7.2探索平行线的性质（解答题-压轴题）-七年级数学下学期期末复习知识点专题练习（苏科版-江苏期末真题精选）

7.2探索平行线的性质（解答题-压轴题）-七年级数学下学期期末复习知识点专题练习（苏科版-江苏期末真题精选）

一、解答题

1．（2018秋·江苏泰州·七年级校联考期末）某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b，他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：

已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ

（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE＋∠CQE之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，求出∠PFQ的度数；

（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝70°时，请求出∠PFQ的度数.

2．（2019春·江苏连云港·七年级统考期末）已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上，过点C作直线，点D在点C的左边．

（1）若BD平分∠ABC，，则  °；

（2）如图②，若，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，试说明；

（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H.在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围.

3．（2023春·江苏·七年级期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．

(1)如图 1，若DE∥OB，∠EDF＝∠EFD，求x的值；

(2)如图 2，若DE⊥OA，是否存在这样的 x 的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出 x的值；若不存在，说明理由．

(3)在（2）的条件下，若射线DA绕点D顺时针旋转至DO后立即回转，射线EO绕点E顺时针旋转至ED停止，射线DA转动的速度是4°/秒，射线EO转动的速度是1°/秒．若射线DA先旋转4秒，射线EO才开始绕点E顺时针旋转，在射线EO到达ED之前，射线EO旋转到第几秒时，射线DA与射线EO互相平行，直接写出答案．

4．（2023春·江苏·七年级期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯B射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是/秒，灯B射出的光束转动的速度是/秒，且a、b满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．

(1)求a、b的值；

(2)如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，若，求的度数；

(3)若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

5．（2023春·江苏·七年级期末）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．

(1)求的度数；

(2)如图②，若将绕B点以每秒5°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒；

①在旋转过程中，若边，求t的值；

②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒4°的速度按顺时针方向旋转．请直接写出旋转过程中有一边与平行时t的值．

6．（2022春·江苏苏州·七年级期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．

(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；

(2)类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；

(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．

7．（2019春·江苏常州·七年级统考期末）（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决教材中的问题：如图①，AB∥CD，则∠B+∠D　 　∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；

（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．

（3）灵活应用：如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．

8．（2020秋·江苏南通·七年级统考期末）如图，已知直线．这两直线之间一点．

（1）如图1，若与的平分线相交于点，若，求的度数．

（2）如图2，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？并证明你的结论．

（3）如图3，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，请直接写出与之间的数量关系．

参考答案：

1．(1)∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由见解析；(2)∠PFQ＝110°；(3)∠PFQ＝145°.

【分析】（1）过E点作EH∥AB,再利用平行线性质，两直线平行内错角相等，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE.

（2）过点E作EM∥AB，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140°，再作NF∥AB，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，得到，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF的度数.

（3）过点E作EM∥CD，如图，设∠CQM＝α，∴∠DQE＝180°－α，再利用角平分线性质得到∠DQH＝90°－α，∠FQD＝90°＋α，再利用平行线性质、角平分线定义∠BPF＝∠BPE＝55°－α，作NF∥AB，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF即可求出答案.

【详解】（1）∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由如下：

过点E作EH∥AB  

∴∠APE＝∠PEH   

∵EH∥AB，AB∥CD  

∴EH∥CD  

∴∠CQE＝∠QEH，

∵∠PEQ＝∠PEH＋∠QEH       

∴∠PEQ＝∠APE＋∠CQE

（2）过点E作EM∥AB，如图，

同理可得，∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140°

∵∠BPE＝180°－∠APE，∠EQD＝180°－∠CQE，

∴∠BPE＋∠EQD＝360°－(∠APE＋∠CQE)＝220°，

∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD  

∴∠BPF＝∠BPE，∠DQF＝∠EQD

∴∠BPF＋∠DQF＝(∠BPE＋∠EQD)＝110°，

作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝110°

（3）过点E作EM∥CD，如图，

设∠CQM＝α，

∴∠DQE＝180°－α，

∵QH平分∠DQE，

∴∠DQH＝∠DQE＝90°－α，

∴∠FQD＝180°－∠DQH＝90°＋α，

∵EM∥CD，AB∥CD   

∴AB∥EM，

∴∠BPE＝180°－∠PEM＝180°－(70°＋α)＝110°－α

∵PF平分∠BPE  

∴∠BPF＝∠BPE＝55°－α，

作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝145°

本题主要考查了平行线的性质定理，根据性质定理得到角的关系．

2．（1）10；（2）证明见解析；（3）不变，

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得∠ABD=，由BD平分∠ABC得∠ABC=2∠ABD=80°，根据垂直即可得∠OCB的度数；

（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠CFE；

（3）由∠ABC+∠ACB=2∠DAC，∠H+∠HCA=∠DAC，∠ACB=2∠HCA，求出∠ABC=2∠H，即可得答案．

【详解】解：（1）∵直线，，

∴∠ABD=，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠ABD=80°，

又∵直线MN⊥直线PQ，

∴∠OCB=90°-∠ABC=10°；

（2）∵，∴

∴

∵直线直线PQ

∴

∵

∴

∵BF是∠CBA的平分线，

∴

∴；

（3）不变

∵直线，

∴

∵，

∴

∵

∴

∵

∴

∵CH是∠ACB的平分线

∴

∴

∴.

