2023年浙江省宁波重点学校中考数学三模试卷

这是一份2023年浙江省宁波重点学校中考数学三模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省宁波重点学校中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的倒数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  宁波位于长三角地带，是富饶的鱼米之乡，据年数据显示，宁波总量高达亿元，全国排名进位至第位，其中亿元用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 4.  三个大小一样的正方体按如图摆放，它的主视图是(    )A.
B.
C.
D. 5.  据调查，某班名学生所穿校服尺码统计如下： 尺码频数则该班名学生所穿校服尺码的中位数是(    )A.  B.  C.  D. 6.  要使分式有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，是的直径，点，在上，若，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 8.  随着网络建设的不断发展，目前网络峰值速率为网络峰值速率的倍，在峰值速率下传输兆数据，网络比网络快秒，设网络的峰值速率为每秒传输光数据，依题意，可列方程是(    )A.  B.
C.  D. 9.  已知二次函数，当自变量为时，其函数值大于零：当自变量为，时，其函数值分别为，，则(    )A. ， B. ， C. ， D. ，10.  如图，四边形是一个由张纸片拼成的菱形相邻纸片之间互不重叠，其中四张纸片为大小形状相同的平行四边形，连结，，，记，，若，则平行四边形纸片长与宽的比值为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.  分解因式： ______ ．12.  直线过点，将它向下平移个单位后所得直线的表达式是______ ．13.  已知圆锥的底面半径和母线的长分别是一元二次方程的两个根，则圆锥的侧面积为______ ．14.  我国古代数学家刘徽将勾股形古人称直角三角形为勾股形分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则的长度是______．
15.  在矩形中，，，点在对角线上，圆的半径为，如果圆与矩形只有一个公共点，那么线段的长是______ ．16.  如图，点、分别在轴、轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，延长交轴于点，连结，则点坐标为______ ， ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．
解不等式组：．18.  本小题分
在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的顶点都是格点，请用无刻度的直尺作图．
在图中边上画点，使得．
在图中作的高．

 19.  本小题分
如图，已知二次函数的图象经过点，点．
求该二次函数的表达式及顶点坐标；
点在该二次函数图象上，当时，的最大值为，最小值为，请根据图象直接写出的取值范围．
20.  本小题分
某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图每组数据含最小值，不含最大值，已知从左至右前四组的频率依次为，，，，结合该图提供的信息回答下列问题：
抽取的学生人数共有______ 人，体重不低于千克的学生有______ 人；
这部分学生体重的中位数落在第______ 组；
在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：，，，，如果要从这组学生中随机抽取人，求被抽到的人体重都不低于千克的概率．
21.  本小题分
耸立在宁波海曙区的天封塔始建于唐武则天“天册万岁”至“万岁登封”年间，因建塔年号始末“天”“封”而得名如图在天封塔正前方有一斜坡，长为米，坡度为：，高为某中学数学兴趣小组的同学利用测角仪在斜坡底的点处测得塔上观景点的仰角为，在斜坡顶的点处测得塔上观景点的仰角为其中点，，在同一直线上，如图．
求斜坡的高；
求塔上观景点距离地面的高度精确到米．
参考数据：，

 22.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，，为线段上一动点，且和、不重合，连结，过作交所在直线于．
请找出一对相似三角形，并说明理由；
若点在线段上运动时，点总在线段上，求的取值范围．
23.  本小题分
【基础巩固】如图，在中，，，点是的中点延长至点，使，延长交于点，则的值为______ ．
【思考探究】如图，当时，的值会发生变化吗？若不变，请写出证明过程；若发生变化，请说明理由．
【拓展延伸】如图，在中，，点是线段上任意一点延长至点，使，延长交于点，若，请求出的值用含的式子表示．

