2023年山东省烟台市高考数学适应性试卷（二）

这是一份2023年山东省烟台市高考数学适应性试卷（二），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省烟台市高考数学适应性试卷（二）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  若复数满足，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 3.  若，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  乐高积木是由丹麦的克里斯琴森发明的一种塑料积木，由它可以拼插出变化无穷的造型，组件多为组合体某乐高拼插组件为底面边长为、高为的正四棱柱，中间挖去以底面正方形中心为底面圆的圆心、直径为、高为的圆柱，则该组件的体积为单位：(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知函数在上单调递增，则的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 6.  过点的直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，，若，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知集合，若从的所有子集中，等可能地抽取满足条件“，”和“若，则”的两个非空集合，，则集合中至少有三个元素的概率为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  甲、乙两人参加消防安全知识竞赛活动活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局已知每轮活动中，甲、乙答对的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则(    )A. 每轮活动中，甲获胜的概率为 B. 每轮活动中，平局的概率为
C. 甲胜一轮乙胜两轮的概率为 D. 甲至少获胜两轮的概率为10.  已知实数，满足，则(    )A.  B.  C.  D. 11.  三棱锥中，底面、侧面均是边长为的等边三角形，面面，为的中点，则(    )A.
B. 与所成角的余弦值为
C. 点到的距离为
D. 三棱锥外接球的表面积为12.  如图，在中，，，，点，分别在，上且满足，，点在线段上，下列结论正确的有(    )
 A. 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 取最小值时，三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知，则的值为______ ．14.  已知实数，满足，则的最大值为______ ．15.  已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，则的最小值是______ ．16.  欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理如著名的欧拉函数：对于正整数，表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数，如，那么，数列的前项和为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知内角，，的对边分别是，，，．
求角的大小；
若为钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围．18.  本小题分
新修订的中华人民共和国体育法于年月日起施行，对于引领我国体育事业高质量发展，推进体育强国和健康中国建设具有十分重要的意义某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图：
根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联； 性别是否喜欢排球运动是否男生__________女生__________将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为，求使得取得最大值时的值．
附：，其中，．
19.  本小题分
已知数列的前项和为，，，数列满足，且．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．20.  本小题分
如图，在圆锥中，底面直径，高，为底面圆周上异于，的一点．
母线上是否存在一点，使得平面，若存在，指出的位置；若不存在，说明理由；
设，当二面角的大小为时，求的值．
21.  本小题分
已知函数．
若在上单调递增，求实数的取值范围；
当时，证明：，．22.  本小题分
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
求椭圆的方程；
设点，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过点的直线交于点，，直线，分别交直线于点，，求证：以为直径的圆过定点．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为，由，
解得，
即，
又，
所以．
故选：．
先求出集合，再利用集合的运算即可求出结果．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：设复数在复平面上对应的点的坐标为，则表示点到的距离与到的距离的差为，
所以点的轨迹为双曲线的右支，图象如下所示：

