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2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题02反比例函数大题提升训练（试题+答案）
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2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题02反比例函数大题提升训练（八大类型）
类型一、反比例函数的性质
例1．（2023•黔江区一模）设函数y1=kx，y2=−kx（k＞0）．
（1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值；
（2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？
【答案】（1）a＝1，k＝1；
（2）芳芳的说法不正确．
【分析】（1）由反比例函数的性质可得k＝a①；﹣k＝a﹣2②；可求a的值和k的值；
（2）设m＝m0，且0＜m0＜1，则m0＞0，m0﹣1＜0，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解答】解：（1）∵k＞0，1≤x≤2，
∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y1最大值为k＝a①；y2最小值为﹣k＝a﹣2②；
由①，②得：a＝1，k＝1；
（2）芳芳的说法不正确，
理由如下：设m＝m0，且0＜m0＜1，
则m0＞0，m0﹣1＜0，
∴当x＝m0时，p＝y2=−km0＜0，
当x＝m0﹣1时，q＝y2=−km0−1＞0，
∴q＞0＞p．
∴芳芳的说法不正确．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是本题的关键．
类型二、反比例函数的图象问题
例2．（2023春•北湖区校级月考）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有经验，请画出函数y=6|x|−|x|的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ 1 ，b＝ ﹣2.5 ．
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
b
﹣3.8
……
②描点：请根据表中所给的数值在图中描点；
③连线：请结合反比例函数图象的特征，画出函数图象．
（2）探究函数性质
①当x＞0时，函数值y随着自变量x的增大而 减小 ；（填“减小”或“增大”）
②函数的图象关于 y轴 对称；
（3）运用函数图象及性质
①点A（﹣7，y1），B（−52，y2），C（72，y3）在函数图象上，请比较y1，y2，y3的大小（ B ）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y3＜y1
②点D（x1，52），E（x2，6）在函数图象上，请比较x1，x2的大小（ A ）
A．x1＞x2
B．x1＝x2
C．x1＜x2
D．不确定
③写出方程6|x|−|x|=5的解 x1＝﹣1，x2＝1 ；
④写出不等式6|x|−|x|≤1的解集 x≤﹣2或x≥2 ．
【答案】（1）1，﹣2.5；
（2）减小；y轴；
（3）①B：
②A；
③x1＝﹣1，x2＝1；
④x≤﹣2或x≥2．
【分析】（1）①把x＝2和x＝4分别代入解析式即可得a、b的值；
②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）观察函数图象即得答案．
【解答】解：（1）①列表：当x＝2时，a=6|2|−|2|＝1，
当x＝4时，b=6|4|−|4|＝﹣2.5，
故答案为：1，﹣2.5；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得：①当x＞0时，函数值y随着自变量x的增大而减小；（填“减小”或“增大”）
②函数的图象关于y轴对称；
故答案为：减小；y轴；
（3）①点A（﹣7，y1），B（−52，y2），C（72，y3）在函数图象上，则y1＜y3＜y2，
故答案为：B；
②点D（x1，52），E（x2，6）在函数图象上，则x1＞x2，
故答案为：A；
③写出方程6|x|−|x|=5的解为x1＝﹣1，x2＝1；
故答案为：x1＝﹣1，x2＝1；
④写出不等式6|x|−|x|≤1的解集为x≤﹣2或x≥2；
故答案为：x≤﹣2或x≥2．
【点评】本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是画出函数图象．
类型三、反比例函数与一次函数
例3．（2023•张店区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4）在反比例函数y=k1x第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数y=k1x第三象限的图象上，经过O，C两点的直线y＝k2x交反比例函数第一象限的图象于点B．
（1）求反比例函数y=k1x和直线y＝k2x的表达式；
（2）连接AC，AB，求△ABC的面积；
（3）请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x＞k2x的解集．
【答案】（1）反比例函数为y=4x，直线y＝k2x的表达式为y=14x；
（2）15；
（3）x＜﹣4或0＜x＜4．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数为y=4x，进而求得C的坐标，然后吧C的坐标代入y＝k2x即可求得直线的解析式；
（2）作AM⊥x轴，交BC于点D，则D（1，14），然后根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD求得即可；
（3）根据图象即可求得不等式的解集．
【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y=k1x第一象限的图象上，
∴k1＝1×4＝4，
∴反比例函数为y=4x，
将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C（﹣4，4﹣m），
∵点C恰好落在反比例函数y=k1x第三象限的图象上，
∴4﹣m=4−4，
∴m＝5，
∴C（﹣4，﹣1），
代入y＝k2x得﹣1＝﹣4k2，
∴k2=14，
∴直线y＝k2x的表达式为y=14x；
（2）作AM⊥x轴，交BC于点D，则D（1，14），
∴AD＝4−14=154，
∵点A、B关于原点对称，
∴B（4，1），
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD=12AD⋅(xB−xC)=12×154×(4+4)=15；
（3）关于x的不等式k1x＞k2x的解集为x＜﹣4或0＜x＜4．
【点评】本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，反比例函数的对称性，求得交点坐标是解题的关键．
类型四、反比例函数的面积问题
例4．（2023•立山区校级一模）如图，已知反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC
⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）当E的坐标为（﹣2，0）时，求点B的坐标；
（2）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．
【答案】（1）B点的坐标为（2，4）；
（2）6．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面积公式解决问题．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（4，2），
∴2=k4，
解得：k＝8，
∴反比例函数解析式为：y=8x，
由一可知点C（0，2），E（﹣2，0），
∴设直线EC的解析式为y＝kx+b．将C（0，2），E（﹣2，0）代入，
得：2k+b=0b=2，
解得：k=1b=2，
∴直线EC的解析式为y＝x+2．
∴x+2=8x，解得x1＝2，x2＝﹣4（舍去），
当x＝2时，y＝4，
∴B点的坐标为（2，4）；
（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），
∴OC＝2，
∵BD＝3OC，
∴BD＝3×2＝6，
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为6，代入y=8x中，得：6=8x，
解得：x=43，
∴B（43，6），
∵C（0，2），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有43k+b=6b=2，
解得：k=3b=2，
∴直线BC的解析式为：y＝3x+2，
令y＝0，得：3x+2＝0，
解得：x=−23，
∴E（−23，0），
∴DE=43−（−23）＝2，
∵AC∥DE，
∴S四边形ACED=12（AC+DE）•OC=12×（4+2）×2＝6．
【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，待定系数法、一次函数与坐标轴的交点特征，梯形面积等知识点，熟练掌握一次函数和反比例函数的相关知识是解题关键．
类型五、反比例函数的应用
例5．（2023•乳山市模拟）为预防流感，学校对教室采取药熏法消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例函数关系，药物燃烧完后，y与x成反比例函数关系（如图示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6毫克．
研究表明：
①当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时学生方可进教室；
②当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．
依据信息，解决下列问题：
（1）从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
（2）你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
【答案】（1）从消毒开始，至少需要经过 30 分钟后，学生才能回到教室；
（2）此次消毒有效，理由见解析．
【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；
（2）利用反比例函数解析式求法得出答案．
【解答】解：（1）设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y=kx，
把（8，6）代入得：k＝48，
故y关于x的函数关系式是y=48x；
当y＝1.6时，代入y=48x得x＝30，
答：从消毒开始，至少需要经过 30 分钟后，学生才能回到教室；
（2）此次消毒有效，
理由：药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，
所以设y关于x的函数关系式是y＝kx（k≠0），
将点（8，6）代入，得k=34，
即y=34x，自变量x的取值范围是0≤x≤8：
将y＝3分别代入y=34x，y=48x得，x＝4和x＝16，
那么持续时间是16﹣4＝12＞10分钟，所以有效杀灭空气中的病菌．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键．
类型六、反比例函数与几何问题
例6．（2023•平阴县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y=n−3x的图象相交于A、P两点．
（1）求m、n的值；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
【答案】（1）﹣2，1；
（2）证明见解答过程；
（3）255．
【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，
解得：m＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；
将点P（﹣1，2）代入y=n−3x，得：2＝﹣（n﹣3），
解得：n＝1，
∴反比例函数解析式为y=−2x．
故m、n的值为﹣2，1．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO；
（3）解：联立正、反比例函数解析式成方程组，得：
y=−2xy=−2x，
解得：x1=−1y1=2（舍去），x2=1y2=−2，
∴点A的坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，AO=AE2+OE2=5．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE=AEAO=25=255．
所以sin∠CDB的值为255．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，n的值；（2）利用菱形的性质，找出∠DCP＝∠OAE，∠AEO＝∠CPD＝90°；（3）利用相似三角形的性质，找出∠CDP＝∠AOE．
类型七、反比例函数与压轴问题
例7．（2023春•吴江区期中）如图，四边形AOBC是菱形，点B在x的正半轴上，直线AB交y轴于点D轴交y轴于点E，反比例函数y=−12x(x＜0)的图象经过点A（m，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P是直线AB上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当PO最小时，求点P的坐标；
（3）如图2，点N从A点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A﹣C﹣B运动，到达B点时停止，设点N的运动时间为t秒，△NDC的面积为S，求S与t的函数关系式．
【答案】（1）y=−12x+52；
（2）（1，2）；
（3）S=−34t+154(0≤t≤5)54t−254(5＜t≤10)．
【分析】（1）由平行四边形的性质，先求出点A、点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）当OP⊥AB时，PO最小，设P点坐标为（a，−12a+52），利用两点之间的距离公式解答即可求出点P的坐标；
（3）先求出CD和DE的长度，然后分两种情况进行分析：当点N在线段AC上运动时，即0≤t≤5时；当点N在线段CB上运动时，即5＜t≤10时；分别求出解析式即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=−12x(x＜0)的图象经过点A（m，4），
∴−12m=4，即m＝﹣3，
∴点A为（﹣3，4），
∴OA=(−3)2+42=5，
∵四边形AOBC是菱形，
∴OB＝OA＝5，
∴点B的坐标为：（5，0）；
设直线AB为y＝kx+b，
∴−3k+b=45k+b=0，
解得k=−12b=52，
∴直线AB的解析式y=−12x+52；
（2）当OP⊥AB时，PO最小，设P点坐标为（a，−12a+52），
∴OP=a2+(−12a+52)2=−54(a−1)2+304，
当a＝1时，OP有最小值，
∴−12a+52=−12×1+52=2，
∴点P的坐标为（1，2）；
（3）在函数y=−12x+52中，令x＝0，y=52，
∴点D为(0，52)，
∵OB＝CB，∠OBD＝∠CBD，BD＝BD，
∴△OBD≌△CBD（SAS），
∴CD=OD=52，∠BOD＝∠BCD＝90°，
∴DE=4−52=32；
当点N在线段AC上运动时，即0≤t≤5时，
S=12CN⋅DE=12×(5−t)×32=−34t+154；
当点N在线段CB上运动时，即5＜t≤10时，
S=12CN⋅CD=12×(t−5)×52=54t−254；
∴S与t的函数关系式为：S=−34t+154(0≤t≤5)54t−254(5＜t≤10)．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的图象和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析点的运动情况进行解题．
类型八、反比例函数与存在性问题
例8．（2023•香洲区校级一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴上，四边形OABC为菱形，反比例函数y=−12x（x＞0）经过点A（a，﹣3），反比例函数y=kx（k＞0，x＜0）经过点B，且交BC边于点D，连接AD．
（1）求直线BC的表达式；
（2）连接OD，求△AOD的面积；
（3）如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=−12x（x＞0）于点N．在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=−34x−154；
（2）1329；
（3）存在，当点N的坐标为（167，−214）或（16，−34）时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】（1）待定系数法即可求解；
（2）由△AOD的面积=12×OT×（xA﹣xD），即可求解；