 24.  本小题分
如图，为等边的外接圆，半径为，点在劣弧上运动不与点、重合，连结、、．
求证：是的平分线；
探究、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论；
如图，延长至点，使，点为线段上一点，且
求线段的长的最小值；
设点为、的交点，当线段的长取得最小值时，求线段的长．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
运用乘积为的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 2.【答案】 【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 3.【答案】 【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：从正面看，是一行两个小正方形，每个正方形的中间有一条纵向的虚线．
故选：．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
 5.【答案】 【解析】解：这组数据的个数是个，数据由小到大排序后，
则第和个数据的平均数就是这组数据的中位数，
第和个数据是，，
该班名学生所穿校服尺码的中位数．
故选：．
根据中位数的定义解答，这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 6.【答案】 【解析】解：由题意得：，
解得，
故选：．
根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不等于零是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：连接，
为直径，
，
，
．
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形，再根据同弧所对的圆周角相等，求得的度数，即可求得的度数．
考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．
 8.【答案】 【解析】解：依题意，可列方程是：．
故选：．
直接利用“网络比网络快秒”得出等式进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：二次函数，，
该函数图象开口向下，当时，该函数取得最大值，当时，，
该函数与轴的交点为，在轴的负半轴，
点在该函数图象上，在轴下方，
当自变量为时，其函数值大于零，
，
，，
当自变量为与时，其函数值分别为，，
，，
故选：．
根据题意和题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴和的取值范围，再根据当自变量为与时，其函数值分别为，，即可得到和大小关系．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，明确题意，利用二次函数的性质是解答本题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：如图，过点作，交的延长线于，交的延长线于，

设小平行四边形的宽是，长是，，，
周围四张小平行四边形纸片都全等，
，
四边形是菱形，
，
，
，
．
即平行四边形纸片长与宽的比值为．
故选：．
作辅助线构建平行四边形的高线，设小平行四边形的宽是，长是，，，根据图形可知：，，根据代入计算可得结论．
本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和面积，用参数表示线段的长和面积并计算是解本题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：

．
故答案为：．
把原式的第项变为，，三项之积的形式，第项变为，发现原式三项满足完全平方公式的特点，利用两数和的完全平方公式即可分解．
考查了因式分解运用公式法，，即两数的平方和加上两数积的倍等于两数和的平方是完全平方公式的特点，要求学生熟练掌握并灵活运用．同时要求学生理解因式分解的定义，即把和的形式化为积的形式．
 12.【答案】 【解析】解：将代入，
得：，
解得：，
，
将直线向下平移个单位后所得直线的解析式是，即，
故答案为：．
将代入，即可求得，然后根据“上加下减”的平移规律求解即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
 13.【答案】 【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为，
圆锥的底面半径和母线的长分别是一元二次方程的两个根，
，
圆锥的侧面积为．
故答案为：．
设圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为，根据圆锥的底面半径和母线的长分别是一元二次方程的两个根，得，从而求得圆锥的侧面积即可．
本题考查了圆锥的计算和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是牢记圆锥的侧面积计算公式，难度不大．
 14.【答案】 【解析】解：设正方形的边长为，
由题意得：，，
，
在中，，
即，
整理得，，
解得：，或舍去，
即正方形的边长是，
≌，
．
故答案为：．
设正方形的边长为，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，解方程即可，进而得出的长．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 15.【答案】或 【解析】解：在矩形中，
，，，
，
如图，设与边相切于，连接，
则，
，
∽，
，
，
，
如图，设与边相切于，连接，
则，
，
∽，
，
，
，
，
如果圆与矩形只有一个公共点，那么线段长的是或，
故答案为：或．
根据勾股定理得到，如图，设与边相切于，连接，如图，设与边相切于，连接，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
 16.【答案】   【解析】解：作于，于，于，连接．
的两条外角平分线交于点，
，，
，
设，则，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
的面积是，
故答案为：，．
作于，于，于，连接利用角平分线的性质得出，设，则，则，即可求得，利用勾股定理得到，通过证得∽，得到，即可求得．
本题属于考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，解题的关键是证得，属于中考压轴题．
 17.【答案】解：原式
；
，
由得，．
由得，．
所以原不等式组的解集为． 【解析】先计算零指数幂、去绝对值和特殊角的三角函数值；然后计算加减法；
分别求解两不等式的解集，取其公共部分即可求解．
本题主要考查二次根式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 18.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，线段即为所求；
 【解析】利用网格特征平行线分线段成比例定理解决问题即可；
根据三角形的高的定义画出图形，取点，连接交与点，线段即可所求．
本题考查作图应用设计作图，三角形的高，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 19.【答案】解：将点、的坐标分别代入二次函数，得方程组：，
解之，得，，将其代入二次函数，得顶点坐标为，将各系数代入，得
答：该二次函数的表达式为，顶点坐标为
当，解得或，因为，，是顶点．
根据题意，点应在点、之间的函数图象上，
故有：，，并且中必须包含顶点横坐标．
在数轴上标出它们之间的关系：

