辽宁省锦州市2023届高三质量监测数学试题（最后一模）（含解析）

辽宁省锦州市2023届高三质量监测数学试题（最后一模）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知是空间两个不同的平面，命题：“”，命题：“平面内有无数条直线与平行”，则是的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知复数为虚数单位为纯虚数，则在复平面内，对应的点的轨迹为（    ）

A．圆 B．一条线段 C．两条直线 D．不含端点的4条射线

4．已知直线的倾斜角为，则（    ）

A．-3 B． C． D．

5．南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该杯盏的高度为（    ）

A． B． C． D．

6．若，则（    ）

A．1 B． C．19 D．

7．在中，，点在线段上，，点是外接圆上任意一点，则最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则（    ）

A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c

二、多选题

9．甲、乙二人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：

下列说法正确的是（    ）

A．从环数的平均数看，甲、乙二人射击水平相当

B．从环数的方差看，甲的成绩比乙稳定

C．从平均数和命中9环及9环以上的频数看，乙的成绩更好

D．从二人命中环数的走势看，甲更有潜力

10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）

A．的最小正周期是

B．的值为

C．在上单调递增

D．若为偶函数，则最小值为

11．若是函数（为自然对数的底数）图象上的任意两点，且函数在点和点处的切线互相垂直，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．最小值为1

C．的最小值为 D．的最大值为

12．如图，正方体的棱长为3，点、、分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（    ）

A．存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形

B．当时，三棱锥的外接球表面积为

C．当时，三棱锥体积为

D．当时；与平面所成的角的正弦值为

三、填空题

13．某考生回答一道有4个选项的选择题，设会答该题的概率是，并且会答时一定能答对，若不会答，则在4个答案中任选1个.已知该考生回答正确，则他确实会答该题的概率是__________.

14．设为定义在上的可导函数，其导函数为偶函数，若对任意有，且，则__________.

15．已知正项等差数列，公差为，前项和为，若也是公差为的等差数列，则__________.

16．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，则当最大时，的面积为__________.

四、解答题

17．在直角梯形中（如图一），，，.将沿折起，使（如图二）.

(1)求证：平面平面；

(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.

18．在中，角是锐角，角所对的边分别记作，满足，.

(1)求；

(2)若，求的值.

19．记为数列的前项和，已知.

(1)求的通项公式；

(2)设单调递增的等差数列满足，且成等比数列.

（i）求的通项公式；

（ii）设，证明：.

20．据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.

(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）

(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在内的人数为，求（结果保留2个有效数字）.

附参考数据：，随机变量服从正态分布，则.

21．已知为双曲线的左、右焦点，的离心率为为上一点，且.

(1)求的方程；

(2)设点在坐标轴上，直线与交于异于的两点，且点在以线段为直径的圆上，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

22．已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）若，求实数的值；

（2）证明：．

参考答案：

1．C

【分析】根据集合的交并运算得出元素需要满足的特征性质进而求得元素，或利用集合中元素的几何意义数形结合得出答案.

【详解】所求中的元素需满足或解得

或，所以共有两个元素满足.

故选：C.

2．A

【分析】利用面面平行的性质和判定定理即可求得结果.

【详解】若，则平面内的任意一条直线平行于另一个平面，故平面内有无数条直线与平行，所以可以推出；

根据面面平行的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

若平面内有无数条直线与平行，则与可能相交，不一定平行，所以不能推出.

故选：A.

3．D

【分析】利用复数的分类及复数的几何意义，结合复数的乘法法则即可求解.

【详解】由题意可知，复数在复平面内对应的点，

所以，

因为为纯虚数，

所以，解得或，

故在复平面内，对应的点的轨迹为不含端点的4条射线.

故选：D.

4．B

【分析】利用直线的斜率的定义及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.

【详解】因为直线的倾斜角为，

所以.

所以.

故选：B.

5．C

【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，可得点坐标及抛物线的标准方程，设代入抛物线方程求出后可得答案.

【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

依题意可得，设抛物线的标准方程为，

则，解得，所以抛物线的标准方程为，

可设，代入抛物线方程，可得，

所以该杯盏的高度为cm.

故选：C.

6．D

【分析】将展开与比较系数发现数列，，，…，是以为公差的等差数列，进而可求得结果.

【详解】设

，

可得：

，

，

，即，

，即，

，即，

，即，

，

，

由此可知，，

且数列，，，…，是以为公差的等差数列，

所以，，，

所以.

故选：D

7．A

【分析】先根据余弦定理求出线段的长度，再根据正弦定理求出外接圆的半径，最后将写成后再求，当与同向时，取得最大值.

