河南省开封市天成学校2023届高三文科数学试题（含解析）

河南省开封市天成学校2023届高三文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知向量，的夹角为，，，则（    ）

A． B． C．7 D．19

5．已知为第四象限角，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．等比数列中，，则数列的前6项和为（    ）

A．21 B． C．11 D．

7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（    ）

A．432 B．216 C．144 D．72

8．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值是

B．的最小正周期为

C．在区间上单调递增

D．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象

9．在正方体中，为正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知椭圆，，分别是的左顶点和上顶点，是的左焦点，若，则的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

12．若，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．请写出渐近线方程为的一个双曲线方程____________.

14．已知函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则实数________．

15．在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为________．

16．已知数列满足，（），若，数列的前项和为，则________．

三、解答题

17．为应对中国人口老龄化问题，各地积极调研出台三孩配套政策.某地为了调研生育意愿是否与家庭收入有关，对不同收入的二孩家庭进行调研.某调查小组共调研了20个家庭，记录了他们的家庭年可支配收入以及生育三孩的意愿，若将年可支配收入不低于20万划归为富裕家庭，20万以下为非富裕家庭，调研结果如下表.

(1)根据上述数据，请完成下面列联表，并判断能否有90%的把握认为生育三孩与家庭是否富裕有关？

(2)相关权威部门的数据表明年可支配收入在20万元以上（含20万元）的家庭约占全部家庭的，若以该调查组的调研数据为依据制定相关政策，你认为是否合理？请说明理由.

附：，.

18．如图1所示，在长方形中，，是的中点，将沿折起，使得，如图2所示，在图2中．

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离．

19．在①；②；③（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答．

在中，角，，边分别为，，，且________．

(1)求角的大小；

(2)若为锐角三角形且，求的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：上一点到焦点F的距离.不经过点S的直线l与E交于A，B.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)若直线AS，BS的斜率之和为2，证明：直线l过定点.

21．设函数，．

(1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围；

(2)当时，求证：．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求的普通方程和的直角坐标方程；

(2)求与的公共点的直角坐标．

23．已知.

(1)解不等式；

(2)若关于x的不等式有解，求m的取值范围.

参考答案：

1．C

【分析】先分别求得集合和集合，再根据交集的运算即可得到.

【详解】因为集合或，

集合,

所以，

即，

故选：C.

2．C

【分析】先根据复数的除法运算得到，从而得到，再由复数的几何意义即可求解.

【详解】由题意得：，所以，

由复数的几何意义得：在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，

故选：C.

3．B

【分析】判断和的包含关系即可判断它们构成的命题的关系﹒

【详解】∵或，

∴“”是“”充分不必要条件﹒

故选：B﹒

4．A

【分析】根据向量的数量积公式得到，从而求得，即可求得.

【详解】由题意得：，

则，

因为，所以，

故选：A.

5．A

【分析】结合同角关系，解方程组得，再由倍角公式求值.

【详解】因为，联立解得或，

又为第四象限角，所以，所以.

故选：A．

6．A

【分析】求出等比数列的公比，通项公式和前项和，即可求出前6项和.

【详解】由题意，，

在等比数列中，，

设公比为,前项和为，

∴，解得：，

∴，

∴，

∴，

故选：A.

7．C

【分析】根据条件中的三视图得到该几何体是三棱柱中截去一个以三棱柱上底面为底面，侧棱为高的一个三棱锥所得，再结合棱柱和棱锥的体积公式即可求解.

【详解】由三视图可知，该几何体如图①所示，

是由如图②所示的三棱柱中截去三棱锥所得，

根据条件可得，所求几何体的体积，

所以该几何体的体积是，

故选：C.

8．A

【分析】根据题目所给函数图象分别过，和，再结合正弦函数的图象与性质求得，对各个选项逐一判断即可.

【详解】由图象可得：函数的最小正周期满足，

即函数的最小正周期，所以B选项错误；

因为，且，所以，即，

又知图象过和，

则有，即，则，其中，

又，，所以取，即，，

所以函数，

即，则的最小值为，所以A选项正确；

当时，，

又，取得最小值，

所以在不是单调函数，所以C选项错误；

将的图象向右平移个单位长度后得到，所以D选项错误，

故选：A.

9．B

【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长，求出相关各点的坐标，利用向量的夹角公式求得答案.

