2023年吉林省松原市乾安县中考数学一模试卷（含解析）

2023年吉林省松原市乾安县中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于年月日返回地球，结束了天的在轨飞行时间从年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有位航天员出征太空，绕地球飞行共约亿公里将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图所示，在中，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  我国明代数学读本算法统宗中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人两，还剩两；若每人两，还差两问银子共有几两？设银子共有两，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  计算的结果是______．

8.  分解因式：          ．

9.  计算： ______ ．

10.  若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______．

11.  如图所示，分别以线段的端点和为圆心，大于的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线，在直线上取一点，使得，延长至，的度数为______ ．

12.  长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，点的坐标为，则点的坐标为______ ．

13.  如图，在河两岸分别有、两村，现测得三点、、在一条直线上，、、在一条直线上，若，米，米，米，那么、两村间的距离为______米．

14.  如图所示，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，若，，则图中阴影部分的面积为______ 结果保留

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

15.  先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共11小题，共79.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
某鞋店有、、、四款运动鞋，元旦期间搞“买一送一”促销活动，用树状图或表格求随机选取两款不同的运动鞋，恰好选中、两款的概率．

17.  本小题分
如图，已知：，，，求证：．

18.  本小题分
我们把顶点都在格点上的四边形叫做格点四边形如图，在的方格纸中，有格点线段，，，请按要求画出格点四边形．
在图中画格点四边形，使其为中心对称图形．
在图中画格点四边形，使得对角互补．

19.  本小题分
列分式方程解应用题：
年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有、两种机器人，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少原料？

20.  本小题分
李老师把油箱加满油后驾驶汽车从县城到省城接客人，油箱加满后，汽车行驶的总路程单位：与平均耗油量单位：之间的关系如图所示．
求与的函数关系式．
当平均耗油量为时，汽车行驶的总路程为多少？

21.  本小题分
如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得教学楼顶端点处的俯角为又经过人工测量测得操控者和教学楼之间的距离为米．求教学楼的高度．点，，，都在同一平面上，结果保留根号

22.  本小题分
为了解某校八年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题：

本次抽测的男生人数为______ ，图中的值为______ ；
本次抽测的这组数据的平均数为______ 次，众数为______ 次；
若规定引体向上次以上含次为体能达标，根据样本数据，估计该校名八年级男生中有多少人体能达标．

23.  本小题分
杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，秤钩所挂物重为斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且是的一次函数．

注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离厘米为正，在右侧时为负．
根据题意，完成上表；
请求出与的关系式；
当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？

24.  本小题分
如图，在等腰中，，点为直线上一动点点不与、重合以为边向右侧作正方形，连接．
【猜想】如图，当点在线段上时，直接写出、、三条线段的数量关系．
【探究】如图，当点在线段的延长线上时，判断、、三条线段的数量关系，并说明理由．
【应用】如图，当点在线段的反向延长线上时，点、分别在直线两侧，、交点为点连接，若，，则 ______ ．

 

25.  本小题分
如图所示，在中，，，点在上从点以每秒个单位长度的速度向终点运动点从点沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连接，以，为邻边作▱当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间，▱与重叠部分的图形面积为．
点到边的距离为______ ，点到边的距离为______ ；用含的代数式表示
当点落在线段上时，求的值；
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，平行于轴的直线与抛物线相交于、两点，设点的横坐标为．
求的长用含的代数式表示．
如图，点在直线上，点的横坐标为，若，，求顶点在轴上且经过、两点的抛物线的顶点坐标．
点在直线上，，过、、三点的抛物线的顶点为，其对应哈数的二次项系数为．
求的值．
当，为等腰直角三角形时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
在数轴上表示为：
．
故选：．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：该几何体的左视图如下：

故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意中间看不到的线用虚线表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，
，，
，
．
故选：．
首先连接，由圆周角定理即可得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：银子共有两，每人两，还剩两，
分银子的人共人；
银子共有两，每人两，还差两，
分银子的人共人．
又分银子的人数不变，
可列方程组．
故选：．
根据“每人两，还剩两；每人两，还差两”，结合分银子的人数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用平方差公式分解即可求得答案．
本题考查了利用平方差公式分解因式的方法．题目比较简单，解题需细心．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
根据分式的除法转化为乘法，再计算即可．
本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是掌握分式的乘除法的运算过程．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解关于的一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，
，
．
故答案为：．
利用作法得到垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求的度数．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：在长方形中，，
点与点的纵坐标相等，
设点，
，
，
，
．
故答案为：．
由题意易得，则点与点的纵坐标相等，然后根据两点距离公式可进行求解．
本题主要考查坐标与图形性质，熟练掌握求一个点的坐标是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得，∽，
，即，解得米．
由，可得，∽，进而利用对应边成比例求解线段的长度．
熟练掌握相似三角形的性质，能够求解一些简单的实际问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
图中阴影部分的面积为：，
故答案为：
由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和．
本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】解：原式，
当时，原式． 

【解析】按单项式乘以单项式法则和平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．
考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．
 

16.【答案】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，恰好选中、两款的有种情况，
恰好选中、两款的概率为：． 

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中、两款的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

18.【答案】如图，四边形即为所求；

如图，四边形即为所求． 

【解析】根据中心对称图形的性质即可在图中画格点四边形，使其为中心对称图形．
在图中画格点四边形，使得对角互补．
本题考查了作图旋转变换，多边形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