（3）利用数形结合的方法分类求解即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=−12x（x＞0）经过点A（a，﹣3），
∴﹣3=−12a，
∴a＝4，
∴A（4，﹣3），
∴OA＝5，
∵四边形OABC为菱形，
∴OC＝AB＝OA＝5，
∴C（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），
由点B、C的坐标得，y=−34x−154；
（2）∵B（﹣1，﹣3），
∴k＝﹣1×（﹣3）＝3，
∴y=3x，
联立y=−34x−154y=3x，解得：x=−4y=−34（不合题意的值已舍去），
∴D（﹣4，−34），
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y=−932（x﹣4）+3，
设AD交y轴于点T，则T（0，339），
则△AOD的面积=12×OT×（xA﹣xD）=12×339×（4+4）=1329；
（3）存在，理由如下，
①当四边形BDEN是平行四边形时，如图，
∴yD﹣yB＝yE﹣yN，
∴−34−（﹣3）＝﹣3﹣yN，
∴yN=−214，
把yN=−214代入y=−12x得，xN=167，
∴N（167，−214）；
②当四边形BDNE是平行四边形时，如图，
∴yD﹣yB＝yN﹣yE，
∴−34−（﹣3）＝yN﹣（﹣3），
∴yN=−34，
把yN=−34代入y=−12x得，xN＝16，
∴N（16，−34），
综上所述，当点N的坐标为（167，−214）或（16，−34）时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定，正确的理解题意是解题的关键．
1．（2021•温州模拟）如图，在第一象限内，点A，B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，AM⊥x轴于点M（3，0），△AOM的面积为3，BC∥AM交OA于点C，连结OB．
（1）求出k的值和直线OA的函数解析式．
（2）当点B的横坐标为2时，求△OBC的面积．
【答案】（1）k＝6，直线OA的解析式为y=23x；
（2）53．
【分析】（1）由△AOM的面积为3，设A（x，y），则12xy=3，可得xy＝k＝6，设直线OA的解析式为y＝mx，代入点A（3，2），可得直线OA的解析式为y=23x；
（2）延长BC交x轴于点N，设B坐标为（2，m），则2m＝6，解得m＝3．把x＝2代入y=23x中，得y=43，所以BC＝3−43=53，根据S△OBC=12⋅ON⋅BC可得答案．
【详解】解：（1）∵△AOM的面积为3，设A（x，y），
∴12xy=3，
则xy＝6＝k，
故A坐标为（3，2），
设直线OA的解析式为y＝mx，代入点A（3，2），
得2＝3m，m=23，
故k＝6，直线OA的解析式为y=23x；
（2）延长BC交x轴于点N，
设B坐标为（2，m），
∴2m＝6，m＝3，
把x＝2代入y=23x中，得y=43，
即C点纵坐标为43，
∴BC＝3−43=53，
又ON＝2，
∴S△OBC=12⋅ON⋅BC=12×2×53=53．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，用待定系数法求一次函数表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．掌握以上知识点并学会综合运用是关键．
2．（2023•龙港市一模）如图，已知A的坐标是（4，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别交AO，AB于点C，D，连接OD，△OBD的面积为2．
（1）求k的值和点C的坐标．
（2）若点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），求b的取值范围．
【答案】（1）k＝4；（2，2）；
（2）1≤b≤2．
【分析】（1）根据反比例函数的k值意义，求出k的值即可；先求出正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出点C的坐标即可；
（2）先求出点D的坐标，然后根据点C和D的坐标，求出b的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵S△OBD＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数为y=4x①，
设直线OA解析式为y＝mx，
将A（4，4）代入得，4m＝4，
∴m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x②，
由①②得x2＝4，
∴x＝﹣2（不合题意，舍去），x＝2，
∴C为（2，2）．
（2）将x＝4代入y=4x，
得y＝1，
∴点D的坐标为（4，1），
∵点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包含边界），且C的坐标为（2，2），
∴由图象得1≤b≤2．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，求正比例函数解析式，反比例函数与正比例函数图象的交点坐标，解题的关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义．
3．（2023•瑞安市模拟）如图，直线y＝2x与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）若点P在反比例函数图象上，且在直线AB的下方（不与点A，B重合），求点P横坐标的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y=8x；
（2）P横坐标的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．
【分析】（1）先将x＝2代入正比例函数y＝2x，可得出y＝4，求得点A（2，4），代入y=kx(k≠0)即可得出k的值；
（2）根据点A与B关于原点对称，得出B点坐标，然后根据图象即可求解．
【详解】解：（1）∵点A在正比例函数y＝2x上，
∴把x＝2代入正比例函数y＝2x，
解得y＝4，
∴点A（2，4），
把点A（2，4）代入反比例函数y=kx(k≠0)，得k＝2×4＝8，
∴反比例函数的表达式为y=8x；
（2）∵点A与B关于原点对称，
∴B（﹣2，﹣4），
∵点P在反比例函数图象上，且在直线AB的下方（不与点A，B重合），
∴点P横坐标的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式．这里体现了数形结合的思想，数形结合是解题的关键．
4．（2023•南明区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝2x+b与反比例函数y2=mx（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（1，4），B（n，﹣2）．
（1）求该反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1≤y2的x的取值范围．
【答案】（1）y=4x；y＝2x+2；
（2）x≤﹣2或0＜x≤1．
【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）根据A点、B点的坐标结合图形写出y1≤y2的x的取值范围即可．
【详解】解：（1）把A（1，4）代入y=mx中，得m1=4，
解得m＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
将A（1，4）代入y＝2x+b中，
得：4＝2×1+b，
解得：b＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+2；
答：反比例函数的解析式为y=4x；一次函数解析式为y＝2x+2．
（2）由图象得满足y1≤y2的x的取值范围为：x≤﹣2或0＜x≤1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，正确运用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式是解题的关键．
5．（2023•花都区一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y=kx(x＞0)的图象相交于点A（a，4），与x轴、y轴分别交于点B、C．过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）求反比例函数y=kx的表达式；
（2）点P为反比例函数y=kx(x＞0)图象上的一点，且位于点A的右侧．从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求点P的坐标．
条件①：PA＝PD；
条件②：△ABD面积是△PBD面积的2倍．
注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．
【答案】（1）y=8x；
（2）①点P的坐标为（4，2）．
②点P的坐标为（4，2）．
【分析】（1）根据一次函数解析式确定a的值，代入反比例函数解析式确定k的值，求出反比例函数的解析式；
（2）①连接PA，PD，利用求两点间距离列等式，求出点P的坐标．
②连接PB，PD，根据点的坐标确定三角形的边长，求出△ABD面积和△PBD面积，再求出P点的坐标．
【详解】解：（1）把点A（a，4）代入一次函数解析式得，
4＝a+2，a＝2，
∴点A为（2，4），
把点A（2，4）代入反比例函数y=kx(x＞0) 得，k＝8，
∴反比例函数y=kx的表达式为：y=8x；
（2）①连接PA，PD，
设点P坐标为（x，y），由（1）知点A（2，4），点D（2，0），
∵PA＝PD；
∴(x−2)2+(y−4)2=(x−2)2+(y−0)2，
解得：y＝2，
∵P点再y=8x上，
∴x＝4，
∴点P的坐标为（4，2）．
②连接PB，PD，设点P坐标为（x，y），由（1）知点A（2，4），点D（2，0），
∵一次函数y＝x+2的图象与x轴交于点B，
∴点B坐标为（﹣2，0），
∴BD＝4，AD＝4，
∴S△ABD=12×BD×AD=12×4×4＝8，
∵△ABD面积是△PBD面积的2倍，
∴S△PBD＝4=12×BD×y，即4=12×4×y，
解得：y＝2，
∵P点再y=8x上，
∴x＝4，
∴点P的坐标为（4，2）．
【点睛】本题考察一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是借助几何中线段与三角形的面积列等式求出点的坐标．
6．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k2，n的值；
（2）请直接分别写出当﹣2＜x＜﹣1时，一次函数y＝k1x+b和反比例函数y=k2x的取值范围；
（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B，A′C，求△A'BC面积．
【答案】（1）k2＝﹣8，n＝4；
（2）当﹣2＜x＜﹣1时，一次函数 y＝k1x+b 的取值范围为3＜y＜4，反比例函数 y=k2x 的取值范围为4＜y＜8；
（3）8．
【分析】（1）将A点坐标代入y=k2x求得k2的值；然后将点B代入反比例函数解析式求得n的值即可；
（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
（3）求出对称点坐标，求面积．
【详解】解：（1）将A（4，﹣2）代入 y=k2x，得
k2＝﹣8，
∴该反比例函数解析式为：y=−8x．
将B（﹣2，n）代入 y=−8x，得n＝4．
综上所述：k2＝﹣8，n＝4．
（2）当﹣2＜x＜﹣1时，一次函数 y＝k1x+b 的取值范围为3＜y＜4，反比例函数 y=k2x 的取值范围为4＜y＜8．
（3）将A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入y＝k1x+b，得
4k1+b=−2−2k1+b=4．
解得k1=−1b=2．
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2，其图象与x轴交于点C（2，0）．
∴将图象沿x轴翻折后，得 S△ABC=12×(4+2)×(4+2)−12×4×4−12×2×2=8．
∴△A′BC的面积为8．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．
7．（2023•浚县三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），连接OA．
（1）尺规作图：在第一象限作点B，使得∠OAB＝90°，AB＝AO；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点B）
（2）求线段AB的解析式；
（3）若反比例函数的图象经过点A．点B是否在反比例函数y=kx(k＞0)的函数图象上？说明理由．
【答案】（1）见解答；
（2）y=−13x+103；
（3）点B不在反比例函数上，理由见解答．
【分析】（1）过点A作圆弧交OA和OA的延长线于点G、H，分别以点G、H为圆心大于AG的长度为半径作画弧交于点R，连接AR，以点A为圆心AO长度为半径作弧交AR于点B，即可求解；
（2）证明△ONA≌△AMB（AAS），得到点B（4，2），进而求解；
（3）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×3＝3，即反比例函数表达式为：y=3x，进而求解．
【详解】解：（1）过点A作圆弧交OA和OA的延长线于点G、H，分别以点G、H为圆心大于AG的长度为半径作画弧交于点R，
连接AR，以点A为圆心AO长度为半径作弧交AR于点B，则∠OAB＝90°，AB＝AO；
（2）如图，过点A作直线MN交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M，
∵∠OAB＝90°，则∠BAM+∠NAO＝90°，
∵∠NAO+∠NOA＝90°，
∴∠NOA＝∠BAM，
∵AB＝OA，∠ONA＝∠AMB＝90°，
∴△ONA≌△AMB（AAS），
∴AM＝ON＝3，BM＝AN＝1，
∴点B（4，2），
设直线AB的表达式为：y＝k（x﹣1）+3，
将点B的坐标代入上式得：2＝k（4﹣1）+3，
解得：k=−13，
则直线AB的表达式为：y=−13（x﹣1）+3=−13x+103；
（3）即点B不在反比例函数上，理由：
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×3＝3，
即反比例函数表达式为：y=3x，
当x＝4时，y=34≠3，即点B不在反比例函数上．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合应用，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数基本知识等，有一定的综合性，难度适中．
8．（2023•武侯区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+12与反比例函数y=kx的图象交于A（m，8），B两点，C为反比例函数图象第四象限上的一动点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当四边形ABOC的面积为1003时，求此时点C的坐标；
（3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形ABCD是“垂等四边形”，且∠ABD＝∠ACB？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=−16x，B（﹣4，4）；
（2）C（11+55，44﹣205）；
（3）存在，C（8，﹣2），D（6，14）．
【分析】（1）根据直线y＝2x+12与反比例函数y=kx的图象交于A（m，8），B两点，可计算m的值，并确定k的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点B的坐标；
（2）根据四边形ABOC的面积为1003列方程可解答；
（3）如图2，过点B作BG⊥y轴于G，过点A作AM∥y轴，过点C作CM⊥AM于M，证明∠ABG＝∠GHB，根据正切的定义可得GH＝2，可得BC的解析式为：y=−12x+2，列方程可得点C的坐标，证明△AMC是等腰直角三角形，可得△FBG也是等腰直角三角形，则F（0，8），根据AC＝BD列方程可得结论．
【详解】解：（1）∵点A（m，8）在直线y＝2x+12上，
∴2m+12＝8，
∴m＝﹣2，
∴A（﹣2，8），
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
∴反比例函数的表达式为：y=−16x，
则−16x=2x+12，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣4，
∴B（﹣4，4）；
（2）如图1，过点A作AP∥y轴，交OB于P，
设点C的坐标为（a，−16a），
∵B（﹣4，4），
∴OB的解析式为：y＝﹣x，
当x＝﹣2时，y＝2，
∴P（﹣2，2），
设AC的解析式为：y＝kx+b，
则−2k+b=8ak+b=−16a，解得：k=−8ab=8−16a，
∴AC的解析式为：y=−8xa+8−16a，
∴OF＝8−16a，
∵四边形ABOC的面积为1003，
