2023年天津市河西区中考数学二模试卷（含解析）

2023年天津市河西区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  预计到年，中国用户将超过，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，由个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可以得到一个你熟悉的公式，这个公式是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  抛物线与轴的交点坐标为(    )

A.  B.
C. 和 D. 和

10.  九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间设规定时间为天，则可列出正确的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图，已知，，将绕点顺时针旋转得到，连接，，和交于点则下列结论中正确的是(    )

A.
B. 与不一定平行
C. 可以看作是平移而成的
D. 和都是等边三角形
 

12.  如果用定长为的线段围成一个扇形，且使得这个扇形的面积最大，方法应为(    )

A. 使扇形所在圆的半径等于 B. 使扇形所在圆的半径等于
C. 使扇形的圆心角为 D. 使扇形的圆心角为

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  ______．

14.  计算的结果等于______ ．

15.  在一个不透明的袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中白球个，黄球个，红球个，摸出一个球，则摸到红球的概率是______ ．

16.  将直线向左平移，请你任意写出一个平移后的解析式______ ．

17.  如图，已知正方形的边长为，是边的中点，连接，在边上有一点，满足，则的长为______ ．

18.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上，且．
线段的长等于______ ；
以为直径的半圆与边相交于点，若在上有一点，使其满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的______ 不要求证明

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．

解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集为______ ．

20.  本小题分
为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出了统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ本次抽取测试的男生人数为______ ，图中的值为______ ；
Ⅱ求本次抽取测试的这组数据的平均数、众数和中位数．

 

21.  本小题分
在中，，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，．
如图，连接，若，求的大小；
如图，若点为的中点，的半径为，求的长．

 

22.  本小题分
如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点，，在同一条直线上，小红在处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为已知点到地面的距离为，，求旗杆的高度和建筑物的高度结果保留小数后一位参考数据：，．

23.  本小题分
天津农业大学的大学生参加助农活动，帮助果农销售砂糖桔砂糖桔的销售分为线上和线下两种销售方式，具体费用标准如下：线下销售方式：元千克：线上销售方式：质量不超过千克时，每千克元，质量超过千克时，超出部分每千克按五折出售设购买砂糖桔千克，所需费用为元，可知两种销售方式的与之间的函数关系大致如图所示．
根据题意，填写表格：

请直接写出这两种销售方式对应的函数表达式；
请问如何选择购买方式更省钱？为什么？

24.  本小题分
平面直角坐标系中，正方形的点在轴上，点在轴上，点，另有一动点，连接．
如图，当点在边上时，将绕点顺时针旋转，得到，连接交轴于点．
若点的坐标为，求线段的长；
设点，，试用含的式子表示；
当点满足，点不与点重合，连接现在以为中心，将顺时针旋转，得到，求当取得最大值时点的坐标．

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，，已知抛物线为常数，，与轴相交于点，为顶点．
当抛物线过点时，求该抛物线的顶点的坐标；
若点在轴上方，当时，求的值；
在的情况下，连接，，点，点分别是线段，上的动点，且，连接，，求的最小值，并求此时点和点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
原式利用同号两数相加的法则计算即可求出值．
此题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据特殊角的三角函数值得出即可．
本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左边看，可得选项A的图形．
故选：．
根据左视图是从物体左面看，所得到的图形，通过观察几何体可以得到答案．
本题主要考查了简单组合体的三视图，熟知左视图是从左边看到的图形是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据同分母的分式的加减法计算即可．
此题考查分式的加减法，关键根据分式加减法则解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据图形可得出：大正方形面积为：，大正方形面积个小图形的面积和，
可以得到公式：．
故选：．
通过图中几个图形的面积的关系来进行推导．
本题考查了完全平方公式的推导过程，看出图形面积之间的关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，，
又，
．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：令，
即，
则或，
故抛物线和轴的交点坐标为：和，
故选：．
令，即可求解．
本题考查的是抛物线和轴的交点，用方程的思想求解是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：规定时间为天，
慢马所需的时间为，快马所需时间为，
又快马的速度是慢马的倍，
可列出方程，
故选：．
根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图：设与相交于点，

由旋转得：，≌，
，，，
和都是等边三角形，
，
，
，
，，，
，
，
和不全等，
不可以看作是平移而成的，
故A、、不符合题意，符合题意，
故选：．
设与相交于点，根据旋转可得：，≌，从而可得，，，进而可得和都是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而可得，进而可得，再利用三角形内角和定理，以及对顶角相等可得，最后根据，可得和不全等，从而利用平移的性质可得不可以看作是平移而成的，即可解答．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，平移的性质，熟练掌握旋转的性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设这个扇形半径为，扇形面积为，
由题意得：
，
，
所以当时，扇形面积有最大值．
故选：．
设这个扇形半径为，扇形面积为，首先表示出扇形的弧长为，进而利用列出函数解析式，利用配方法求得最大值即可．
此题考查扇形面积的计算和二次函数的实际运用，利用扇形面积公式得出解析式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即．
本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：在一个不透明的袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中白球个，黄球个，红球个，
摸出一个球，摸到红球的概率是．
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率，比较简单．
 