可以看出，．
答：． 【解析】用待定系数法和顶点坐标公式即可求解；
根据坐标的最值分析的取值范围．
本题主要考查求解二次函数表达式的方法及其性质，对学生的运算能力有一定要求．
 20.【答案】    四 【解析】解：抽取的学生人数共有：人，
体重不低于千克的学生有：人，
故答案为：，；
从左至右前四组的频数分别为：，，，，
这部分学生体重的中位数是第个体重和第个体重的平均数，，
这部分学生体重的中位数落在第四组，
故答案为：四；
把第一组学生的人体重分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中被抽到的人体重都不低于千克的结果有种，
被抽到的人体重都不低于千克的概率为．
由左边第一组的频数除以频率得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由中位数的定义求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中被抽到的人体重都不低于千克的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和中位数等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 21.【答案】解：斜坡的坡度为：，
：：，
设，，
，
在中，，
即，
解得负值舍去，
答：斜坡的高为米；
过点作于点，
则米，米，
，
设，
则，，
在中，，
，
解得，
米． 【解析】设，，根据勾股定理即可得到结论；
过点作于点，则米，米，设，则，，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题主要考查解直角三角形的应用坡度、坡角和仰角、俯角的问题，此类题目要求学生借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
 22.【答案】解：相似三角形有：∽，
理由如下：
，，
，，
，
，
，
，
又，
∽；
设，，则，
∽，
，
即，
整理得，
，
有最大值，
当时，取最大值，最大值为，
点总在线段上，
，
解得，
又，
． 【解析】相似三角形有∽，利用已知条件即可证明；
设，，则，根据中求出的与的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定的取值范围．
此题考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第问中求取值范围时二次函数性质的应用．
 23.【答案】 【解析】解：基础巩固：，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是中点，
，
．
故答案为：．
思考探究：不变，理由如下：
，
．
，
，
，
．
，

，
∽，
，
．
拓展延伸：同思考探究，可证出∽，
，
．
基础巩固：由等边三角形的性质，三角形外角的性质得到，由直角三角形的性质得到，即可解决问题；
思考探究：由∽，得到，即可得到；
拓展延伸：由∽，得到，即可推出．
本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明∽得到，推出．
 24.【答案】证明：为等边三角形，
，
，，
，
即是的平分线；

，证明：如图，

将绕点逆时针旋转至的位置，
则，，，
，
，
即、、三点共线，
，，
为等边三角形，
，
又，
；

如图，连结，，过点作于，
，
点是等边的外接圆的圆心，
，
半径为，
，
，
等边的边长为，
连结，过点作，

为等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
取中点，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当、、三点共线时，的长最小，
过点作于点，则，
在中，，
；
当线段的长取得最小值时，，
∽，
，
即，
解得． 【解析】先判断出，再判断出，，即可得出结论；
先判断出、、三点共线，再判断出为等边三角形，即可得出结论；
连结，，过点作于，求出等边的边长为，连结，过点作，判断出，进而得出≌，即，在判断出点在以为圆心，为半径的圆上运动，得出当、、三点共线时，的长最小，最后用勾股定理即可求出答案；
当线段的长取得最小值时，，得出∽，进而得出比例式，即可求出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．