误即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．

【解答】

解：双曲线的方程为，焦点在轴上，焦点坐标，所以不正确；
渐近线方程为所以B正确；
双曲线的离心率，所以C正确；
焦点到渐近线的距离为：，所以不正确；
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力，是基础题．
对于，由频率分布直方图列出方程组，能求出；对于，先求出此次比赛得分不及格的频率，由此能求出此次比赛得分不及格的人数；对于，求出得分在的频率，以频率为概率，从这名参赛者中随机选取人，能求出其得分在的概率；对于，的频率为，的频率为，由此能求出这名参赛者得分的中位数．

【解答】

解：对于，由频率分布直方图得：
，
解得，故A正确；
对于，此次比赛得分不及格的频率为：，
此次比赛得分不及格的人数为：人，故B正确；
对于，得分在的频率为，
以频率为概率，从这名参赛者中随机选取人，其得分在的概率为，故C正确；
对于，的频率为，的频率为：，
这名参赛者得分的中位数为，故D错误．
故选ABC．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
最小正周期为，，
，即．
函数过点，，
，则．
当时即．
令，，则，
当时，在单调递减，故A正确．
令，，则，
当时，的一条对称轴为，故B正确．
因为为偶函数，所以，
则的周期为，且，故C错误．
函数的图象向左平移个长度单位得到函数的解析式为，故D错误．
故选：．
利用辅助角公式将函数化简，根据周期求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了导数与函数单调性的关系，函数极值与零点个数判断，函数单调性应用，属于中档题．
利用导数判断的单调性，再根据极小值和单调性判断即可．
【解答】
解：，
，
当时，；当时，，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，故A错误；

由上述可知是的极小值点，故B正确；

的极小值为，
故当时，没有零点，故C错误；

由在上单调递增可得，即，
，故D正确．

故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：，，
，解得，
，且，
．
根据条件对两边平方，进行数量积的运算即可得出的值，进而可求出的值，从而可得出的夹角．
本题考查了向量数量积的运算，单位向量的定义，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

从名女生和名男生组成的学习小组中选名共有种选法，男生和女生甲被同时选中有种选法，由此能求出男生和女生甲没有被同时选中的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．

【解答】

解：从名女生和名男生组成的学习小组中选名共有种选法，
男生和女生甲被同时选中有种选法，
故所求概率．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：设圆柱的底面半径为，高为，因为圆柱的侧面积为，所以，得，
设圆柱的外接球半径为，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，
所以外接球的表面积的最小值为．
故答案为：．
设圆柱的底面半径为，高为，根据题意求得，利用基本不等式求得圆柱的外接球半径，结合球的表面积公式，即可求解．
本题主要考查球的表面积，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意可知，设，，
因为四边形为平行四边形，所以，
又因为，，所以，
因为，且直线的倾斜角为，
所以，所以，，，所以，
将其代入，得，
又因为，所以，．
故答案为：．
根据四边形为平行四边形且可得，将其代入椭圆方程即可求解．
本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：当时，，所以或．
因为，所以当时，，
所以，
所以
因为，所以，
所以是首项为，公差为的等差数列，
故．
因为，
所以． 

【解析】求出数列的首项，利用递推关系式推出是首项为，公差为的等差数列，然后求解通项公式．
利用裂项消项法求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

18.【答案】解：，
由正弦定理得，，
即，
即，
即，
即，
，，，
，
；
，
，
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
，，
． 

【解析】结合已知条件和正弦定理边化角，三角恒等变换即可求出；
根据三角形面积公式求出，根据余弦定理求出，在和分别由正弦定理表示出和，根据，即可得．
本题考查了正余弦定理的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：若冰壶未到达营垒区，计分；若冰壶能准确到达营垒区，计分，且已知队两名成员甲、乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为和，
队每局有三种情况，即两个人的冰壶都未到达营垒区，一个人的冰壶到达营垒区一个人的冰壶未到达营垒区，以及两个人的冰壶都到达营垒区，
的所有可能取值为，，，
，，，
的分布列为：

．
设对每局得分为，同理可得的分布列为：

记队，队在后面两局总得分分别为，，则包含的情况如下：

，
，
，
故队最终获得本场比赛胜利且总积分比队高分的概率为． 

【解析】根据题设写出的所有可能取值及对应概率，即可得到分布列，再根据分布列求期望即可；
同写出的分布列，根据题设写出队获胜且总积分比队高分所有可能情况，再求出各情况的概率，最后加总即可得结果．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了独立事件的概率公式，属于中档题．
 

20.【答案】证明：在斜三棱柱中，连接，，

由，，
可知四边形，均为含的菱形，故AE，
当为的中点时，则，
又侧面侧面，侧面侧面，
故A平面，从而，
又，所以平面，又平面，
故E；
解：取中点为，因为侧面侧面，，，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，

设，
则，
设平面的法向量为，
由，
令，，
设与平面所成角为，
所以，
当时，，
当时，


所以． 

【解析】根据面面垂直得线面垂直，进而可得线线垂直，根据菱形对角线可得垂直，由线面垂直得线线垂直；
建立空间直角坐标系，利用法向量与直线的方向向量的夹角来求解．
本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：设动圆圆心，半径为，由已知可得，
，化简得，
曲线的方程为．
由已知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，
由，得，
，，
由，得．
所以切线的斜率为，切线的方程为，
即，
同理可得，切线的方程为，
由得，，
，
，
，
，
即，
化简得，，
或，
直线的斜率，
直线的方程为或． 

【解析】本题考查了动点的轨迹方程以及直线与抛物线的综合，属于中档题．
利用两圆内切及直线与圆相切列式，化简即得曲线的方程．
设直线的方程为，求出直线，的方程及点的坐标，联立直线与曲线的方程，借助韦达定理求出点的坐标作答．
 

22.【答案】解：当时，函数，定义域为．．
由，得．
当时，，当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
若函数在定义域内有两个不相等的零点，，
则方程有两个不等的实根．
即方程有两个不等的实根．
记，则，
记，则在上单调递减，且，
当时，，；当时，，，
在上单调递增，在单调递减．
．
又且当时，，
方程为有两个不等的实根时，．
当，即时函数在定义域内有两个不相等的零点，．
证明：要证，
只需证，
只需证，
因为，
两式相减，得．
整理得．
所以只需证，
即证，
即，不妨设，令，
只需证，只需证，
设，
只需证当时，即可．
，
设
在单调递减，
当时，，
在单调递增，当时，，
原不等式得证． 

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化与化归思想、函数与方程思想的运用，考查推理论证能力与运算求解能力，属于难题．
当时，函数，求导分析，可得的单调区间；
函数在定义域内有两个不相等的零点，，可等价转化为方程有两个不等的实根，记，求导分析，可得实数的取值范围；
利用分析法，要证，转化为只需证，即，不妨设，令，即只需证，设，再求导分析可证得结论成立．