∴S△ABP+S梯形APOF+S△COF＝100，
即12×2×（8﹣2）+12×2（6+8−16a）+12×（8−16a）×a＝100，
解得：a1＝11+55，a2＝11﹣55（舍）；
∴C（11+55，44﹣205）；
（3）存在，
如图2，过点B作BG⊥y轴于G，过点A作AM∥y轴，过点C作CM⊥AM于M，
在y＝2x+12中，当x＝0时，y＝12，
∴OE＝12，
∵B（﹣4，4），
∴BG＝4，EG＝12﹣4＝8，
∵四边形ABCD是“垂等四边形”，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
∴∠BFC＝90°，
∴∠ACB+∠CBF＝90°，
∵∠ABD＝∠ACB，
∴∠ABD+∠CBF＝90°，即∠ABC＝90°，
∴∠ABG+∠HBG＝90°，
∵∠HBG+∠GHB＝90°，
∴∠ABG＝∠GHB，
∴tan∠ABG＝tan∠GHB，即EGBG=BGGH，
∴84=4GH，
∴GH＝2，
设直线BC的解析式为：y＝nx+2，
将点B的坐标（﹣4，4）代入得：﹣4n+2＝4，
∴n=−12，
∴BC的解析式为：y=−12x+2，
∴−12x+2=−16x，
解得：x＝8或﹣4（舍），
∴C（8，﹣2）；
∵A（﹣2，8），
∴AM＝CM＝10，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴∠CAM＝45°，
∴∠FBG＝∠CAM＝45°，
∴△FBG也是等腰直角三角形，
∴BG＝FG＝4，
∴F（0，8），
同理得：BF的解析式为：y＝x+8，
设D（x，x+8），
∵AC＝BD，
∴（8+2）2+（8+2）2＝（x+4）2+（x+8﹣4）2，
解得：x1＝6，x2＝﹣14（舍），
∴D（6，14）．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键．
9．（2023•张家口二模）如图，在一段长为660km的高速公路上，规定汽车行驶速度最低为60km/h，最高为110km/h．
（1）直接填空：
①当行驶速度为100km/h，需要 6.6 h走完这段路；
②行驶完这段路恰好用了8.8h，行驶速度是 75 km/h．
（2）请根据以上背景，自己设定变量建立一个合理的函数关系，这个函数关系式中要把“660km”这个数据用上，并写出自变量取值范围．
（3）自己先提出一个问题，然后自己再回答它．要求：这个问题的解决要把“（2）中的函数关系式”、“60km/h”和“110km/h”都用上．
【答案】（1）6.6；
（2）75；
（3）见解析；
（4）见解析；
【分析】（1）根据时间＝路程÷速度即可求解；
（2）根据速度＝路程÷时间即可求解；
（3）设汽车行驶所需时间为yh，汽车行驶速度为xkm/h，根据速度、时间路程之间的关系可得函数关系式y=660x，根据汽车行驶速度最低为60km/h，最高为110km/h可得自变量的取值范围；
（4）问题：若汽车行驶完这段路程用了7.5h，判断汽车速度是否符合要求．令y=660x=7.5，解得x＝88，根据x的取值范围即可判断．
【详解】解：（1）660÷100＝6.6（h），
∴当行驶速度为100km/h，需要6.6h走完这段路；
故答案为：6.6；
（2）660÷8.8＝75（km/h），
∴行驶完这段路恰好用了8.8h，行驶速度是75km/h；
故答案为：75；
（3）设汽车行驶所需时间为yh，汽车行驶速度为xkm/h，
y关于x的函数关系式为y=660x（60≤x≤110）；
（4）问题：若汽车行驶完这段路程用了7.5h，判断汽车的行驶速度是否符合要求．
令y=660x=7.5，
解得：x＝88，
∵60＜88＜110，
∴汽车的行驶速度符合要求．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，正确理解题意，熟知速度、时间路程之间的关系，以此得出函数关系式是解题关键．
10．（2023•金牛区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，求点C的横坐标；
（3）将△AOB在平面内沿某个方向平移得到△DEF（其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F），若D、F同时在反比例函数y=kx的图象上，求点E的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式y=6x；
（2）C点的横坐标为−1+132或−3+212；
（3）点E的坐标为（2，﹣4）．
【分析】（1）将点A（a，﹣2）代入y＝2x+4，可得点A的坐标，从而得出答案；
（2）首先求出点B的坐标，在点B下方的y轴上取点C，使BC＝8，则S△ABC＝4，过点C作CP∥AB，交双曲线于P，得出直线CP的解析式为y＝﹣2x﹣4，与双曲线求交点即可得出点P的坐标，当点P在点A上方时，同理可求；
（3）由平行四边形和反比例函数的对称性可知B与D，A与F关于原点对称，即可求得F（3，2），根据B、F的坐标得到平移的距离，从而求得点E的坐标．
【详解】解：（1）将点A（a，﹣2）代入y＝2x+4得，﹣2＝2a+4，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，﹣2），
∵反比例函数y=kx的图象经过点A，
∴k＝﹣3×（﹣2）＝6，
∴反比例函数解析式y=6x；
（2）解y=2x+4y=6x，得x=−2y=−3或x=1y=6，
∴B（1，6），
设直线y＝2x+4与y轴交于M，
∴M（0，4），
∴点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，
在点M下方的y轴上取OM的中点D，过点D作CD∥AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，
∴直线CD的解析式为y＝2x+2，
∴2x+2=6x，
解得x1=−1+132，x2=−1−132（舍），
∴C点的横坐标为−1+132，
在点M上方的y轴上取ME＝2，过点E作CE∥AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，
同理可得C点的横坐标为−3+212，
综上：C点的横坐标为−1+132或−3+212；
（3）由题意可知AB＝DF，AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，B与D，A与F关于原点对称，
∴F（3，2），
∵B（1，6），
∴点B向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点F，
∴点E的坐标为（2，﹣4）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，平移的性质，数形结合是解题的关键．
11．（2023•崂山区一模）如图，一次函数y＝﹣x+5与反比例函数y=kx(k≠0) 的图象在第一象限相交于A，B两点，点B坐标是（n，1），AC垂直x轴交x轴于点C，O为坐标原点，AC＝4OC，连接BC．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若点D在x轴上，△BCD的面积和△ABC的面积相等，求点D的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=4x；
（2）D（13，0）或（﹣11，0）．
【分析】（1）设OC＝a，则AC＝4OC＝4a，可得A（a，4a），把点A代入一次函数解析式即可求出a的值，进而表示出点A的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）将一次函数和反比例函数联立求出点B的坐标，利用面积公式求得△ABC的面积，根据题意点D在x轴上，△ABD的面积和△ABC的面积相等，可得到12CD•yB＝6，求得CD的长，进而求得点D的坐标．
【详解】解：（1）设OC＝a，则AC＝4OC＝4a，
∴C（a，0），A（a，4a），
∵一次函数y＝﹣x+5 的图象经过点A，
∴4a＝﹣a+5，解得a＝1，
∴A（1，4），
把A（1，4）代入反比例函数y=kx(k≠0) 得：k＝1×4＝4，
∴反比例函数解析式为y=4x；
（2）由y=−x+5y=4x，解得x=1y=4或x=4y=1，
∴B（4，1），
∵A（1，4），
∴S△ABC=12×4×(4−1)=6，
∵△ABD的面积和△ABC的面积相等，
∴12CD•yB＝6，即12CD×1=6，
∴CD＝12，
∴D（13，0）或（﹣11，0）．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到待定系数法求解析式、三角形面积以及求函数交点坐标，能够数形结合是解题的关键．
12．（2023•城关区一模）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A（1，3），B两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数y=kx与一次函数y＝x+b的表达式；
（2）若点P（t，0）是x轴负半轴上一点，过点P作PQ⊥x轴交反比例函数y=kx的图象于点Q，连接CP，OQ．当S四边形COQP=52时，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y=3x，一次函数的表达式为y＝x+2；
（2）P点的坐标（﹣1，0）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用点P坐标和三角形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：（1）将A（1，3）在反比例函数y=kx图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y=3x，
将A（1，3）代入y＝x+b得3＝1+b，
解得b＝2，
∴一次函数的表达式为y＝x+2；
（2）∵y＝x+2中，当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∵S四边形COQP＝S△OPQ+S△OPC，且S四边形COQP=52，
∴52=32+12×2×|t|，
∴|t|＝1，
∵t＜0，
∴P点的坐标（﹣1，0）．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了利用待定系数法求函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得函数的解析式是解决问题的关键．
13．（2023•拱墅区模拟）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2=kx(a，b，k是常数，a≠0，k≠0）的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD．（O是坐标原点）
（1）求一次函数y1与反比例函数y2的表达式；
（2）直接写出当y2＞y1时x的取值范围；
（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
【答案】（1）y＝﹣x+5，y=4x；
（2）0＜x＜1或x＞4；
（3）将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例图象只有一个交点．
【分析】（1）根据题意，由待定系数法确定函数关系式直接代入点列方程及方程组求解即可得到答案；
（2）根据图象即可求解；
（3）根据函数图象平移，设直线AB向下平移n个单位长度，此时直线AB对应的表达式为y＝﹣x+5﹣n，联立方程组，消去y整理得x2﹣（5﹣n）x+4＝0，结合图象只有一个交点，确定x2﹣（5﹣n）x+4＝0只有一个解，即Δ＝[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0，解一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：（1）把C（1，4）代入y2=kx(a，b，k是常数，a≠0，k≠0），得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
把（4，m）代入y=4x，得m＝1，
∴D（4，1），
把C（1，4），D（4，1）坐标分别代入y＝ax+b得k+b=44k+b=1，
解得k=−1b=5，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）由图可知，当y2＞y1时x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4；
（3）设直线AB向下平移n个单位长度，此时直线AB对应的表达式为y＝﹣x+5﹣n，
联立方程组得y=−x+5−ny=4x，
消去y得﹣x+5=4x，
整理得x2﹣（5﹣n）x+4＝0，
∵由于直线与反比例函数图象只有一个交点，
∴Δ＝0，即[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0，整理得n2﹣10n+9＝0，解得n1＝1，n2＝9，
∴将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例图象只有一个交点．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图象解不等式、函数图象平移及图象交点与一元二次方程解得情况等知识点是解决问题的关键．
14．（2023•寻乌县一模）如图，直线y＝ax+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=kx(x＞0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝4，点A的坐标为（﹣4，0）．
（1）求一次函数和双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当△ABO∽△CQH时，求点Q的坐标．
【答案】（1）一次函数表达式为：y=12x+2，反比例函数表达式为：y=16x；
（2）Q（8，2）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当△ABO∽△CQH时，则AOBO=CHHQ=2，设HQ为x，则CH＝2x，则Q（4+2x，x）代入反比例解析式得：x=164+2x，进而求解．
【详解】解：（1）∵A的坐标为（﹣4，0），代入直线y＝ax+2，
∴0＝﹣4a+2，
解得：a=12，
∴y=12x+2，
∵PC＝4，即点P的纵坐标为4，
则4=12x+2，
解得：x＝4，
即P（4，4），
将P（4，4）代入y=kx(x＞0)，
∴4=k4，
解得：k＝16，
∴y=16x；
（2）当△ABO∽△CQH时，
∴AOBO=CHHQ=2，
设HQ为x，则CH＝2x，
∴Q（4+2x，x）代入反比例解析式得：x=164+2x，
解得：x＝﹣4或2，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴Q（8，2）．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数和反比例函数的基本性质、三角形相似的性质等，有一定的综合性，难度适中．
15．（2023•京口区模拟）平面直角坐标系中，反比例函数y=3kx（k≠0）的图象与一次函数y＝kx﹣2k图象交于A、B两点（点A在点B左侧）
（1）求A、B两点的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）当k＝2时，过y轴正半轴上一动点C（0，n）作平行于x轴的直线，分别与一次函数y＝kx﹣2k、反比例函数y=3kx的图象相交于D、E两点，若CD＝3DE，求n的值；
（3）若一次函数y＝kx﹣2k图象与x轴交于点F，AF+BF≤5，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）A（﹣1，﹣3k），B（3，k）；
（2）−2+13或−2+22；
（3）−34≤k≤34，且k≠0．
【分析】（1）将两个解析式联立求解，即可得到A、B的坐标；
（2）因为过C（0，n）的直线平行于x轴，可得点D、E的纵坐标都为n．将y＝n代入y＝2x﹣4和y=6x，得xD=n2+2和xE=6n，分当0＜n＜2时和当n＞2时两种情况，分别表示出CD与DE，根据CD＝3DE列方程即可求解；
（3）结合（1），根据AF+BF≤5，即AB≤5，得到关于k的不等式，即可求解．
【详解】解：（1）联立解析式得：
y=3kxy=kx−2k，
解得x=3y=k或x=−1y=−3k，
∵点A在点B左侧，
∴A（﹣1，﹣3k），B（3，k）；
（2）∵k＝2，
∴反比例函数与一次函数的解析式为y=6x和y＝2x﹣4，点B（3，2），
∵过C（0，n）的直线平行于x轴，
∴点D、E的纵坐标都为n．
将y＝n代入y＝2x﹣4和y=6x，
得：xD=n2+2，xE=6n，
当0＜n＜2时，如图：
∴CD=n2+2，DE=6n−n2−2，
∵CD＝3DE，
∴n2+2＝3（6n−n2−2），
整理，得n2+4n﹣9＝0，
解得n＝﹣2+13或n＝﹣2−13（舍去）；
∴n＝﹣2+13；
当n＞2时，如图：
CD=n2+2，DE=n2+2−6n，
∴CD=n2+2，DE＝2+n2−6n，
∵CD＝3DE，
∴n2+2＝3（2+n2−6n），
整理，得n2+4n﹣18＝0，
解得n＝﹣2+22或n＝﹣2−22（舍去），
∴n＝﹣2+22，
综上所述：n的值为−2+13或−2+22；
（3）由（1）知A（﹣1，﹣3k），B（3，k），