表示点到的距离，
所以的最小值为．
故选：．
根据和的几何意义，结合双曲线的图象即可得到的最小值．
本题主要考查复数模公式，考查转化能力，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：令可得， ，
令可得， ，
由可得，则．
故选：．
赋值法分别令，，联立可求得的值．
本题考查二项式定理，属于中档题．
 4.【答案】 【解析】解：因为正四棱柱的底面边长为、高为，
所以正四棱柱的体积为，
又挖去的圆柱的直径为、高为，
所以圆柱的，
故所求几何体的体积为．
故选：．
利用正四棱柱和圆柱的体积公式即可求出结果．
本题考查几何体的体积的求解，属基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由，所以，
又，所以，
且函数在上单调递增，
所以，解得，
即的取值范围为．
故选：．
由的取值范围求出的取值范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
本题主要考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．
 6.【答案】 【解析】解：由抛物线的方程可知焦点为，
由题意可得设过点的直线的方程为，
设，，
联立，得：，
可得，，
所以，
故，解得．
由于，所以，
所以，结合可得，
即，
由化简整理得，
解得或舍去．
故选：．
由抛物线的方程可得焦点的坐标，设过点的直线的方程，与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出的纵坐标之差的绝对值，由三角形的面积公式可得三角形的面积，求得，由向量的关系，及两根之和及两根之积，可得参数的值．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，方程思想，属中档题．
 7.【答案】 【解析】解：由，可得、中没有重复数字，
由，则可得、不为空集，且可将中个数字分为组，
分别为或，或，或，或，或，
且每组数中的一个数如果在集合中，另一个必在集合中，
所以集合中元素的个数小于等于集合中元素的个数，
所以集合中元素的个数可能为，，，，，
所以集合的可能的个数为，
所以．
故选：．
由已知可得、中没有重复数字，、不为空集，且可将中个数字分为组，且每组数中的一个数如果在集合中，另一个必在集合中，所以集合中元素的个数小于等于集合中元素的个数，所以集合中元素的个数可能为，，，，，再由组合知识和概率计算公式可得答案．
本题主要考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：由得，即，
可设，
当时，因得，
所以，
可化为，
即，
设，
因，故为偶函数
，
当时，因，，
故，所以在区间上单调递增，
因，
所以当时的解集为，
又因为为偶函数，故的解集为．
故选：．
先由题中条件求出，根据不等式可构造，利用为偶函数且在区间上单调递增可解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：根据题意可得，甲获胜的概率为：，故A正确；
乙获胜的概率为，
所以平局的概率为，故B正确；
所以轮活动中，甲胜一轮乙胜两轮的概率为：，故C不正确；
甲至少获胜两次的概率为，故D正确．
故选：．
由事件的相互独立性，计算概率即可判断．
本题考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
因为函数为上的增函数，所以，A错误；
因为函数在上为增函数，所以，
所以，所以，B正确；
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，又，
所以，所以，即，C正确；
取，可得，，但，D错误．
故选：．
由不等式的性质化简条件，结合指数函数单调性，对数函数性质判断，，要比较大小等价于比较的大小，故考虑构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小，判断，举反例判断．
本题主要考查利用奥数研究函数的单调性，不等式大小的比较，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：连接，，因为三角形和三角形为等边三角形，为中点，
所以，，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
因为面面，面面，，平面，
所以平面，
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设与所成角为，所以，故B错；
因为平面，平面，所以，
因为三角形和三角形的边长为，所以，
在等腰直角三角形中，，
所以点到的距离为，故C正确；
分别取三角形和三角形的外心，，
再分别过，作平面，平面的垂线交于点，
所以为三棱锥的外接球球心，
所以，，
所以，
三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．
故选：．
根据三角形和三角形为等边三角形得到，，然后根据线面垂直的判定定理得到平面，然后根据线面垂直的定义即可得到，即可判断选项；利用空间向量的方法求异面直线所成角即可判断选项；利用等腰直角三角形的性质求距离即可判断选项；根据外接球的性质得到外接球球心的位置，然后利用勾股定理求半径和外接球表面积即可判断选项．
本题考查向量法求解线线角问题，点面距的求解，三棱锥的外接球问题，化归转化思想，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：对于选项A，点在线段上，则，使得，
则，
又，，，
又，，不共线，
可得，，
，A错误；
对于选项B，根据的分析，若，，
此时，
，，
于是，
由，，，则，
，即，B正确；
对于选项C，取中点，则，
由，，于是，
由，，
为等边三角形，，根据中位线可知，，于是，
在中根据余弦定理可得，，
，为锐角，又，
过作的高线时，垂足点落在线段上，
由题意垂足点为时，最小．最小值为，C正确；
对于选项D，，
在中，根据余弦定理可求得，即，
根据选项可知，最小时也最小，
根据，根据的分析，，，
注意到，

，D正确．
故选：．
选项，根据平面向量基本定理和向量共线的性质求解；
选项，结合选项，用，来表示出，然后由数量积的计算进行说明；
选项，取中点，则，问题转化成定点到线段上动点的距离最小值；
选项，通过转化先推出取得最小值时，也取最小值，然后用面积的割补计算．
本题主要考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，向量的模的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：因为，
所以

．
故答案为：．
根据利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得．
本题主要考查两角和与差的三角函数，考查转化能力，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：方程整理得，
设点，即点是圆：上一点
又点在圆：外，所以，
则，
所以的最大值为．
故答案为：．
设点，则问题转化为圆上一点与圆外一点之间距离的最大值的平方，根据点与圆的位置关系求解即可．
本题主要考查了圆与圆位置关系在距离最值求解中的应用，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：作函数与图象如下：