【详解】如图，以D为坐标原点，DA,DC, 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为2，

则 ,

则 ，

故 ，

故线与直线所成角的余弦值为，

故选：B

10．D

【分析】根据条件，分析得到函数关于直线对称且在上单调递增，进而将不等式转化为，结合对数函数的图象与性质即可求解.

【详解】由可得：，

则，

所以函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称，

所以函数的图象关于直线对称，

又时，在上单调递增，则在上单调递减，

若，则，

即，所以或，解得：或，

所以实数的取值范围是，

故选：D.

11．C

【分析】根据椭圆的性质结合锐角三角函数，在和在求出，的正切值，由两角差的正切公式求出的正切值，结合题目条件得，的关系，即求出椭圆的离心率.

【详解】由题意作出图形，如下图所示：

可知：，，，

在中可得：，

在中可得：，

所以

化简得：

因为，所以①，

又，所以①整理可得：，

即，解得，

又，所以，

故选：C.

12．D

【分析】先比较与的大小，通过比较和即可得到，再比较与的大小，构造（），利用导数证明得到时，，从而得到，通过，结合的单调性即可得到，即可得到，，的大小关系.

【详解】由，得：，，

因为，所以，则；

设（），则，

当时，，所以在上单调递增，

所以时，，即时，，

所以，

又，，

所以，则，

又，所以，

综上：，

故选：D.

【点睛】方法点睛：

构造函数比较大小主要方法有：

1. 通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到它们之间的大小关系.

2. 通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.在本题中，通过构造函数，利用导数证明得到时，，进而放缩得到.

13．（答案不唯一）

【分析】先指定焦点所在位置，由题意可得，进行赋值即可得双曲线方程．

【详解】若焦点在轴上，由题意可得：，

不妨令，则双曲线方程．

故答案为：．（答案不唯一）

14．

【分析】对函数求导得到，从而得到在点处的切线斜率，根据条件结合两直线垂直的斜率关系得到关于的方程，即可求解.

【详解】由题意得：，

则在点处的切线斜率，

又因为在点处的切线与直线互相垂直，

且直线的斜率为，

所以，解得：，

故答案为：.

15．/

【分析】根据条件得到或，结合画出符合要求的可行域，根据圆的性质及直线，的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可求得概率.

【详解】要满足，则①或②，

在平面直角坐标系中分别作出不等式组①、②和圆，

则满足要求的可行域如下图阴影部分所示：

由图知：在圆内随机取在阴影部分，

而直线过圆心，且直线与直线相互垂直，

所以图中阴影部分的面积为圆面积的，

故点满足的概率为，

故答案为：.

16．2022

【分析】根据题目条件，利用的表达式，求出的表达式，再错位相加求和，化简可得的通项公式，即可求解.

【详解】由题意得：，

即，

两式相加得：，

数列满足，（），

所以，即，

则，所以，

故答案为：.

【点睛】思路点睛：本题解决的难点在于以学习过的数列相关的知识为基础，通过问题的特征，引出新的解题思路，然后在快速理解的基础上，解决新问题.本题中主要是根据题目条件，联想到数列的错位相减求和，再根据条件和所求式进行构造及推理，将平时常见的错位相减求和转化为本题中所用的错位相加求和，可得所求式子的结果.

17．(1)详见解析；

(2)详见解析.

【分析】（1）根据提供的数据，列出列联表，再求得值，与临界值对照下结论；

（2）根据提供的数据中，富裕家庭的占比与比较，下结论.

【详解】（1）解：由上述数据，得列联表如下：

因为，

所以没有90%的把握认为生育三孩与家庭是否富裕有关；

（2）因为调查组的调研数据中的富裕家庭占比为，

所以调查组的调研数据与实际不符，故不合理.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在图1中，连接，根据勾股定理结合条件得到，再由线面垂直的判定定理即可证明出平面；

（2）在图2中，作的中点，连接，根据（1）的结论结合面面垂直的判定和性质得到线段是三棱锥的高，从而求出三棱锥的体积，再由等体积法，即可求得点到平面的距离.

【详解】（1）在图1中，连接，如图所示：

因为在长方形中，，是的中点，

所以，

则，，

又，即，所以，

在图2中，又，，平面，平面，

所以平面.