∵AF+BF≤5，AF+BF＝AB，
∴AB≤5，
∴(−1−3)2+(−3k−k)2≤5，
整理，得k2≤916，
∴−34≤k≤34，
∴k的取值是−34≤k≤34，且k≠0．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了双曲线与直线的交点，两点间距离公式，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，掌握两个函数图象交点与方程组的关系是解题的关键．
16．（2023•镇平县模拟）如图，点A在反比例函数y=kx(x＜0) 的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3．
（1）求k的值；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出∠OAB的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（3）设（2）中的角平分线与x轴相交于点C，延长AB到D，使AD＝AO，连接DC并延长交y轴于点E．求证：DE⊥OA．
【答案】（1）k＝﹣6；
（2）见解答；
（3）见解答．
【分析】（1）由反比函数k值的意义即可求解；
（2）如图，以点A为圆心，作弧交AB、AO于点M、N，分别以点M、N为圆心大于12MN为半径作弧，交于点F，则AF为∠OAB的平分线；
（3）证明AC、OB是△ADO的高，点C是两个高的交点，即可求解．
【详解】（1）解：由反比函数k值的意义知，|k|＝2S△AOB＝6，
则k＝﹣6；
（2）解：如图，以点A为圆心，作弧交AB、AO于点M、N，
分别以点M、N为圆心大于12MN为半径作弧，交于点F，则AF为∠OAB的平分线；
（3）证明：∵AF为∠OAB的平分线，AD＝AO，
∴AC⊥OD，
∵OB⊥AD，
即AC、OB是△ADO的高，点C是两个高的交点，
故DE也是△ADO的高，
即DE⊥OA．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形高问题、反比例函数k值的意义、几何作图等，有一定的综合性，难度不大．
17．（2023•香洲区校级一模）如图，点A（m，3）为函数y=9x(x＞0)图象上一点，连接OA，点B在线段OA上，且OA：OB＝3，C是x轴的正半轴上一点，连接AC，S△ABC＝6．
（1）求点B的坐标；
（2）若M是线段AC上一点，且∠AOM＝15°，求△OCM的面积．
【答案】（1）点M（9﹣33，33−3）；（2）93−9．
【分析】（1）由OB：OA＝OH：ON，得到OH＝1，进而求解；
（2）由S△ABC＝6＝S△ACO﹣S△AOB，得到CO＝6，设点M（m，﹣m+6），由tan∠MON=33=yMxM=6−mm，进而求解．
【详解】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3m＝9，
解得：m＝3，即点A（3，3）；
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为N、H，
∴OB：OA＝OH：ON，
即OB：OA＝3：1＝OH：ON＝OH：3，
即OH＝1，同理可得，BH＝1，
即点B（1，1）；
（2）∵S△ABC＝6＝S△ACO﹣S△AOB=12×CO×（yA﹣yB）=12×CO×（3﹣1），
解得：CO＝6，
由A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+6，
设点M（m，﹣m+6），
∵OH＝HB＝1，则∠AOH＝45°，
∵∠AOM＝15°，则∠MON＝30°，
则tan∠MON=33=yMxM=6−mm，
解得：m＝9﹣33，
则点M（9﹣33，33−3），
则△OCM的面积=12×CO×yM=12×6×（33−3）＝93−9．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形的面积计算、一次函数的基本性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
18．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y=2x，x≥12|x|，x＜1的图象与性质．
列表：
x
…
﹣1
−12
0
12
1
32
2
…
y
…
2
1
0
1
2
43
1
…
描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：
（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，52），D（x2，6）在函数图象上，则y1 ＞ y2，x1 ＞
x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为 ﹣1或1 ；
（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；
（4）当方程x+b=2x，x≥12|x|，x＜1有三个不同的解时，则b的取值范围为 0＜b＜1 ．
【答案】（1）＞，＞；
（2）﹣1或1；
（3）函数图象见解析；
（4）0＜b＜1．
【分析】（1）根据函数的增减性即可比较；
（2）根据图象求解即可；
（3）根据函数解析式画出函数图象即可；
（4）根据图象即可求出b的取值范围．
【详解】解：（1）∵点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，52），D（x2，6）在函数图象上，
根据图象可知，当x＞1时，y随着x增大而减小，当y＞2时，y随着x增大而减小，
∵3＜5，52＜6，
∴y1＞y2，x1＞x2，
故答案为：＞，＞；
（2）当函数值y＝2时，x的值为﹣1或1，
故答案为：﹣1或1；
（3）函数图象如图所示：
（4）当y＝x+b过点（1，2）时，
可得1+b＝2，
解得b＝1，
∴当方程x+b=2x，x≥12|x|，x＜1有三个不同的解时，则b的取值范围为0＜b＜1，
故答案为：0＜b＜1．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键．
19．（2021•樊城区一模）小云同学根据函数的学习经验，对函数y=ax(x≤−1)−13x+b(x＞−1)进行探究，已知函数的图象经过点（﹣1，3），（5，1）．
（1）填空：a＝ ﹣3 ，b＝ 83 ；
（2）补充表格，在平面直角坐标系中，描出表中各组值对应坐标的点，画出该函数的图象；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
5
…
y
…
1
32
3
1
…
（3）观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有： ①②④ ；
①当x≤﹣1时，y随x的增大而增大；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③函数y的图象关于直线x＝﹣1轴对称；
④当x＝﹣1时，函数值y取得最大值．
（4）过点（0，m）作直线l平行于x轴，若直线l与函数y有两个交点，则m的取值范围是 0＜m＜3 ．
【答案】（1）﹣3；83；（2）1；32；（3）①②④；（4）0＜m＜3
【分析】本题考察的是分段函数图象的理解．
【详解】由题意可得（﹣1，3）在反比例函数y=ax图象上，（5，1）在一次函数y=−13x+b的图象上，（1）故可以得出a＝﹣3，b=83，同理（1）可得（2）中的两空为1和32；
（3）①在x≤﹣1时，为反比例函数在第二象限内的图象，此时y随x的增大而增大，故①正确；
②在x＞﹣1时，为一次函数的图象，∵−13＜0，∴此时y随x的增大而减小，故②正确；
③结合图象可以得出该分段函数的图象没有对称轴（∵x≤﹣1时为曲线，x＞﹣1时为直线），故③错误
④结合图象可以得出x＝﹣1时，有最大值为3
（4）结合图象可以看出，当0＜m＜3时，直线l与该分段函数的图象有两个交点
【点睛】数形结合
20．（2023•越秀区一模）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求k的值．
条件①四边形OCED的面积为2；
条件②BE＝2AE．
【答案】（1）y1＞y2；见解析；
（2）选择条件①，k＝﹣6；选择条件②k＝﹣6．
【分析】（1）根据反比例函数的性质即可得y1＞y2，再将点A（﹣2，y1），（B（﹣6，y2）代入反比例函数的解析式分别求出y1、y2的值，由此即可加以验证；
（2）选择条件①：先根据矩形的判定与性质可得OD⋅OC＝2，再根据点A，B的坐标可得OC＝2，OD＝y2，从而可得y2＝1，B（﹣6，1），利用待定系数法求解即可得；选择条件②：先求出OC＝2，AC＝y1，DB＝6，OD＝y2，再根据矩形的判定与性质可得DE＝OC＝2，CE＝OD＝y2，从而可得BE＝4，AE＝2，代入可得y1﹣y2＝2，然后根据y1−y2=−k3即可得．
【详解】解：（1）因为函数图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，
所以y1＞y2；
验证如下：
当x＝﹣6时，y2=−k6；
当x＝﹣2时，y1=−k2，
∵y1−y2=−k2+k6=−k3，k＜0，
∴y1﹣y2＞0即y1＞y2．
（2）选择条件①四边形OCED的面积为2，求解如下：
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD，
∴四边形OCED是矩形，
∴OD⋅OC＝2，
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2），
∴OC＝2，OD＝y2，
解得y2＝1，
∴B（﹣6，1），
将点B（﹣6，1）代入y=kx得：
k＝﹣6×1＝﹣6．
选择条件②BE＝2AE，求解如下：
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2），
∴OC＝2，AC＝y1，DB＝6，OD＝y2，
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD，
∴四边形OCED是矩形，
∴DE＝OC＝2，CE＝OD＝y2，
∴BE＝DB﹣DE＝4，
∴AE=12BE=2，
又∵AE＝AC﹣CE＝y1﹣y2，
∴y1﹣y2＝2，
由（1）可知，y1−y2=−k3，
∴−k3=2，
解得k＝﹣6．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
21．（2023•莱芜区一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=kx(x＞0)经过B、C两点，△ABC为直角三角形，AC∥x轴，AB∥y轴，A（8，4），AC＝3．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点M是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC；
①求MB+MC的最小值；
②点N是反比例函数y=kx(x＞0)的图象上的一个点，若△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点N的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y=20x，B的坐标为（8，52）；
（2）①MB+MC的最小值是6852；
②N的坐标为（209，9）或（26−2，26+2）．
【分析】（1）求出C（5，4），用待定系数法可得反比例函数的表达式为y=20x，令x＝8得B的坐标为（8，52）；
（2）①作C关于y轴的对称点C'，连接BC'交y轴于M，此时MB+MC最小，由C（5，4），B（8，52），可得C'（﹣5，4），BC'=(8+5)2+(52−4)2=6852，即可得到答案；
②设M（0，m），N（n，20n），分两种情况：当C为直角顶点时，过C作TK∥y轴，过N作NT⊥TK于T，过M作MK⊥TK于K，由△CMN的等腰直角三角形，证明△CMK≌△NCT（AAS），可得4−m=5−n5=20n−4，即可解得N（209，9）；当N为直角顶点时，过N作RS⊥y轴于S，过C作CR⊥RS于R，同理可得n=20n−420n−m=5−n，解得N（26−2，26+2）．
【详解】解：（1）∵A（8，4），AC＝3，
∴C（5，4），
将C（5，4）代入y=kx得：
4=k5，
解得k＝20，
∴反比例函数的表达式为y=20x，
在y=20x中，令x＝8得y=52，
∴B的坐标为（8，52）；
（2）①作C关于y轴的对称点C'，连接BC'交y轴于M，此时MB+MC最小，如图：
∵C，C'关于y轴对称，
∴MB+MC＝MB+MC'，
当B，M，C'共线时，MB+MC'最小，即MB+MC最小，最小值为BC'的长度，
由（1）知C（5，4），B（8，52），
∴C'（﹣5，4），
∴BC'=(8+5)2+(52−4)2=6852，
∴MB+MC的最小值是6852；
②设M（0，m），N（n，20n），
当C为直角顶点时，过C作TK∥y轴，过N作NT⊥TK于T，过M作MK⊥TK于K，如图：
∵△CMN的等腰直角三角形，
∴CM＝CN，∠MCK＝90°﹣∠NCT＝∠CNT，
∵∠K＝90°＝∠T，
∴△CMK≌△NCT（AAS），
∴CK＝NT，MK＝CT，
∴4−m=5−n5=20n−4，
解得n=209，
∴N（209，9）；
当N为直角顶点时，过N作RS⊥y轴于S，过C作CR⊥RS于R，如图：
同理可得SN＝RC，SM＝NR，
∴n=20n−420n−m=5−n，
解得n＝26−2或n＝﹣26−2（舍去），
∴N（26−2，26+2）；
综上所述，N的坐标为（209，9）或（26−2，26+2）．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
22．（2023•信阳模拟）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数y2=mx（x＞0）的图象交于A（6，−12），B（12，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
（1）求y1与y2的解析式；
（2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为4，则t的值为 43 ．
【答案】（1）y2=−3x，y1＝x−132；
（2）12＜x＜6；
（3）43．
【分析】（1）将点A（6，−12）代入y2=mx（x＞0）中，求反比例函数的解析式；通过解析式求出B点坐标，然后将点A、B代入y1＝kx+b，即可求出一次函数的解析式；
（2）通过观察图象即可求解；
（3）由题意先求出直线DE的解析式为y＝x−132+t，过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，由∠OCA＝45°，求出FG=22t，再求出AC＝62，由平行线的性质可知S△ACD＝S△ACF，则12×62×22t=4，即可求t．
【详解】解：（1）将点A（6，−12）代入y2=mx（x＞0）中，
∴m＝﹣3，
∴y2=−3x，
∵B（12，n）在y2=−3x中，可得n＝﹣6，
∴B（12，﹣6），
将点A、B代入y1＝kx+b，
∴12k+b=−66k+b=−12，
解得k=1b=−132，
∴y1＝x−132；
（2）∵一次函数与反比例函数交点为A（6，−12），B（12，﹣6），
∴12＜x＜6时，y1＜y2；
（3）在y1＝x−132中，令x＝0，则y=−132，
∴C（0，−132），
∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度，
∴直线DE的解析式为y＝x−132+t，
∴F点坐标为（0，−132+t），
过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，
直线AB与x轴交点为（132，0），与y轴交点C（0，−132），
∴∠OCA＝45°，
∴FG＝CG，
∵FC＝t，
∴FG=22t，
∵A（6，−12），C（0，−132），
∴AC＝62，
∵AB∥DF，
∴S△ACD＝S△ACF，
∴12×62×22t=4，
∴t=43，
故答案为：43．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．
23．（2023•大庆一模）设函数y1=k1x，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）如图①，若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），B（3，1），
①求 y1，y2 的函数表达式；
②直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（2）如图②，若点C（1，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，点P在y轴上，求△PCD周长的最小值．
【答案】（1）①y1=3x，y2＝﹣x+4；
②0＜x＜1或x＞3；
（2）△PCD周长的最小值为 13+5．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②利用函数图象分析比较；
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求得n＝4，即可求得C（1，4），D（2，2），作C点关于y轴的对称点C′，连接C′D，交y轴于点P，此时△PCD周长的最小，最小值为C′D+CD．