16.【答案】答案不唯一 

【解析】解：直线经过点，
将直线向左平移个单位后，点平移到点，
设直线平移后的解析式为，
代入点，
得，
解得，
直线向左平移个单位后的解析式为，
故答案为：答案不唯一．
根据直线经过点，将直线向左平移个单位后，过点，设直线平移后的解析式为，利用待定系数法求解析式即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，涉及待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的图象上点的平移特征是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：作，交于点，连接，
四边形是边长为的正方形，点为的中点，，
，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得的长．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】  取格点，，连接，连接并延长，与相交于点；连接，与半圆相交于点，则点即为所求 

【解析】解：．
故答案为：；

如图，取格点，，连接，连接并延长，与相交于点；连接，与半圆相交于点，则点即为所求．

故答案为：取格点，，连接，连接并延长，与相交于点；连接，与半圆相交于点，则点即为所求．
利用勾股定理求解即可；
取格点，，连接，连接并延长，与相交于点；连接，与半圆相交于点，则点即为所求．
本题考查作图复杂作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】     

【解析】解：解不等式，得；
故答案为：．
解不等式，得；
故答案为：；
把不等式和的解集在数轴上表示出来：

由图可知原不等式组的解集是．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：Ⅰ本次抽取测试的男生人数为人，
，即图中的值为，
故答案为：，．
Ⅱ，
这组数据的平均数为．
此组数据中，出现了次，出现次数最多，
众数为．
将这组数据由小到大排列，其中处于中间的两个数都是，有，
这组数据的中位数为．
Ⅰ先由次人数及其所占百分比求出男生总人数，再由百分比之和为可得的值；
Ⅱ根据加权平均数、众数和中位数的定义求解即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】解：如图，连接，

为半径的圆与相切于点，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
；

Ⅱ连接，．

为的中点，
．
，
，
．
，
，
为等边三角形，


，
，
． 

【解析】连接，由在中，，是切线，易得，即可求得，继而求得答案；
首先连接，，由得：，由点为的中点，易得是等边三角形，继而求得答案．
此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意得，，，．
过点作于点．
则，，．
四边形是矩形．
，，
在直角中，，
．
在直角中，，
，
则．
．
答：旗杆的高度约是，建筑物的高度约是米．
 

【解析】根据题意分别在两个直角三角形中求得和的长后求差即可得到旗杆的高度，进而求得的高度．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．
 

23.【答案】       

【解析】解：线下销售：当时，；
当时，；
线上销售：当时，；
当时，；
故答案为：，；，；
线下销售时与之间的函数关系式为：；
线上销售时：当时，；
当时，．
与之间的函数关系式为：；
当时，即当时，线上购买更省钱；
当时，即当时，两种销售方式花费一样；
当时，即当时，线下购买更省钱．
根据线上、线下销售方式分别求出和时的值即可；
根据题意直接写出函数解析式；
分三种情况讨论即可．
本题考查一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．
 

24.【答案】解：由题设，知，，
，，
，
，．
在中，；

，，
，．
，
；

如图，在的右边作等边，连接，

，
，
，，
≌，
，
点的运动轨迹是为圆心，为半径的圆，
当点在的延长线设上，的值最大，最大值为，此时点在轴上，

过点作于点，则，
，
，
，
． 

【解析】求出，，利用勾股定理求解；
利用面积关系构建方程求解；
如图，在的右边作等边，连接，证明≌，推出，推出点的运动轨迹是为圆心，为半径的圆，推出当点在的延长线设上，的值最大，最大值为，此时点在轴上，
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
该抛物线的顶点的坐标为；
，
抛物线的顶点的坐标为
点在轴上方，且，
点在第一象限．
如图，过点作轴于点，

则，
，即，
解得：；
如图，过点作轴，且使得，连接，，

轴，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当，，三点共线时，取得最小值，
在中，，，
，
的最小值为．
此时点是与的交点，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，
解得：，
直线为，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，
解得：，
直线为，
联立，得：，
解得：，
直线与直线的交点的坐标为，
，
，
，
综上所述，的最小值为，此时， 

【解析】运用待定系数法可得抛物线的解析式为，即可得出顶点的坐标；
利用配方法或公式法可得抛物线的顶点的坐标为，过点作轴于点，由，可得，建立方程求解即可得出答案；
过点作轴，且使得，连接，，可证得≌，得出，进而可得，当，，三点共线时，取得最小值，运用勾股定理即可求得利用待定系数法可得：直线为，直线为，联立方程组求解即可得出交点的坐标，运用两点间距离公式可得，得出，即可得出点的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形性质，两点间距离公式，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握待定系数法、添加辅助线构造全等三角形是解题关键．