（2）在图2中，作的中点，连接，如图所示：

因为，所以，且，

又由（1）得：平面，平面，

所以平面平面，又平面平面，

，平面，所以平面，

即线段是三棱锥的高，

所以三棱锥的体积，

又平面，平面，所以，

则的面积，

设点到平面的距离为，

则三棱锥的体积，

即，解得：，

故点到平面的距离为.

19．(1)

(2)

【分析】（1）选①：根据正弦定理边化角结合诱导公式得到，进而得到，即可求解；选②：利用正弦定理角化边结合余弦定理得到，即可求解；选③：根据条件和三角形的面积公式得到，通过三角恒等变换和诱导公式得到，即可求解；

（2）根据正弦定理得到，再利用诱导公式和三角恒等变换得到，结合条件得到的取值范围，根据正弦函数的图象与性质即可得到的取值范围.

【详解】（1）若选①：

由正弦定理得：，

即，

又因为，则，

所以，又，则，

所以，又，所以.

若选②：

由正弦定理得：，化简得：，

又由余弦定理得：，

因为，所以.

若选③：

因为，

即，

则，

又由正弦定理得：，

又，，所以，

即，

又因为，则，

所以，又，则，

所以，所以.

（2）由正弦定理得：，

则，，

所以，

又，

所以，

则，

∵为锐角三角形，

∴，即，解得：，

∴，则，

∴,

故的取值范围是.

20．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用抛物线的定义即可求出p；

（2）根据斜率公式，韦达定理列方程求出直线方程即可.

【详解】（1）抛物线D：的焦点，准线方程为，

因为抛物线上一点到焦点F的距离，

由抛物线的定义得，所以.

所以抛物线E的标准方程是；

（2）将代入可得或（舍），所以点S坐标为，

由题意直线l的斜率不等于0，

设直线l的方程是，，，

联立，得，

由韦达定理得，

因为直线，的斜率之和为2，

所以，

所以，

将代入上式可得 ，

所以直线l的方程是，显然它过定点.

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）对函数求导得到，分类讨论和，根据导数与函数单调性的关系得到：当，且时，取得最大值，根据在上存在最大值，得到，即可求得的取值范围；

(2)当时，将原不等式可转化为，分别构造，，利用导数，分别求得其最小值和最大值，可得且两个函数的最值点不相等，即可证明.

【详解】（1）（1）由得：（），

①当时，，所以在上单调递增，在不存在最大值，

②当时，令，解得：，

当时，，在上单调递增，

当时，在上单调递减，

所以在时，取得最大值，

又由函数在上存在最大值，

因此，解得：，

所以的取值范围为.

（2）证明：当时，，且函数的定义域为，

要证明，即证明时，，

只需要证明：时，，

因为，所以不等式等价于

设（），则，

令得：，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故，且当时，等号成立；

又设（），则，

令得：，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故，且当时，等号成立；

综上可得：时，，且等号不同时成立，

所以时，，

即当时，得证.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于将要证明的原不等式（），转化为（），进而分别构造，，再结合导数，分别求得其最小值和最大值，得到且两个函数的最值点不相等，从而证明.

22．(1)（，），；

(2)

【分析】（1）根据条件得到：（为参数）（，），利用同角三角函数的平方关系消去参数得到的普通方程，再将代入的极坐标方程即可得到的直角坐标方程；

（2）联立（1）得到的和的直角坐标方程，通过代入消元法和利用平方处理根式即可求解方程，从而得到与的公共点的直角坐标.

【详解】（1）因为参数，则，所以，，

同理参数，则，所以，，

由曲线的参数方程为（为参数）得：（为参数），

即（，），

所以的普通方程为（，）；

将代入的极坐标方程得：，

所以的直角坐标方程为：.

（2）由（1）知的直角坐标方程为：，即，

将代入的直角坐标方程：得：（）

即①，①式两边平方整理得：②，

②式两边平方整理得：，解得：或，

当时，，不满足题意，舍去；

当，，满足题意，

所以与的公共点的直角坐标为.

23．(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分段法分类讨论即可得结果；

（2）首先分离参数，再利用绝对值三角不等式求出最小即可.

【详解】（1）当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

综上可得：不等式的解集为.

（2）关于x的不等式有解，

即能成立，

由于，

即的最小值为3，

所以m的取值范围.