由图可得，
存在四个不相等的实根，，，，可得，
可得，，即，，
所以，
当且仅当即且等号成立，
则的最小值是．
故答案为：．
作函数与图象，结合图象可得，，再利用基本不等式求最值即可．
本题主要考查了分段函数的性质，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：在中，与不互质的数有，，，，，共有个，
对于正整数，表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数，
所以，
所以，
设数列的前项和为，
所以，
，
两式相减可得，
所以，
即，
故数列的前项和为．
故答案为：．
根据已知条件，结合欧拉函数的定义，以及错位相减法，即可求解．
本题主要考查欧拉函数的定义，以及错位相减法，属于中档题．
 17.【答案】解：因为，由正弦定理可得，
得到，又，所以，
故，即，所以，
又，所以，得到．
由正弦定理，得到，，
所以
，所以，
又因为为钝角三角形，且，又由知，所以，
所以，由的图像与性质知，
所以． 【解析】利用正弦定理结合条件，进行边角转化即可得出结果；
利用正弦定理，将边转角，再结合条件得到，再利用角的范围即可得出结果．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 18.【答案】解：由等高堆积条形图知，列联表为： 性别是否喜欢排球运动是否男生女生零假设为：性别与是否喜欢排球运动无关，根据列联表中的数据，
，
依据的独立性检验，可以推断不成立，即性别与是否喜欢排球运动有关联．
由知，喜欢排球运动的频率为，
所以，随机变量，
则，
令，解得．
因为，所以当时，取得最大值． 【解析】结合条形等高图写出列联表，计算值即可判定；
由题意知随机变量，结合二项分布的概率计算列不等式组求解即可．
本题主要考查独立性检验，考查转化能力，属于中档题．
 19.【答案】解：，
数列是以为公差的等差数列，
，解得：，，
；
，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
由得：，即，
当为奇数时，；当为偶数时，；
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上所述：． 【解析】根据等差数列通项和求和公式可求得；根据等比数列通项公式可求得；
由可得，进而得到；分别在为偶数和为奇数的情况下，采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果．
本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于难题．
 20.【答案】解：不存在一点，使得平面．
理由：假设在上存在一点，使得平面，
因为平面，所以，
又因为为直径，可得，
因为且，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
在中，，则为等腰三角形，
所以与不垂直，
这与矛盾，
所以上不存在一点，使得平面．
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，可得，
又因为，，可得，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，可得，
设，可得平面的一个法向量为，
又由平面的一个法向量为，
因为二面角的大小为，
可得，解得，
即，即，
又由，解得． 【解析】假设在上存在一点，使得平面，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，这与为等腰三角形矛盾，从而得到结论．
以为原点，建立空间直角坐标系，根据，得到，求得向量，设，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式列出方程，即可求解．
本题考查线面垂直的判定定理，考查利用空间向量研究二面角的问题，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
 21.【答案】解：由函数，可得，
因为在上单调递增，可得在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，即为最大值，
所以，即实数的取值范围为．
证明：当时，，可得
当时，可得，
要使得，只需使得，
令，可得，
所以单调递增，
又由，所以，
所以单调递增，
所以；
当时，可得且，
所以，满足；
当时，可得，
因为且，
所以，
所以，
综上可得，对于，都有． 【解析】求得，转化为在上恒成立，进而转化为在上恒成立，令，求得，得出函数的单调性和最大值，即可求解．
当时，得到且，当时，只需使得，利用导数求得单调递增，得到；当时，显然满足；当时，由和，得到，即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
 22.【答案】解：由已知得，所以，
则椭圆方程可化为，因为点在椭圆上，所以，
则，，所以椭圆的方程为．
证明：由可知，点，点，
设，，，，设直线，
联立有，整理可得，
，，，
则，；
，；
分别令可得，，
当时，直线，则，
，则的中点为，且，
所以以为直径的圆的方程为，
则圆过点和；
猜测点为所求定点，下面证明当时，以为直径的圆过点，
若点，则



，也可以从去推导定点
若点，则



，也可以从去推导定点
所以以为直径的圆过定点和． 【解析】根据椭圆的离心率得到，然后根据椭圆过点即可求解；
由可知，点，点，设，，，，设直线，联立方程组，利用韦达定理和平面向量的数量积等于零即可证明．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．