【详解】解：（1）①把点B（3，1）代入 y1=k1x，得 k1＝3，
∴y1 的函数表达式为 y1=3x，
把点A（1，m）代入 y1=3x，得m＝3，
把点A（1，3），B（3，1）代入 y2＝k2x+b，得 k2+b=33k2+b=1，
解得k2=−1b=4，
∴y2 的函数表达式为 y2＝﹣x+4；
②观察图象，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；
（2）点C（1，n）向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，可得点D的坐标为（2，n﹣2）．
∵C，D两点均在 y3 上，
∴2（n﹣2）＝n，解得n＝4，
此时点C（1，4），D（2，2），CD=(2−1)2+(2−4)2=5，
∵点C关于y轴的对称点C′为（﹣1，4），
∴CD=(2+1)2+(2−4)2=13，
∴△PCD周长的最小值为 13+5．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，理解反比例函数和一次函数的图象性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解题是关键．
24．（2023•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0）、D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．
（1）点B的坐标（ ﹣3，1 ）；
（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（﹣3，1）；
（2）t=92，y=6x；
（3）存在，Q(8，34)或(4，32)或(−4，−32)．
【分析】（1）先求出OA＝6，OG＝7，DG＝3，再判断△DGA≌△AHB，得DG＝AH＝3，BH＝AG＝1，即可得出答案；
（2）先根据运动表示出点B′，D′的坐标，进而求出k，t，即可得出结论；
（3）先求出点B′，D′的坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出解，即可得出结论．
【详解】解：（1）过点B，D作BH⊥x轴，DG⊥x轴交于点H，G，
∵点A（﹣6，0），D（﹣7，3），
∴OA＝6，OG＝7，DG＝3，
∴AG＝OG﹣OA＝1．
∵∠DAG+∠BAH＝90°，∠DAG+∠GDA＝90°，
∴∠GDA＝∠BAH．
又∠DGA＝∠AHB＝90°，AD＝AB，
∴△DGA≌△AHB（AAS），
∴DG＝AH＝3，BH＝AG＝1，
∴点B的坐标是（﹣3，1）；
故答案为：﹣3，1；
（2）由（1），得点B（﹣3，1），D（﹣7，3），
∴运动t秒时，点D′（﹣7+2t，3），B′（﹣3+2t，1）．
设反比例函数的关系式为y=kx，
∵点B′，D′在反比例函数图象上，
∴k＝（﹣7+2t）×3＝（﹣3+2t）×1，
解得t=92，k＝6，
∴反比例函数的关系式为y=6x；
（3）存在，理由：由（2）知，点D′（﹣7+2t，3），B′（﹣3+2t，1），t=92，
∴D′（2，3），B′（6，1），反比例函数关系式为y=6x，
设点Q(m，6m)，点P（0，s）．
以点PQB′D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当PQ与B′D′是对角线时，
∴12(0+m)=12(2+6)，12(s+6m)=12(3+1)，
解得m＝8，s=134，
∴Q(8，34)，P(0，134)；
②当PB′与QD′是对角线时，
∴12(0+6)=12(2+m)，12(s+1)=12(6m+3)，
解得m＝4，s=72，
∴Q(4，32)，P(0，72)；
③当PD′与QB′是对角线时，
∴12(0+2)=12(m+6)，12(s+3)=12(6m+1)，
解得m＝﹣4，s=−72，
∴Q(−4，−32)，P(0，−72)．
综上所述：Q(8，34)或Q(4，32)或Q(−4，−32)．
【点睛】本题属于反比例函数的综合题目，主要考查了待定系数法，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题02反比例函数大题提升训练（八大类型）
类型一、反比例函数的性质
例1．（2023•黔江区一模）设函数y1=kx，y2=−kx（k＞0）．
（1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值；
（2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？
【答案】（1）a＝1，k＝1；
（2）芳芳的说法不正确．
【分析】（1）由反比例函数的性质可得k＝a①；﹣k＝a﹣2②；可求a的值和k的值；
（2）设m＝m0，且0＜m0＜1，则m0＞0，m0﹣1＜0，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解答】解：（1）∵k＞0，1≤x≤2，
∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y1最大值为k＝a①；y2最小值为﹣k＝a﹣2②；
由①，②得：a＝1，k＝1；
（2）芳芳的说法不正确，
理由如下：设m＝m0，且0＜m0＜1，
则m0＞0，m0﹣1＜0，
∴当x＝m0时，p＝y2=−km0＜0，
当x＝m0﹣1时，q＝y2=−km0−1＞0，
∴q＞0＞p．
∴芳芳的说法不正确．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是本题的关键．
类型二、反比例函数的图象问题
例2．（2023春•北湖区校级月考）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有经验，请画出函数y=6|x|−|x|的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ 1 ，b＝ ﹣2.5 ．
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
b
﹣3.8
……
②描点：请根据表中所给的数值在图中描点；
③连线：请结合反比例函数图象的特征，画出函数图象．
（2）探究函数性质
①当x＞0时，函数值y随着自变量x的增大而 减小 ；（填“减小”或“增大”）
②函数的图象关于 y轴 对称；
（3）运用函数图象及性质
①点A（﹣7，y1），B（−52，y2），C（72，y3）在函数图象上，请比较y1，y2，y3的大小（ B ）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y3＜y1
②点D（x1，52），E（x2，6）在函数图象上，请比较x1，x2的大小（ A ）
A．x1＞x2
B．x1＝x2
C．x1＜x2
D．不确定
③写出方程6|x|−|x|=5的解 x1＝﹣1，x2＝1 ；
④写出不等式6|x|−|x|≤1的解集 x≤﹣2或x≥2 ．
【答案】（1）1，﹣2.5；
（2）减小；y轴；
（3）①B：
②A；
③x1＝﹣1，x2＝1；
④x≤﹣2或x≥2．
【分析】（1）①把x＝2和x＝4分别代入解析式即可得a、b的值；
②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）观察函数图象即得答案．
【解答】解：（1）①列表：当x＝2时，a=6|2|−|2|＝1，
当x＝4时，b=6|4|−|4|＝﹣2.5，
故答案为：1，﹣2.5；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得：①当x＞0时，函数值y随着自变量x的增大而减小；（填“减小”或“增大”）
②函数的图象关于y轴对称；
故答案为：减小；y轴；
（3）①点A（﹣7，y1），B（−52，y2），C（72，y3）在函数图象上，则y1＜y3＜y2，
故答案为：B；
②点D（x1，52），E（x2，6）在函数图象上，则x1＞x2，
故答案为：A；
③写出方程6|x|−|x|=5的解为x1＝﹣1，x2＝1；
故答案为：x1＝﹣1，x2＝1；
④写出不等式6|x|−|x|≤1的解集为x≤﹣2或x≥2；
故答案为：x≤﹣2或x≥2．
【点评】本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是画出函数图象．
类型三、反比例函数与一次函数
例3．（2023•张店区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4）在反比例函数y=k1x第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数y=k1x第三象限的图象上，经过O，C两点的直线y＝k2x交反比例函数第一象限的图象于点B．
（1）求反比例函数y=k1x和直线y＝k2x的表达式；
（2）连接AC，AB，求△ABC的面积；
（3）请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x＞k2x的解集．
【答案】（1）反比例函数为y=4x，直线y＝k2x的表达式为y=14x；
（2）15；
（3）x＜﹣4或0＜x＜4．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数为y=4x，进而求得C的坐标，然后吧C的坐标代入y＝k2x即可求得直线的解析式；
（2）作AM⊥x轴，交BC于点D，则D（1，14），然后根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD求得即可；
（3）根据图象即可求得不等式的解集．
【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y=k1x第一象限的图象上，
∴k1＝1×4＝4，
∴反比例函数为y=4x，
将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C（﹣4，4﹣m），
∵点C恰好落在反比例函数y=k1x第三象限的图象上，
∴4﹣m=4−4，
∴m＝5，
∴C（﹣4，﹣1），
代入y＝k2x得﹣1＝﹣4k2，
∴k2=14，
∴直线y＝k2x的表达式为y=14x；
（2）作AM⊥x轴，交BC于点D，则D（1，14），
∴AD＝4−14=154，
∵点A、B关于原点对称，
∴B（4，1），
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD=12AD⋅(xB−xC)=12×154×(4+4)=15；
（3）关于x的不等式k1x＞k2x的解集为x＜﹣4或0＜x＜4．
【点评】本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，反比例函数的对称性，求得交点坐标是解题的关键．
类型四、反比例函数的面积问题
例4．（2023•立山区校级一模）如图，已知反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC
⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）当E的坐标为（﹣2，0）时，求点B的坐标；
（2）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．
【答案】（1）B点的坐标为（2，4）；
（2）6．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面积公式解决问题．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（4，2），
∴2=k4，
解得：k＝8，
∴反比例函数解析式为：y=8x，
由一可知点C（0，2），E（﹣2，0），
∴设直线EC的解析式为y＝kx+b．将C（0，2），E（﹣2，0）代入，
得：2k+b=0b=2，
解得：k=1b=2，
∴直线EC的解析式为y＝x+2．
∴x+2=8x，解得x1＝2，x2＝﹣4（舍去），
当x＝2时，y＝4，
∴B点的坐标为（2，4）；
（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），
∴OC＝2，
∵BD＝3OC，
∴BD＝3×2＝6，
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为6，代入y=8x中，得：6=8x，
解得：x=43，
∴B（43，6），
∵C（0，2），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有43k+b=6b=2，
解得：k=3b=2，
∴直线BC的解析式为：y＝3x+2，
令y＝0，得：3x+2＝0，
解得：x=−23，
∴E（−23，0），
∴DE=43−（−23）＝2，
∵AC∥DE，
∴S四边形ACED=12（AC+DE）•OC=12×（4+2）×2＝6．
【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，待定系数法、一次函数与坐标轴的交点特征，梯形面积等知识点，熟练掌握一次函数和反比例函数的相关知识是解题关键．
类型五、反比例函数的应用
例5．（2023•乳山市模拟）为预防流感，学校对教室采取药熏法消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例函数关系，药物燃烧完后，y与x成反比例函数关系（如图示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6毫克．
研究表明：
①当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时学生方可进教室；
②当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．
依据信息，解决下列问题：
（1）从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
（2）你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
【答案】（1）从消毒开始，至少需要经过 30 分钟后，学生才能回到教室；
（2）此次消毒有效，理由见解析．
【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；
（2）利用反比例函数解析式求法得出答案．
【解答】解：（1）设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y=kx，
把（8，6）代入得：k＝48，
故y关于x的函数关系式是y=48x；
当y＝1.6时，代入y=48x得x＝30，
答：从消毒开始，至少需要经过 30 分钟后，学生才能回到教室；
（2）此次消毒有效，
理由：药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，
所以设y关于x的函数关系式是y＝kx（k≠0），
将点（8，6）代入，得k=34，
即y=34x，自变量x的取值范围是0≤x≤8：
将y＝3分别代入y=34x，y=48x得，x＝4和x＝16，
那么持续时间是16﹣4＝12＞10分钟，所以有效杀灭空气中的病菌．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键．
类型六、反比例函数与几何问题
例6．（2023•平阴县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y=n−3x的图象相交于A、P两点．
（1）求m、n的值；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
【答案】（1）﹣2，1；
（2）证明见解答过程；
（3）255．
【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，
解得：m＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；
将点P（﹣1，2）代入y=n−3x，得：2＝﹣（n﹣3），
解得：n＝1，
∴反比例函数解析式为y=−2x．
故m、n的值为﹣2，1．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO；
（3）解：联立正、反比例函数解析式成方程组，得：
y=−2xy=−2x，
解得：x1=−1y1=2（舍去），x2=1y2=−2，
∴点A的坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，AO=AE2+OE2=5．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE=AEAO=25=255．
所以sin∠CDB的值为255．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，n的值；（2）利用菱形的性质，找出∠DCP＝∠OAE，∠AEO＝∠CPD＝90°；（3）利用相似三角形的性质，找出∠CDP＝∠AOE．
类型七、反比例函数与压轴问题
例7．（2023春•吴江区期中）如图，四边形AOBC是菱形，点B在x的正半轴上，直线AB交y轴于点D轴交y轴于点E，反比例函数y=−12x(x＜0)的图象经过点A（m，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P是直线AB上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当PO最小时，求点P的坐标；