【详解】在中，，，

在中，由余弦定理得，

，

又因为，所以，解得，

从而，.

设外接圆的半径为，由正弦定理得，

故.

所以，

当与同向时，取得最大值为.

故选：A.

【点睛】

8．B

【分析】先比较与大小，先比较1与大小，比较与大小，比较与大小，比较与大小，再比较比较与大小，先比较与大小，比较与大小，从而可得答案

【详解】先比较与大小，先比较1与大小，比较与大小，比较与大小，比较与大小，，，，，

比较与大小，先比较与大小，

比较与大小，，，

，即，，

故选：B．

9．ABC

【分析】求出甲乙的平均数和方差，即可得出结论.

【详解】由题意及图得，

甲射击 10 次中靶环数分别为.

将它们由小到大排列为.

乙射击 10 次中靶环数分别为.

将它们由小到大排列为.

甲平均值：（环）,

乙平均值：（环）,

甲方差：，

乙方差：

，

A项，甲平均值等于乙平均值，故A正确；

B项，，甲的成绩比乙稳定，B正确；

C项，甲乙平均数均为7，甲命中9环及9环以上的频数为1，乙命中9环及9环以上的频数为3，故乙的成绩更好，C正确；

D项，从二人命中环数的走势看，甲成绩逐渐平稳，乙成绩仍有上升趋势，故乙更有潜力，D错误.

故选：ABC

10．BD

【分析】对于选项A，看图求周期即可；对于选项B，先求出解析式，再求；对于选项C，先求出的减区间，再做出判断即可；对于选项D，求出为偶函数时的取值，进而求出最小值.

【详解】由图可知，A=2，该三角函数的最小正周期，故A选项错误；

由于，则，由图知，

所以该函数的一条对称轴为.

将代入得出，解得，

所以，

所以，故B选项正确；

令解得.

当时，在上单调递减，故C选项错误；

若为偶函数，则为偶函数，

所以,解得，

则当时，取最小值，最小值为，故D选项正确.

故选：BD.

11．ACD

【分析】先分段求导，利用导数的几何意义得出，通过构造新函数，利用导数的正负求得函数的单调性，再利用单调性求出最值即可.

【详解】当时，，当时，.

因为函数在点和点处的切线互相垂直，所以，

即.可得.

因为，可得.故A正确.

由，设，，

当时，，在上单调递增，所以在上无最小值.故B错误.

由，设，，

当时，，在上单调递减，所以在上有最小值.故C正确.

由，设，，

当时，，在上单调递增，

所以在上有最大值,故D正确.

故选:ACD

12．CD

【分析】对于A，对分情况讨论，图形展示即可；

对于B，当时，三棱锥的外接球心在过线段的中点，且垂直于平面的直线上，可求出，得表面积；

对于C， 当时，，得出平面 ，利用等体积可求体积；

对于D，求出的方向向量与平面法向量，利用向量公式可得答案.

【详解】设正方体的棱长为3 ，以为原点，以、、所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示:

对于A选项，

时，在点， ，由可知，所以截面即为四边形；

由图形知，截面为五边形或六边形.故A错误.

对于B选项，当时，且平面，

所以根据球的性质容易判断，三棱锥的外接球的球心在过线段的中点，

且垂直于平面的直线上，，，所以的中点，

可记球心，，外接球的半径，解得，，

所以三棱锥的外接球表表面积为，故B错误.

对于C选项，当时，，所以，

所以平面 ，，

又平面，所以，

三棱锥体积为，故C正确.

对于D选项，当时，，，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，则，令，

则，，所以可取，

由平面知，平面的法向量为，

记平面与平面的交线的一个方向向量为，

则，

令，则，，所以可取，

又平面的法向量为，则，，，

设与平面所成的角为，则，故D正确.

故选： CD.

13．

【分析】利用条件概率和全概率公式即可.

【详解】设考生会答该题为事件A，不会答为事件B，该考生回答正确为事件C；

则：,,

故答案为：

14．9

【分析】导函数为偶函数可知有对称中心，可知有对称轴，所以是周期函数，然后根据周期性和对称性求解即可.

【详解】导函数为偶函数，

所以，

，为常数；

，

，即，

所以，即，

，

两式相减得：，故函数周期为2，

，

，

，

；

；

.

故答案为：9

15．/0.25

【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，结合多项式相等即可求解.

【详解】因为是公差为的正项等差数列，则.

因为是等差数列的前n项和，所以.

又因为也是公差为的等差数列，则.

从而有，两边平方得，即.

由多项式相等，得出，解得.

故答案为：.

