2023年新课标I卷数学高考真题(文字版含答案)
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这是一份2023年新课标I卷数学高考真题(文字版含答案),共36页。试卷主要包含了考生必须保持答题爷的整洁, 设椭圆 C1等内容,欢迎下载使用。
2023 年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分。考试用时120 分钟注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答卡上用 2 笔试(A)在答卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。作答选择题时,选出每小题等案后,用 2B 笔把答卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,符案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准便用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题爷的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的
1. 已知集合 , 则
A.
B.
C.
D.
2. 已知 , 则
A.
B.
C. 0
D. 1
3. 已知向量 . 若 , 则
A.
B.
C.
D.
4. 设函数 在区间 单调递减, 则 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
5. 设椭圆 的离心率分别为 . 若 , 则
A.
B.
C.
D.
6. 过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 , 则
A. 1
B.
C.
D.
7. 记 为数列 的前 项和, 设甲: 为等差数列; 乙: 为等差数列, 则
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 已知 , 则
A.
B.
C.
D. 二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分
9. 有一组样本数据 , 其中 是最小值, 是最大值, 则
A. 的平均数等于 的平均数
B. 的中位数等于 的中位数
C. 的标准差不小于 的标准差
D. 的极差不大于 的极差
10. 噪声污染问题越来越受到重视, 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级 , 其中常数 是听觉下限阑值, 是实际声压. 下表为不同声源 的声压级:
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 , 则
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数 的定义域为 , 则
A.
B.
C. 是偶函数
D. 为 的极小值点
12. 下列物体中, 能够被整体放入核长为 1 (単位: ) 的正方体容器 (容器壁厚度忽略不 计)内的有
A. 直径为 的球体
B. 所有棱长均为 的四面体
C. 底面直径为 , 高为 的圆柱体
D. 底面直径为 , 高为 的圆柱体
三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.
13. 某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有 种 (用数字作答).14. 在正四棱台 中, , 则该棱台的体积为 15. 已知函数 在区间 有且仅有 3 个零点, 则 的取值范围是 16. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 点 在 上. 点 在 轴上, , 则 的离心率为 四、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知在 中, .
(1) 求 ;
(2)设 , 求 边上的高.
18. 如图, 在正四棱杜 中, . 点 分别在棱 上, , .
(1) 证明: ;
(2) 点 在棱 上, 当二面角 为 时, 求.
19. 已知函数 .
(1) 讨论 的単调性;
(2)证明: 当 时, .20. 设等差数列 的公差为 , 且 , 令 , 记 分别为数列 , 的前 项和.
(1) 若 , 求 的通项公式;
( 2 ) 若 为等差数列, 且 , 求 .
21. 甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若末命中则 换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6 , 乙每次投篮的 命中率均为 0.8 , 由抽签决定第一次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲, 乙的概率各为 0.5 .
( 1 ) 求第 2 次投篮的人是乙的概率;
( 2 ) 求第 次投篮的人是甲的概率;
( 3 ) 已知: 若随机变量 服从两点分布, 且 , 则 , 记前 次 (即从第 1 次到第 次投篮) 中甲 投篮的次数为 , 求 .
22. 在直角坐标系 中, 点 到 轴的距离等于点 到点 的距离, 记动点 的轨迹为 .
(1) 求 的方程;
( 2 ) 已知矩形 有三个顶点在 上, 证明: 矩形 的周长大于 . 单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。1题型: 单选题|分值: 5分已知集合,,则()ABCD正确答案C2题型: 单选题|分值: 5分已知,则( )A−iBiC0D1正确答案A3题型: 单选题|分值: 5分已知向量,,若,则()ABCD正确答案D4题型: 单选题|分值: 5分设函数在区间单调递减,则a的取值范围是()ABCD正确答案D5题型: 单选题|分值: 5分设椭圆,的离心率分别为若,则a=()ABCD正确答案A6题型: 单选题|分值: 5分过点与圆相切的两条直线的夹角为,则()A1BCD正确答案B7题型: 单选题|分值: 5分记为数列的前n项和,设甲:为等差数列;乙:为等差数列,则()A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件正确答案C8题型: 单选题|分值: 5分已知,,则()ABCD正确答案B多选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有多项符合题目要求,全对得5分,选对但不全得2.5分,有选错的得0分。9题型: 多选题|分值: 5分有一组样本数据,其中是最小值,是最大值,则()A的平均数等于的平均数B的中位数等于的中位数C的标准差不小于的标准差D的极差不大于的极差正确答案B,C,D10题型: 多选题|分值: 5分噪声污染问题越来越受到重视,用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,p是实际声压,下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为则()ABCD正确答案A,C,D11题型: 多选题|分值: 5分已知函数的定义域为,,则()ABC是偶函数D为的极小值点正确答案A,B,C12题型: 多选题|分值: 5分下列物体中,能够被整体放入核长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A直径为0.99m的球体B所有棱长均为1.4m的四面体C底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体正确答案A,B,D填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。13题型:填空题|分值: 5分某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有____种(用数字作答)正确答案6414题型:填空题|分值: 5分在正四棱台中,,,,则该棱台的体积为正确答案15题型:填空题|分值: 5分已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是正确答案16题型:填空题|分值: 5分已知双曲线的左、右焦点分别为,点A在C上,点B在y轴上,,则C的离心率为正确答案简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17题型:简答题|分值: 10分已知在中,,(1)求;(2)设,求边上的高正确答案(1),,,,,即,(2)由(1)知,,,,,,,18题型:简答题|分值: 12分如图,在正四棱柱中,,,点分别在棱上,,,(1)证明:;(2)点P在棱上,当二面角为时,求正确答案(1) 作于,,则,在中,,又,则,(2)如解析图建系,设设二面角为,,,,面的法向量,面的法向量,则从而,解得或3,故19题型:简答题|分值: 12分已知函数(1)讨论的单调性;(2)证明:当时,正确答案(1),,.,.,,,(2)令,求导得令导数为0解得,所以所以故20题型:简答题|分值: 12分设等差数列的公差为d,且,令,记分别为数列,的前n项和.(1)若,,求的通项公式;(2)若为等差数列,且,求d.正确答案解:( 1 )由题意得,解得∵为等差数列,∴ ∴∵ ∴∵( 2 )设,其中记,故也为等差数列∴∴∵,∵代入可得∴解得21题型:简答题|分值: 12分甲乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲,乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量服从两点分布,且,则,记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求.正确答案(1);(2)记为第次投篮的人是甲的概率,(3)22题型:简答题|分值: 12分在直角坐标系中,点P到x轴的距离等于点P到点的距离,记动点P的轨迹为W(1)求W的方程;(2)已知矩形有三个顶点在W上,证明:矩形的周长大于正确答案(1)由题意得W为抛物线,且准线为y=,焦点为这是由标准抛物线方程向上平移个单位得到的,故可设为因为焦点到准线的距离为p,所以,所以(2)不妨设A,B,C在抛物线上,且,所以令,由对称性,不妨设所以周长可以表示为∴∴周长
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