本题考查垂线，角平分线，平行线的性质，解题的关键是找准相等的角求解．

3．(1)60

(2)68或104

(3)或64.8

【分析】（1）由题意易得，则有，，然后问题可求解；

（2）由题意可分当DP与OC交于点F在点E的下方和在点E的上方，然后根据角的和差关系可进行求解；

（3）设射线EO旋转到第t秒时，射线DA与射线EO互相平行，然后根据题意可分类求解．

【详解】（1）解：∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，

∴，

∵DE∥OB，

∴，

∵，

∵，

∴，

解得：；

（2）解：存在这样x的值，使得∠EFD＝4∠EDF，理由如下：

∵DE⊥OA，

∴，

当DP与OC交于点F在点E的下方时，如图所示：

∵∠ODP＝x°，

∴，，

∵∠EFD＝4∠EDF，

∴，

解得：；

当DP与OC交于点F在点E的上方时，如图所示：

∵∠ODP＝x°，

∴，，

∵∠EFD＝4∠EDF，

∴，

解得：；

（3）解：设射线EO旋转到第t秒时，射线DA与射线EO互相平行，由题意可分：

①当射线DA未旋转至DO，DA∥EO，则有，如图所示：

∴，，

∴，

解得：；

②当射线DA旋转至DO后立即回转，且DA∥EO，如图所示：

∴，

∴，

解得：；

综上：当射线EO旋转到第或64.8秒时，射线DA与射线EO互相平行．

本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义及角的和差关系，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义及角的和差关系是解题的关键．

4．(1)

(2)30°

(3)当秒或秒时，两灯的光束互相平行．

【分析】（1）根据，可得，且，进而得出a、b的值；

（2）设灯A射线转动时间为t秒，根据可得t的值，根据可得；

（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到之前，②在灯A射线转到之后，分别求得t的值即可．

【详解】（1）∵．

又∵．

∴；

（2）设A灯转动时间为t秒，

如图，作，而

，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．

依题意得

①当时，，

解得；

②当时，，

解得；

③当时，，

解得(不合题意)

综上所述，当秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．

本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

5．(1)60°

(2)①6；②或

【分析】（1）如图，先求解，，由，可得，从而可得答案；

（2）①如图，由，可得，可得，再列方程求解即可；②如图，当时，延长交于R．证明，过作，则，可得，，再建立方程即可；如图中，当时，延长交于R．证明，，再建立方程求解即可．

【详解】（1）解：如图①中，

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）①如图②中，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

∴在旋转过程中，若边，t的值为6．

②如图③中，当时，延长交于R．

∵，

∴，

过作，则，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

如图③﹣1中，当时，延长交于R．

∵，

∴，

∵，同理：，

∴，

∴，

∴．

综上所述，满足条件的t的值为或．

本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的含义，一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合，清晰的分类讨论都是解本题的关键．

6．(1)，

(2)当或时，CE//AB

(3)，或AC//DE

【分析】（1）由三角板的特点可知，即可求出．再根据，，即可求出；

（2）分类讨论结合平行线的性质即可求解；

（3）由（1），即可求出，再分类讨论结合平行线的判定和性质即可得出DE与AC的位置关系．

【详解】（1）∵，

∴，即．

∵，，

∴．

故答案为：，；

（2）分类讨论：①如图1所示，

∵CE//AB，

∴，

∴；

②如图2所示，

∵CE//AB，

∴，

∴．

综上可知当或时，CE//AB；

（3）根据（1）可知，

∴，

∴．

分类讨论：①如图3所示，

∵，

∴，

∴BC//DE．

∵，即，

∴；

②如图4所示，

∵，

∴，

∴AC//DE．

本题考查三角板中的角度计算，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．

7．（1）=；（2）若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD，该逆命题为真命题，见解析；（3）见解析

【分析】(1）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，即可得出结论；

（2）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；

（3）过点N作NG∥AB，交AM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠AMN＝∠ACM+∠CAM，证出∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，由角平分线得出∠ACM＝∠NCD，即可得出结论．

【详解】（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：

则EF∥AB∥CD，

∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，

∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，

即∠B+∠D＝∠BED；

故答案为：＝；

（2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；

该逆命题为真命题；理由如下：

过E作EF∥AB，如图①所示：

则∠B＝∠BEF，

∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，

∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，

∴∠D＝∠DEF，

∴EF∥CD，

∵EF∥AB，

∴AB∥CD；

（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：

则NG∥AB∥CD，

∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，

∵∠AMN是△ACM的一个外角，

∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，

又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，

∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，

∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，

∵CN平分∠ACD，

∴∠ACM＝∠NCD，

∴∠CAM＝∠BAN．

本题考查了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．

8．（1）∠ADB=50°；（2）∠ADB=180°-∠ACB，证明见解析；（3）∠ADB=90°-∠ACB．

【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠MAC=∠ACG，∠EBC=∠BCG，根据角平分线的定义得到，即可得到结论；

（2）根据平行线的性质得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义即可得到结论；

（3）根据平行线的性质得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，根据平行线的定义得到，根据四边形的内角和和角的和差即可得到结论．

【详解】（1）如图1，过C作CG∥MN，DH∥MN，

∵MN∥EF，

∴MN∥CG∥DH∥EF，

∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，

∠MAC=∠ACG，∠EBC=∠BCG，

∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，

∴，

∴；

∵∠ACB=100°，

∴∠ADB=50°；

（2）如图2，过C作CG∥MN，DH∥MN，

∵MN∥EF，

∴MN∥CG∥DH∥EF，

∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，

∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，

∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，

∴

∴

，

∴；

（3）如图3，过C作CG∥MN，DH∥MN，

∵MN∥EF，

∴MN∥CG∥DH∥EF，

∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，

∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，

∵∠MAC与∠FBC的平分线相交于点D，

∴

∵

．

∴

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．