16．/

【分析】将对称性和椭圆的定义结合起来，得到PM，PN的和为定值，从而知当M、N、P三点共线时，MN的值最大，然后通过几何关系求出，结合余弦定理即可求出三角形的面积.

【详解】根据椭圆的方程可知，，连接PM，PN，

则，所以当M、N、P三点共线时，|MN|的值最大

此时

又因，可得

在中，由余弦定理可得，，

即，解得，

故答案为：.

【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）首先取的中点，连接，根据题意易证平面，从而得到，即可得到平面，再根据面面垂直的判定即可证明平面平面.

（2）首先取的中点，连接，易证平面，从而得到，再计算的长度即可.

【详解】（1）取的中点，连接，如图所示：

因为，，

则四边形为正方形，所以，

因为，所以.

因为，，，平面，

所以平面.

又因为平面，所以.

因为，，，平面，

所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

（2）取的中点，连接，

因为平面，，所以平面，

又因为平面，所以.

因为，所以.

因为，，，平面，

所以平面，

又因为平面，所以.

因为，，且，

所以，

即点 E 到直线 CD 的距离为.

18．(1)；

(2).

【分析】（1）利用辅助角公式和三角函数关系式的变换求角；

（2）利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的变换求出结果.

【详解】（1）因为，

又，所以，

又因为角是锐角，即，所以，

所以，故；

（2）因为，

又，所以，

因为，，

由正弦定理，得，

所以，

由余弦定理得，，得，

因为，所以

所以，即，

因为，所以，

所以.

19．(1)

(2)（i）；（ii）证明见解析.

【分析】（1）由数列的递推关系式得到，再根据等比数列的通项公式，即可求解；

（2）（i）设数列的公差为，根据题意，结合等比中项公式列出方程，求得，再利用等差数列的通项公式，即可求解；

（ii）由（i）得到，利用放缩法和裂项求和，即可求解.

【详解】（1）解：因为，可得，

两式相减可得，即，

则，

又因为，可得，

所以当时，，即，

当时，不满足上式，

所以数列的通项公式为

（2）解：（i）设数列的公差为，

因为成等比数列，且，

所以，

整理得，解得或，

因为，可得，

又因为，所以数列的通项公式为.

（ii）由（i）知，，

可得，

当时，；

当时，，

综上可得，对于任意，都有.

20．(1)16.16

(2)0.073

【分析】（1）利用频率分布直方图求解平均数即可.

（2）根据，可求得成绩在内的概率，利用二项分布的概率公式求解即可.

【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：

.

（2）由题意知，

则，

故该校女生短跑成绩在内的概率，

由题意可得，

所以，

，

所以.

21．(1)

(2)存在点，为定值

【分析】（1）根据双曲线的离心率和双曲线的定义求出，即可得出答案.

（2）分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知转化为，求出直线恒过定点，根据，

即可转化为点为该圆的圆心即斜边的中点，从而求出存在点，使得为定值.

【详解】（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，

又，所以，则，所以，

因为，所以，

故双曲线的方程为.

（2）因为点满足，

所以点在双曲线的左支上，又因为点在坐标轴上，则，

设，当的斜率存在时，设的方程为，

联立方程，整理得,则，,即,

，因为在以线段为直径的圆上，所以，

则，又，，

则，

所以，

即，整理得，

即，解得或，经检验均满足，

当时，直线的方程为，则直线过点，不合题意，舍去；

当时，直线的方程为，则直线恒过定点，符合题意.

当的斜率不存在时，， ，，

，又，解得（舍去）或，

所以直线方程为，则直线恒过定点.

综上，直线恒过定点.

因为，所以是以为斜边的直角三角形，

即点在以为直径的圆上，则点为该圆的圆心即斜边的中点，

又，，所以，为该圆的半径，即，

故存在点，使得为定值.

22．（1）1；（2）证明见解析；

【分析】（1），令，，则等价于，对任意恒成立，令，可知当时不恒成立；当时，利用导数求其最大值，由最大值等于0求得值；

（2）由（1）知，当时，，即，可得，把问题转化为证明，即证：，构造函数，再由导数证明即可．

【详解】（1）解：，令，．

则等价于，对任意恒成立，令，

当时，，与恒成立矛盾，不合题意；

当时，，，与恒成立矛盾，不合题意；

当时，，在上递减，在上递增，

的最小值为．

令，则，知在上递增，在上递减，

，要使，当且仅当．

综上，实数的值为1；

（2）证明：由（1）知，当时，，即，

，

下面证明，即证：．

令，．

当时，显然单调递增，，

在，上单调递减，，

当时，显然，即．

故对一切，都有，即．

故原不等式成立．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查化归与转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．