19.【答案】解：设种机器人每小时搬运原料，
则种机器人每小时搬运原料，
根据题意得：，
解得：，
经检验，为原方程的解，且符合题意，
则，
答：种机器人每小时搬运原料，种机器人每小时搬运原料． 

【解析】设种机器人每小时搬运原料，则种机器人每小时搬运原料，由题意：型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，解方程并检验即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：设与的函数表达式为，
将点代入，得，
与的函数表达式为．
当时，，
当平均耗油量为时，汽车行驶的总路程为． 

【解析】结合反比例函数的图象，利用待定系数法即可求解；
当代入求得的函数值即可．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式以及求函数值，正确地求得反比例函数解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：过点作于点，过点作于点，如图所示：
则四边形是矩形，
由题意得：米，米，，，
在中，，米，
米，
米，
四边形是矩形，
米，
在中，，
，
米，
米，
答：教学楼的高度为米． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．过点作于点，过点作于点，由题意得米，米，，，再由勾股定理求出的长，然后求出米，进而可得教学楼的高度．
 

22.【答案】       

【解析】解：本次抽测的男生人数为人，
，即，
故答案为：、；
平均数为次，
众数为次，
故答案为：；；
人，
答：估计该校名八年级男生中有人体能达标．
根据次的人数及其百分比可得总人数，用次的人数除以总人数求得即可；
根据平均数、众数的定义求解可得；
总人数乘以样本中、、次人数之和占被调查人数的比例可得．
本题考查了条形统计图，平均数和众数，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

23.【答案】；

斤． 

【解析】解：由表格中的数据可得，
每增加厘米，重物增加斤，
故当时，，
当时，，
故答案为：，；
设与的关系式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即与的关系式为；
当时，，
解得，
即当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是斤．
根据表格中的数据，可以发现每增加厘米，重物增加斤，从而可以计算出当对应的的值和当时对应的的值；
根据题意和表格中的数据，可以求出与的关系式；
将代入中的关系式，即可得到当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是多少斤．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．
 

24.【答案】 

【解析】解：．
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
理由如下：，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
则为直角三角形，
，
，
，
，
，
正方形中，为中点，
，
故答案为：．
由“”可证≌，由全等三角形的性质可得，可得出结论；
由“”可证≌，由全等三角形的性质可得，可得出结论；
由“”可证≌，由全等三角形的性质可得，，可证，由勾股定理和直角三角形的性质可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：如图，过点作，由题意可知，

，，，
，
，，
，，
点到的距离为，点到距离为；
故答案为：；；

如图，当点落在线段上时，

四边形是平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
解得：；
当时，▱与重叠面积为，如图，

，
由可知，，
，
当时，设交于点，如图，
则▱与重叠面积为，
，
，，，
，
综上所述，．
过点作，根据勾股定理求出，运用三角函数得出，，应用解直角三角形求出，即可；
当点落在线段上时，证明四边形是矩形，从而得到，求出即可；
分两种情况讨论：当时，▱与重叠面积为，根据已有数据计算即可；当时，设交于点，则▱与重叠面积为，根据已有数据计算即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，几何中的动点问题，是一道关于四边形的综合题，综合性强，难度较大；熟练掌握平行四边形的判定与性质等相关知识，灵活运用数形结合思想，分类讨论思想是解题关键．
 

26.【答案】解：点的横坐标为，点与点关于轴对称，
点的横坐标为．
．
点和点关于对称轴对称，
经过、且顶点在轴上的抛物线的对称轴为
，
抛物线的对称轴为．
经过、且顶点在轴上抛物线的顶点坐标为．
如图所示：当点在点的右侧时．

点的横坐标为，，，
．
点的横坐标为．
过点、、三点的抛物线的对称轴为．
设过点、、三点的抛物线的解析式为．
将代入得：．
抛物线的解析式为．
点为两抛物线的交点，
，整理得：．
，
，即．
如图所示：当点在点左侧时．

点的横坐标为，，，
．
的横坐标为．
过点、、三点的抛物线的对称轴为．
设过点、、三点的抛物线的解析式为．
将代入得：．
抛物线的解析式为．
点为两抛物线的交点，
，整理得．
．
综上所述，的值为或．
如图所示：当点在点的右侧时．过点作轴，交与点．

设点的横坐标为，由可知，过点、、三点的抛物线的解析式为．
．
又，
．
为等腰直角三角形，
，
．
又，．
，解得：．
如图所示：当点在点的左侧时，连结，交轴与点．

由可知，过点、、三点的抛物线的解析式为．
．
又，
．
为等腰直角三角形，
，即．
，，
，解得：．
综上所述：的值为或． 

【解析】依据抛物线的对称性可求得点的横坐标为，然后依据求解即可；
．
先求得经过、且顶点在轴上的抛物线的对称轴为，然后将代入可求得顶点的横坐标，然后依据轴上各点的纵坐标为求解即可；
当点在点的右侧时．先用含的式子表示点、的坐标，然后可得到抛物线的对称轴为，设过点、、三点的抛物线的解析式为将代入求得的值，得到抛物线的解析式，然后依据、两点的纵坐标相等可得到关于、的等式于是可求得的值；同理可求得当点在点左侧时的值；当点在点的右侧时．过点作轴，交与点先求得的长，然后依据列出关系式，然后将，代入可求得的值；当点在点的左侧时，连结，交轴与点先求得的长，然后依据列出关系式，然后将，代入可求得的值．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的对称性、函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，由点为两抛物线的交点即的纵坐标相等列出与的关系式是解答本题的关键．