（3）如图2，点N从A点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A﹣C﹣B运动，到达B点时停止，设点N的运动时间为t秒，△NDC的面积为S，求S与t的函数关系式．
【答案】（1）y=−12x+52；
（2）（1，2）；
（3）S=−34t+154(0≤t≤5)54t−254(5＜t≤10)．
【分析】（1）由平行四边形的性质，先求出点A、点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）当OP⊥AB时，PO最小，设P点坐标为（a，−12a+52），利用两点之间的距离公式解答即可求出点P的坐标；
（3）先求出CD和DE的长度，然后分两种情况进行分析：当点N在线段AC上运动时，即0≤t≤5时；当点N在线段CB上运动时，即5＜t≤10时；分别求出解析式即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=−12x(x＜0)的图象经过点A（m，4），
∴−12m=4，即m＝﹣3，
∴点A为（﹣3，4），
∴OA=(−3)2+42=5，
∵四边形AOBC是菱形，
∴OB＝OA＝5，
∴点B的坐标为：（5，0）；
设直线AB为y＝kx+b，
∴−3k+b=45k+b=0，
解得k=−12b=52，
∴直线AB的解析式y=−12x+52；
（2）当OP⊥AB时，PO最小，设P点坐标为（a，−12a+52），
∴OP=a2+(−12a+52)2=−54(a−1)2+304，
当a＝1时，OP有最小值，
∴−12a+52=−12×1+52=2，
∴点P的坐标为（1，2）；
（3）在函数y=−12x+52中，令x＝0，y=52，
∴点D为(0，52)，
∵OB＝CB，∠OBD＝∠CBD，BD＝BD，
∴△OBD≌△CBD（SAS），
∴CD=OD=52，∠BOD＝∠BCD＝90°，
∴DE=4−52=32；
当点N在线段AC上运动时，即0≤t≤5时，
S=12CN⋅DE=12×(5−t)×32=−34t+154；
当点N在线段CB上运动时，即5＜t≤10时，
S=12CN⋅CD=12×(t−5)×52=54t−254；
∴S与t的函数关系式为：S=−34t+154(0≤t≤5)54t−254(5＜t≤10)．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的图象和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析点的运动情况进行解题．
类型八、反比例函数与存在性问题
例8．（2023•香洲区校级一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴上，四边形OABC为菱形，反比例函数y=−12x（x＞0）经过点A（a，﹣3），反比例函数y=kx（k＞0，x＜0）经过点B，且交BC边于点D，连接AD．
（1）求直线BC的表达式；
（2）连接OD，求△AOD的面积；
（3）如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=−12x（x＞0）于点N．在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=−34x−154；
（2）1329；
（3）存在，当点N的坐标为（167，−214）或（16，−34）时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】（1）待定系数法即可求解；
（2）由△AOD的面积=12×OT×（xA﹣xD），即可求解；
（3）利用数形结合的方法分类求解即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=−12x（x＞0）经过点A（a，﹣3），
∴﹣3=−12a，
∴a＝4，
∴A（4，﹣3），
∴OA＝5，
∵四边形OABC为菱形，
∴OC＝AB＝OA＝5，
∴C（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），
由点B、C的坐标得，y=−34x−154；
（2）∵B（﹣1，﹣3），
∴k＝﹣1×（﹣3）＝3，
∴y=3x，
联立y=−34x−154y=3x，解得：x=−4y=−34（不合题意的值已舍去），
∴D（﹣4，−34），
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y=−932（x﹣4）+3，
设AD交y轴于点T，则T（0，339），
则△AOD的面积=12×OT×（xA﹣xD）=12×339×（4+4）=1329；
（3）存在，理由如下，
①当四边形BDEN是平行四边形时，如图，
∴yD﹣yB＝yE﹣yN，
∴−34−（﹣3）＝﹣3﹣yN，
∴yN=−214，
把yN=−214代入y=−12x得，xN=167，
∴N（167，−214）；
②当四边形BDNE是平行四边形时，如图，
∴yD﹣yB＝yN﹣yE，
∴−34−（﹣3）＝yN﹣（﹣3），
∴yN=−34，
把yN=−34代入y=−12x得，xN＝16，
∴N（16，−34），
综上所述，当点N的坐标为（167，−214）或（16，−34）时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定，正确的理解题意是解题的关键．
1．（2021•温州模拟）如图，在第一象限内，点A，B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，AM⊥x轴于点M（3，0），△AOM的面积为3，BC∥AM交OA于点C，连结OB．
（1）求出k的值和直线OA的函数解析式．
（2）当点B的横坐标为2时，求△OBC的面积．
【答案】（1）k＝6，直线OA的解析式为y=23x；
（2）53．
【分析】（1）由△AOM的面积为3，设A（x，y），则12xy=3，可得xy＝k＝6，设直线OA的解析式为y＝mx，代入点A（3，2），可得直线OA的解析式为y=23x；
（2）延长BC交x轴于点N，设B坐标为（2，m），则2m＝6，解得m＝3．把x＝2代入y=23x中，得y=43，所以BC＝3−43=53，根据S△OBC=12⋅ON⋅BC可得答案．
【详解】解：（1）∵△AOM的面积为3，设A（x，y），
∴12xy=3，
则xy＝6＝k，
故A坐标为（3，2），
设直线OA的解析式为y＝mx，代入点A（3，2），
得2＝3m，m=23，
故k＝6，直线OA的解析式为y=23x；
（2）延长BC交x轴于点N，
设B坐标为（2，m），
∴2m＝6，m＝3，
把x＝2代入y=23x中，得y=43，
即C点纵坐标为43，
∴BC＝3−43=53，
又ON＝2，
∴S△OBC=12⋅ON⋅BC=12×2×53=53．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，用待定系数法求一次函数表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．掌握以上知识点并学会综合运用是关键．
2．（2023•龙港市一模）如图，已知A的坐标是（4，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别交AO，AB于点C，D，连接OD，△OBD的面积为2．
（1）求k的值和点C的坐标．
（2）若点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），求b的取值范围．
【答案】（1）k＝4；（2，2）；
（2）1≤b≤2．
【分析】（1）根据反比例函数的k值意义，求出k的值即可；先求出正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出点C的坐标即可；
（2）先求出点D的坐标，然后根据点C和D的坐标，求出b的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵S△OBD＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数为y=4x①，
设直线OA解析式为y＝mx，
将A（4，4）代入得，4m＝4，
∴m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x②，
由①②得x2＝4，
∴x＝﹣2（不合题意，舍去），x＝2，
∴C为（2，2）．
（2）将x＝4代入y=4x，
得y＝1，
∴点D的坐标为（4，1），
∵点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包含边界），且C的坐标为（2，2），
∴由图象得1≤b≤2．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，求正比例函数解析式，反比例函数与正比例函数图象的交点坐标，解题的关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义．
3．（2023•瑞安市模拟）如图，直线y＝2x与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）若点P在反比例函数图象上，且在直线AB的下方（不与点A，B重合），求点P横坐标的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y=8x；
（2）P横坐标的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．
【分析】（1）先将x＝2代入正比例函数y＝2x，可得出y＝4，求得点A（2，4），代入y=kx(k≠0)即可得出k的值；
（2）根据点A与B关于原点对称，得出B点坐标，然后根据图象即可求解．
【详解】解：（1）∵点A在正比例函数y＝2x上，
∴把x＝2代入正比例函数y＝2x，
解得y＝4，
∴点A（2，4），
把点A（2，4）代入反比例函数y=kx(k≠0)，得k＝2×4＝8，
∴反比例函数的表达式为y=8x；
（2）∵点A与B关于原点对称，
∴B（﹣2，﹣4），
∵点P在反比例函数图象上，且在直线AB的下方（不与点A，B重合），
∴点P横坐标的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式．这里体现了数形结合的思想，数形结合是解题的关键．
4．（2023•南明区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝2x+b与反比例函数y2=mx（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（1，4），B（n，﹣2）．
（1）求该反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1≤y2的x的取值范围．
【答案】（1）y=4x；y＝2x+2；
（2）x≤﹣2或0＜x≤1．
【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）根据A点、B点的坐标结合图形写出y1≤y2的x的取值范围即可．
【详解】解：（1）把A（1，4）代入y=mx中，得m1=4，
解得m＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
将A（1，4）代入y＝2x+b中，
得：4＝2×1+b，
解得：b＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+2；
答：反比例函数的解析式为y=4x；一次函数解析式为y＝2x+2．
（2）由图象得满足y1≤y2的x的取值范围为：x≤﹣2或0＜x≤1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，正确运用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式是解题的关键．
5．（2023•花都区一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y=kx(x＞0)的图象相交于点A（a，4），与x轴、y轴分别交于点B、C．过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）求反比例函数y=kx的表达式；
（2）点P为反比例函数y=kx(x＞0)图象上的一点，且位于点A的右侧．从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求点P的坐标．
条件①：PA＝PD；
条件②：△ABD面积是△PBD面积的2倍．
注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．
【答案】（1）y=8x；
（2）①点P的坐标为（4，2）．
②点P的坐标为（4，2）．
【分析】（1）根据一次函数解析式确定a的值，代入反比例函数解析式确定k的值，求出反比例函数的解析式；
（2）①连接PA，PD，利用求两点间距离列等式，求出点P的坐标．
②连接PB，PD，根据点的坐标确定三角形的边长，求出△ABD面积和△PBD面积，再求出P点的坐标．
【详解】解：（1）把点A（a，4）代入一次函数解析式得，
4＝a+2，a＝2，
∴点A为（2，4），
把点A（2，4）代入反比例函数y=kx(x＞0) 得，k＝8，
∴反比例函数y=kx的表达式为：y=8x；
（2）①连接PA，PD，
设点P坐标为（x，y），由（1）知点A（2，4），点D（2，0），
∵PA＝PD；
∴(x−2)2+(y−4)2=(x−2)2+(y−0)2，
解得：y＝2，
∵P点再y=8x上，
∴x＝4，
∴点P的坐标为（4，2）．
②连接PB，PD，设点P坐标为（x，y），由（1）知点A（2，4），点D（2，0），
∵一次函数y＝x+2的图象与x轴交于点B，
∴点B坐标为（﹣2，0），
∴BD＝4，AD＝4，
∴S△ABD=12×BD×AD=12×4×4＝8，
∵△ABD面积是△PBD面积的2倍，
∴S△PBD＝4=12×BD×y，即4=12×4×y，
解得：y＝2，
∵P点再y=8x上，
∴x＝4，
∴点P的坐标为（4，2）．
【点睛】本题考察一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是借助几何中线段与三角形的面积列等式求出点的坐标．
6．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k2，n的值；
（2）请直接分别写出当﹣2＜x＜﹣1时，一次函数y＝k1x+b和反比例函数y=k2x的取值范围；
（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B，A′C，求△A'BC面积．
【答案】（1）k2＝﹣8，n＝4；
（2）当﹣2＜x＜﹣1时，一次函数 y＝k1x+b 的取值范围为3＜y＜4，反比例函数 y=k2x 的取值范围为4＜y＜8；
（3）8．
【分析】（1）将A点坐标代入y=k2x求得k2的值；然后将点B代入反比例函数解析式求得n的值即可；
（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
（3）求出对称点坐标，求面积．
【详解】解：（1）将A（4，﹣2）代入 y=k2x，得
k2＝﹣8，
∴该反比例函数解析式为：y=−8x．
将B（﹣2，n）代入 y=−8x，得n＝4．
综上所述：k2＝﹣8，n＝4．
（2）当﹣2＜x＜﹣1时，一次函数 y＝k1x+b 的取值范围为3＜y＜4，反比例函数 y=k2x 的取值范围为4＜y＜8．
（3）将A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入y＝k1x+b，得
4k1+b=−2−2k1+b=4．
解得k1=−1b=2．
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2，其图象与x轴交于点C（2，0）．
∴将图象沿x轴翻折后，得 S△ABC=12×(4+2)×(4+2)−12×4×4−12×2×2=8．
∴△A′BC的面积为8．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．
7．（2023•浚县三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），连接OA．
（1）尺规作图：在第一象限作点B，使得∠OAB＝90°，AB＝AO；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点B）
（2）求线段AB的解析式；
（3）若反比例函数的图象经过点A．点B是否在反比例函数y=kx(k＞0)的函数图象上？说明理由．
【答案】（1）见解答；
（2）y=−13x+103；
（3）点B不在反比例函数上，理由见解答．
【分析】（1）过点A作圆弧交OA和OA的延长线于点G、H，分别以点G、H为圆心大于AG的长度为半径作画弧交于点R，连接AR，以点A为圆心AO长度为半径作弧交AR于点B，即可求解；
（2）证明△ONA≌△AMB（AAS），得到点B（4，2），进而求解；
（3）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×3＝3，即反比例函数表达式为：y=3x，进而求解．
【详解】解：（1）过点A作圆弧交OA和OA的延长线于点G、H，分别以点G、H为圆心大于AG的长度为半径作画弧交于点R，
连接AR，以点A为圆心AO长度为半径作弧交AR于点B，则∠OAB＝90°，AB＝AO；
（2）如图，过点A作直线MN交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M，
∵∠OAB＝90°，则∠BAM+∠NAO＝90°，
∵∠NAO+∠NOA＝90°，
∴∠NOA＝∠BAM，
∵AB＝OA，∠ONA＝∠AMB＝90°，
∴△ONA≌△AMB（AAS），
∴AM＝ON＝3，BM＝AN＝1，
∴点B（4，2），
设直线AB的表达式为：y＝k（x﹣1）+3，
将点B的坐标代入上式得：2＝k（4﹣1）+3，
解得：k=−13，
则直线AB的表达式为：y=−13（x﹣1）+3=−13x+103；
（3）即点B不在反比例函数上，理由：
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×3＝3，
即反比例函数表达式为：y=3x，
当x＝4时，y=34≠3，即点B不在反比例函数上．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合应用，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数基本知识等，有一定的综合性，难度适中．
8．（2023•武侯区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+12与反比例函数y=kx的图象交于A（m，8），B两点，C为反比例函数图象第四象限上的一动点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当四边形ABOC的面积为1003时，求此时点C的坐标；
（3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形ABCD是“垂等四边形”，且∠ABD＝∠ACB？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=−16x，B（﹣4，4）；
（2）C（11+55，44﹣205）；
（3）存在，C（8，﹣2），D（6，14）．
【分析】（1）根据直线y＝2x+12与反比例函数y=kx的图象交于A（m，8），B两点，可计算m的值，并确定k的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点B的坐标；
（2）根据四边形ABOC的面积为1003列方程可解答；
（3）如图2，过点B作BG⊥y轴于G，过点A作AM∥y轴，过点C作CM⊥AM于M，证明∠ABG＝∠GHB，根据正切的定义可得GH＝2，可得BC的解析式为：y=−12x+2，列方程可得点C的坐标，证明△AMC是等腰直角三角形，可得△FBG也是等腰直角三角形，则F（0，8），根据AC＝BD列方程可得结论．
【详解】解：（1）∵点A（m，8）在直线y＝2x+12上，
∴2m+12＝8，
∴m＝﹣2，
∴A（﹣2，8），
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
∴反比例函数的表达式为：y=−16x，
则−16x=2x+12，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣4，
∴B（﹣4，4）；
（2）如图1，过点A作AP∥y轴，交OB于P，
设点C的坐标为（a，−16a），
∵B（﹣4，4），
∴OB的解析式为：y＝﹣x，
当x＝﹣2时，y＝2，
∴P（﹣2，2），
设AC的解析式为：y＝kx+b，
则−2k+b=8ak+b=−16a，解得：k=−8ab=8−16a，
∴AC的解析式为：y=−8xa+8−16a，
∴OF＝8−16a，
∵四边形ABOC的面积为1003，
∴S△ABP+S梯形APOF+S△COF＝100，
即12×2×（8﹣2）+12×2（6+8−16a）+12×（8−16a）×a＝100，
解得：a1＝11+55，a2＝11﹣55（舍）；
∴C（11+55，44﹣205）；
（3）存在，
如图2，过点B作BG⊥y轴于G，过点A作AM∥y轴，过点C作CM⊥AM于M，
在y＝2x+12中，当x＝0时，y＝12，
∴OE＝12，
∵B（﹣4，4），
∴BG＝4，EG＝12﹣4＝8，
∵四边形ABCD是“垂等四边形”，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
∴∠BFC＝90°，
∴∠ACB+∠CBF＝90°，
∵∠ABD＝∠ACB，
∴∠ABD+∠CBF＝90°，即∠ABC＝90°，
∴∠ABG+∠HBG＝90°，
∵∠HBG+∠GHB＝90°，
∴∠ABG＝∠GHB，
∴tan∠ABG＝tan∠GHB，即EGBG=BGGH，
∴84=4GH，
∴GH＝2，
设直线BC的解析式为：y＝nx+2，
将点B的坐标（﹣4，4）代入得：﹣4n+2＝4，
∴n=−12，
∴BC的解析式为：y=−12x+2，
∴−12x+2=−16x，
解得：x＝8或﹣4（舍），
∴C（8，﹣2）；
∵A（﹣2，8），
∴AM＝CM＝10，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴∠CAM＝45°，
∴∠FBG＝∠CAM＝45°，
∴△FBG也是等腰直角三角形，
∴BG＝FG＝4，
∴F（0，8），
同理得：BF的解析式为：y＝x+8，
设D（x，x+8），
∵AC＝BD，
∴（8+2）2+（8+2）2＝（x+4）2+（x+8﹣4）2，
解得：x1＝6，x2＝﹣14（舍），
∴D（6，14）．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键．
9．（2023•张家口二模）如图，在一段长为660km的高速公路上，规定汽车行驶速度最低为60km/h，最高为110km/h．
（1）直接填空：
①当行驶速度为100km/h，需要 6.6 h走完这段路；
②行驶完这段路恰好用了8.8h，行驶速度是 75 km/h．
（2）请根据以上背景，自己设定变量建立一个合理的函数关系，这个函数关系式中要把“660km”这个数据用上，并写出自变量取值范围．
（3）自己先提出一个问题，然后自己再回答它．要求：这个问题的解决要把“（2）中的函数关系式”、“60km/h”和“110km/h”都用上．
【答案】（1）6.6；
（2）75；
（3）见解析；
（4）见解析；
【分析】（1）根据时间＝路程÷速度即可求解；
（2）根据速度＝路程÷时间即可求解；
（3）设汽车行驶所需时间为yh，汽车行驶速度为xkm/h，根据速度、时间路程之间的关系可得函数关系式y=660x，根据汽车行驶速度最低为60km/h，最高为110km/h可得自变量的取值范围；
（4）问题：若汽车行驶完这段路程用了7.5h，判断汽车速度是否符合要求．令y=660x=7.5，解得x＝88，根据x的取值范围即可判断．
【详解】解：（1）660÷100＝6.6（h），
∴当行驶速度为100km/h，需要6.6h走完这段路；
故答案为：6.6；
（2）660÷8.8＝75（km/h），
∴行驶完这段路恰好用了8.8h，行驶速度是75km/h；
故答案为：75；
（3）设汽车行驶所需时间为yh，汽车行驶速度为xkm/h，
y关于x的函数关系式为y=660x（60≤x≤110）；
（4）问题：若汽车行驶完这段路程用了7.5h，判断汽车的行驶速度是否符合要求．
令y=660x=7.5，
解得：x＝88，
∵60＜88＜110，
∴汽车的行驶速度符合要求．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，正确理解题意，熟知速度、时间路程之间的关系，以此得出函数关系式是解题关键．
10．（2023•金牛区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，求点C的横坐标；
（3）将△AOB在平面内沿某个方向平移得到△DEF（其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F），若D、F同时在反比例函数y=kx的图象上，求点E的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式y=6x；
（2）C点的横坐标为−1+132或−3+212；
（3）点E的坐标为（2，﹣4）．
【分析】（1）将点A（a，﹣2）代入y＝2x+4，可得点A的坐标，从而得出答案；
（2）首先求出点B的坐标，在点B下方的y轴上取点C，使BC＝8，则S△ABC＝4，过点C作CP∥AB，交双曲线于P，得出直线CP的解析式为y＝﹣2x﹣4，与双曲线求交点即可得出点P的坐标，当点P在点A上方时，同理可求；
（3）由平行四边形和反比例函数的对称性可知B与D，A与F关于原点对称，即可求得F（3，2），根据B、F的坐标得到平移的距离，从而求得点E的坐标．
【详解】解：（1）将点A（a，﹣2）代入y＝2x+4得，﹣2＝2a+4，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，﹣2），
∵反比例函数y=kx的图象经过点A，
∴k＝﹣3×（﹣2）＝6，
∴反比例函数解析式y=6x；
（2）解y=2x+4y=6x，得x=−2y=−3或x=1y=6，
∴B（1，6），
设直线y＝2x+4与y轴交于M，
∴M（0，4），
∴点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，
在点M下方的y轴上取OM的中点D，过点D作CD∥AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，
∴直线CD的解析式为y＝2x+2，
∴2x+2=6x，
解得x1=−1+132，x2=−1−132（舍），
∴C点的横坐标为−1+132，
在点M上方的y轴上取ME＝2，过点E作CE∥AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，
同理可得C点的横坐标为−3+212，
综上：C点的横坐标为−1+132或−3+212；
（3）由题意可知AB＝DF，AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，B与D，A与F关于原点对称，
∴F（3，2），
∵B（1，6），
∴点B向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点F，
∴点E的坐标为（2，﹣4）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，平移的性质，数形结合是解题的关键．
11．（2023•崂山区一模）如图，一次函数y＝﹣x+5与反比例函数y=kx(k≠0) 的图象在第一象限相交于A，B两点，点B坐标是（n，1），AC垂直x轴交x轴于点C，O为坐标原点，AC＝4OC，连接BC．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若点D在x轴上，△BCD的面积和△ABC的面积相等，求点D的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=4x；
（2）D（13，0）或（﹣11，0）．
【分析】（1）设OC＝a，则AC＝4OC＝4a，可得A（a，4a），把点A代入一次函数解析式即可求出a的值，进而表示出点A的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）将一次函数和反比例函数联立求出点B的坐标，利用面积公式求得△ABC的面积，根据题意点D在x轴上，△ABD的面积和△ABC的面积相等，可得到12CD•yB＝6，求得CD的长，进而求得点D的坐标．
【详解】解：（1）设OC＝a，则AC＝4OC＝4a，
∴C（a，0），A（a，4a），
∵一次函数y＝﹣x+5 的图象经过点A，
∴4a＝﹣a+5，解得a＝1，
∴A（1，4），
把A（1，4）代入反比例函数y=kx(k≠0) 得：k＝1×4＝4，
∴反比例函数解析式为y=4x；
（2）由y=−x+5y=4x，解得x=1y=4或x=4y=1，
∴B（4，1），
∵A（1，4），
∴S△ABC=12×4×(4−1)=6，
∵△ABD的面积和△ABC的面积相等，
∴12CD•yB＝6，即12CD×1=6，
∴CD＝12，
∴D（13，0）或（﹣11，0）．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到待定系数法求解析式、三角形面积以及求函数交点坐标，能够数形结合是解题的关键．
12．（2023•城关区一模）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A（1，3），B两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数y=kx与一次函数y＝x+b的表达式；
（2）若点P（t，0）是x轴负半轴上一点，过点P作PQ⊥x轴交反比例函数y=kx的图象于点Q，连接CP，OQ．当S四边形COQP=52时，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y=3x，一次函数的表达式为y＝x+2；
（2）P点的坐标（﹣1，0）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用点P坐标和三角形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：（1）将A（1，3）在反比例函数y=kx图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y=3x，
将A（1，3）代入y＝x+b得3＝1+b，
解得b＝2，
∴一次函数的表达式为y＝x+2；
（2）∵y＝x+2中，当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∵S四边形COQP＝S△OPQ+S△OPC，且S四边形COQP=52，
∴52=32+12×2×|t|，
∴|t|＝1，
∵t＜0，
∴P点的坐标（﹣1，0）．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了利用待定系数法求函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得函数的解析式是解决问题的关键．
13．（2023•拱墅区模拟）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2=kx(a，b，k是常数，a≠0，k≠0）的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD．（O是坐标原点）
（1）求一次函数y1与反比例函数y2的表达式；
（2）直接写出当y2＞y1时x的取值范围；
（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
【答案】（1）y＝﹣x+5，y=4x；
（2）0＜x＜1或x＞4；
（3）将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例图象只有一个交点．
【分析】（1）根据题意，由待定系数法确定函数关系式直接代入点列方程及方程组求解即可得到答案；
（2）根据图象即可求解；
（3）根据函数图象平移，设直线AB向下平移n个单位长度，此时直线AB对应的表达式为y＝﹣x+5﹣n，联立方程组，消去y整理得x2﹣（5﹣n）x+4＝0，结合图象只有一个交点，确定x2﹣（5﹣n）x+4＝0只有一个解，即Δ＝[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0，解一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：（1）把C（1，4）代入y2=kx(a，b，k是常数，a≠0，k≠0），得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
把（4，m）代入y=4x，得m＝1，
∴D（4，1），
把C（1，4），D（4，1）坐标分别代入y＝ax+b得k+b=44k+b=1，
解得k=−1b=5，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）由图可知，当y2＞y1时x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4；
（3）设直线AB向下平移n个单位长度，此时直线AB对应的表达式为y＝﹣x+5﹣n，
联立方程组得y=−x+5−ny=4x，
消去y得﹣x+5=4x，
整理得x2﹣（5﹣n）x+4＝0，
∵由于直线与反比例函数图象只有一个交点，
∴Δ＝0，即[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0，整理得n2﹣10n+9＝0，解得n1＝1，n2＝9，
∴将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例图象只有一个交点．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图象解不等式、函数图象平移及图象交点与一元二次方程解得情况等知识点是解决问题的关键．
14．（2023•寻乌县一模）如图，直线y＝ax+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=kx(x＞0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝4，点A的坐标为（﹣4，0）．
（1）求一次函数和双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当△ABO∽△CQH时，求点Q的坐标．
【答案】（1）一次函数表达式为：y=12x+2，反比例函数表达式为：y=16x；
（2）Q（8，2）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当△ABO∽△CQH时，则AOBO=CHHQ=2，设HQ为x，则CH＝2x，则Q（4+2x，x）代入反比例解析式得：x=164+2x，进而求解．
【详解】解：（1）∵A的坐标为（﹣4，0），代入直线y＝ax+2，
∴0＝﹣4a+2，
解得：a=12，
∴y=12x+2，
∵PC＝4，即点P的纵坐标为4，
则4=12x+2，
解得：x＝4，
即P（4，4），
将P（4，4）代入y=kx(x＞0)，
∴4=k4，
解得：k＝16，
∴y=16x；
（2）当△ABO∽△CQH时，
∴AOBO=CHHQ=2，
设HQ为x，则CH＝2x，
∴Q（4+2x，x）代入反比例解析式得：x=164+2x，
解得：x＝﹣4或2，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴Q（8，2）．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数和反比例函数的基本性质、三角形相似的性质等，有一定的综合性，难度适中．
15．（2023•京口区模拟）平面直角坐标系中，反比例函数y=3kx（k≠0）的图象与一次函数y＝kx﹣2k图象交于A、B两点（点A在点B左侧）
（1）求A、B两点的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）当k＝2时，过y轴正半轴上一动点C（0，n）作平行于x轴的直线，分别与一次函数y＝kx﹣2k、反比例函数y=3kx的图象相交于D、E两点，若CD＝3DE，求n的值；
（3）若一次函数y＝kx﹣2k图象与x轴交于点F，AF+BF≤5，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）A（﹣1，﹣3k），B（3，k）；
（2）−2+13或−2+22；
（3）−34≤k≤34，且k≠0．
【分析】（1）将两个解析式联立求解，即可得到A、B的坐标；
（2）因为过C（0，n）的直线平行于x轴，可得点D、E的纵坐标都为n．将y＝n代入y＝2x﹣4和y=6x，得xD=n2+2和xE=6n，分当0＜n＜2时和当n＞2时两种情况，分别表示出CD与DE，根据CD＝3DE列方程即可求解；
（3）结合（1），根据AF+BF≤5，即AB≤5，得到关于k的不等式，即可求解．
【详解】解：（1）联立解析式得：
y=3kxy=kx−2k，
解得x=3y=k或x=−1y=−3k，
∵点A在点B左侧，
∴A（﹣1，﹣3k），B（3，k）；
（2）∵k＝2，
∴反比例函数与一次函数的解析式为y=6x和y＝2x﹣4，点B（3，2），
∵过C（0，n）的直线平行于x轴，
∴点D、E的纵坐标都为n．
将y＝n代入y＝2x﹣4和y=6x，
得：xD=n2+2，xE=6n，
当0＜n＜2时，如图：
∴CD=n2+2，DE=6n−n2−2，
∵CD＝3DE，
∴n2+2＝3（6n−n2−2），
整理，得n2+4n﹣9＝0，
解得n＝﹣2+13或n＝﹣2−13（舍去）；
∴n＝﹣2+13；
当n＞2时，如图：
CD=n2+2，DE=n2+2−6n，
∴CD=n2+2，DE＝2+n2−6n，
∵CD＝3DE，
∴n2+2＝3（2+n2−6n），
整理，得n2+4n﹣18＝0，
解得n＝﹣2+22或n＝﹣2−22（舍去），
∴n＝﹣2+22，
综上所述：n的值为−2+13或−2+22；
（3）由（1）知A（﹣1，﹣3k），B（3，k），
∵AF+BF≤5，AF+BF＝AB，
∴AB≤5，
∴(−1−3)2+(−3k−k)2≤5，
整理，得k2≤916，
∴−34≤k≤34，
∴k的取值是−34≤k≤34，且k≠0．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了双曲线与直线的交点，两点间距离公式，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，掌握两个函数图象交点与方程组的关系是解题的关键．
16．（2023•镇平县模拟）如图，点A在反比例函数y=kx(x＜0) 的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3．
（1）求k的值；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出∠OAB的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（3）设（2）中的角平分线与x轴相交于点C，延长AB到D，使AD＝AO，连接DC并延长交y轴于点E．求证：DE⊥OA．
【答案】（1）k＝﹣6；
（2）见解答；
（3）见解答．
【分析】（1）由反比函数k值的意义即可求解；
（2）如图，以点A为圆心，作弧交AB、AO于点M、N，分别以点M、N为圆心大于12MN为半径作弧，交于点F，则AF为∠OAB的平分线；
（3）证明AC、OB是△ADO的高，点C是两个高的交点，即可求解．
【详解】（1）解：由反比函数k值的意义知，|k|＝2S△AOB＝6，
则k＝﹣6；
（2）解：如图，以点A为圆心，作弧交AB、AO于点M、N，
分别以点M、N为圆心大于12MN为半径作弧，交于点F，则AF为∠OAB的平分线；
（3）证明：∵AF为∠OAB的平分线，AD＝AO，
∴AC⊥OD，
∵OB⊥AD，
即AC、OB是△ADO的高，点C是两个高的交点，
故DE也是△ADO的高，
即DE⊥OA．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形高问题、反比例函数k值的意义、几何作图等，有一定的综合性，难度不大．
17．（2023•香洲区校级一模）如图，点A（m，3）为函数y=9x(x＞0)图象上一点，连接OA，点B在线段OA上，且OA：OB＝3，C是x轴的正半轴上一点，连接AC，S△ABC＝6．
（1）求点B的坐标；
（2）若M是线段AC上一点，且∠AOM＝15°，求△OCM的面积．
【答案】（1）点M（9﹣33，33−3）；（2）93−9．
【分析】（1）由OB：OA＝OH：ON，得到OH＝1，进而求解；
（2）由S△ABC＝6＝S△ACO﹣S△AOB，得到CO＝6，设点M（m，﹣m+6），由tan∠MON=33=yMxM=6−mm，进而求解．
【详解】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3m＝9，
解得：m＝3，即点A（3，3）；
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为N、H，
∴OB：OA＝OH：ON，
即OB：OA＝3：1＝OH：ON＝OH：3，
即OH＝1，同理可得，BH＝1，
即点B（1，1）；
（2）∵S△ABC＝6＝S△ACO﹣S△AOB=12×CO×（yA﹣yB）=12×CO×（3﹣1），
解得：CO＝6，
由A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+6，
设点M（m，﹣m+6），
∵OH＝HB＝1，则∠AOH＝45°，
∵∠AOM＝15°，则∠MON＝30°，
则tan∠MON=33=yMxM=6−mm，
解得：m＝9﹣33，
则点M（9﹣33，33−3），
则△OCM的面积=12×CO×yM=12×6×（33−3）＝93−9．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形的面积计算、一次函数的基本性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
18．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y=2x，x≥12|x|，x＜1的图象与性质．
列表：
x
…
﹣1
−12
0
12
1
32
2
…
y
…
2
1
0
1
2
43
1
…
描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：
（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，52），D（x2，6）在函数图象上，则y1 ＞ y2，x1 ＞
x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为 ﹣1或1 ；
（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；
（4）当方程x+b=2x，x≥12|x|，x＜1有三个不同的解时，则b的取值范围为 0＜b＜1 ．
【答案】（1）＞，＞；
（2）﹣1或1；
（3）函数图象见解析；
（4）0＜b＜1．
【分析】（1）根据函数的增减性即可比较；
（2）根据图象求解即可；
（3）根据函数解析式画出函数图象即可；
（4）根据图象即可求出b的取值范围．
【详解】解：（1）∵点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，52），D（x2，6）在函数图象上，
根据图象可知，当x＞1时，y随着x增大而减小，当y＞2时，y随着x增大而减小，
∵3＜5，52＜6，
∴y1＞y2，x1＞x2，
故答案为：＞，＞；
（2）当函数值y＝2时，x的值为﹣1或1，
故答案为：﹣1或1；
（3）函数图象如图所示：
（4）当y＝x+b过点（1，2）时，
可得1+b＝2，
解得b＝1，
∴当方程x+b=2x，x≥12|x|，x＜1有三个不同的解时，则b的取值范围为0＜b＜1，
故答案为：0＜b＜1．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键．
19．（2021•樊城区一模）小云同学根据函数的学习经验，对函数y=ax(x≤−1)−13x+b(x＞−1)进行探究，已知函数的图象经过点（﹣1，3），（5，1）．
（1）填空：a＝ ﹣3 ，b＝ 83 ；
（2）补充表格，在平面直角坐标系中，描出表中各组值对应坐标的点，画出该函数的图象；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
5
…
y
…
1
32
3
1
…
（3）观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有： ①②④ ；
①当x≤﹣1时，y随x的增大而增大；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③函数y的图象关于直线x＝﹣1轴对称；
④当x＝﹣1时，函数值y取得最大值．
（4）过点（0，m）作直线l平行于x轴，若直线l与函数y有两个交点，则m的取值范围是 0＜m＜3 ．
【答案】（1）﹣3；83；（2）1；32；（3）①②④；（4）0＜m＜3
【分析】本题考察的是分段函数图象的理解．
【详解】由题意可得（﹣1，3）在反比例函数y=ax图象上，（5，1）在一次函数y=−13x+b的图象上，（1）故可以得出a＝﹣3，b=83，同理（1）可得（2）中的两空为1和32；
（3）①在x≤﹣1时，为反比例函数在第二象限内的图象，此时y随x的增大而增大，故①正确；
②在x＞﹣1时，为一次函数的图象，∵−13＜0，∴此时y随x的增大而减小，故②正确；
③结合图象可以得出该分段函数的图象没有对称轴（∵x≤﹣1时为曲线，x＞﹣1时为直线），故③错误
④结合图象可以得出x＝﹣1时，有最大值为3
（4）结合图象可以看出，当0＜m＜3时，直线l与该分段函数的图象有两个交点
【点睛】数形结合
20．（2023•越秀区一模）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求k的值．
条件①四边形OCED的面积为2；
条件②BE＝2AE．
【答案】（1）y1＞y2；见解析；
（2）选择条件①，k＝﹣6；选择条件②k＝﹣6．
【分析】（1）根据反比例函数的性质即可得y1＞y2，再将点A（﹣2，y1），（B（﹣6，y2）代入反比例函数的解析式分别求出y1、y2的值，由此即可加以验证；
（2）选择条件①：先根据矩形的判定与性质可得OD⋅OC＝2，再根据点A，B的坐标可得OC＝2，OD＝y2，从而可得y2＝1，B（﹣6，1），利用待定系数法求解即可得；选择条件②：先求出OC＝2，AC＝y1，DB＝6，OD＝y2，再根据矩形的判定与性质可得DE＝OC＝2，CE＝OD＝y2，从而可得BE＝4，AE＝2，代入可得y1﹣y2＝2，然后根据y1−y2=−k3即可得．
【详解】解：（1）因为函数图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，
所以y1＞y2；
验证如下：
当x＝﹣6时，y2=−k6；
当x＝﹣2时，y1=−k2，
∵y1−y2=−k2+k6=−k3，k＜0，
∴y1﹣y2＞0即y1＞y2．
（2）选择条件①四边形OCED的面积为2，求解如下：
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD，
∴四边形OCED是矩形，
∴OD⋅OC＝2，
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2），
∴OC＝2，OD＝y2，
解得y2＝1，
∴B（﹣6，1），
将点B（﹣6，1）代入y=kx得：
k＝﹣6×1＝﹣6．
选择条件②BE＝2AE，求解如下：
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2），
∴OC＝2，AC＝y1，DB＝6，OD＝y2，
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD，
∴四边形OCED是矩形，
∴DE＝OC＝2，CE＝OD＝y2，
∴BE＝DB﹣DE＝4，
∴AE=12BE=2，
又∵AE＝AC﹣CE＝y1﹣y2，
∴y1﹣y2＝2，
由（1）可知，y1−y2=−k3，
∴−k3=2，
解得k＝﹣6．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
21．（2023•莱芜区一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=kx(x＞0)经过B、C两点，△ABC为直角三角形，AC∥x轴，AB∥y轴，A（8，4），AC＝3．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点M是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC；
①求MB+MC的最小值；
②点N是反比例函数y=kx(x＞0)的图象上的一个点，若△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点N的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y=20x，B的坐标为（8，52）；
（2）①MB+MC的最小值是6852；
②N的坐标为（209，9）或（26−2，26+2）．
【分析】（1）求出C（5，4），用待定系数法可得反比例函数的表达式为y=20x，令x＝8得B的坐标为（8，52）；
（2）①作C关于y轴的对称点C'，连接BC'交y轴于M，此时MB+MC最小，由C（5，4），B（8，52），可得C'（﹣5，4），BC'=(8+5)2+(52−4)2=6852，即可得到答案；
②设M（0，m），N（n，20n），分两种情况：当C为直角顶点时，过C作TK∥y轴，过N作NT⊥TK于T，过M作MK⊥TK于K，由△CMN的等腰直角三角形，证明△CMK≌△NCT（AAS），可得4−m=5−n5=20n−4，即可解得N（209，9）；当N为直角顶点时，过N作RS⊥y轴于S，过C作CR⊥RS于R，同理可得n=20n−420n−m=5−n，解得N（26−2，26+2）．
【详解】解：（1）∵A（8，4），AC＝3，
∴C（5，4），
将C（5，4）代入y=kx得：
4=k5，
解得k＝20，
∴反比例函数的表达式为y=20x，
在y=20x中，令x＝8得y=52，
∴B的坐标为（8，52）；
（2）①作C关于y轴的对称点C'，连接BC'交y轴于M，此时MB+MC最小，如图：
∵C，C'关于y轴对称，
∴MB+MC＝MB+MC'，
当B，M，C'共线时，MB+MC'最小，即MB+MC最小，最小值为BC'的长度，
由（1）知C（5，4），B（8，52），
∴C'（﹣5，4），
∴BC'=(8+5)2+(52−4)2=6852，
∴MB+MC的最小值是6852；
②设M（0，m），N（n，20n），
当C为直角顶点时，过C作TK∥y轴，过N作NT⊥TK于T，过M作MK⊥TK于K，如图：
∵△CMN的等腰直角三角形，
∴CM＝CN，∠MCK＝90°﹣∠NCT＝∠CNT，
∵∠K＝90°＝∠T，
∴△CMK≌△NCT（AAS），
∴CK＝NT，MK＝CT，
∴4−m=5−n5=20n−4，
解得n=209，
∴N（209，9）；
当N为直角顶点时，过N作RS⊥y轴于S，过C作CR⊥RS于R，如图：
同理可得SN＝RC，SM＝NR，
∴n=20n−420n−m=5−n，
解得n＝26−2或n＝﹣26−2（舍去），
∴N（26−2，26+2）；
综上所述，N的坐标为（209，9）或（26−2，26+2）．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
22．（2023•信阳模拟）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数y2=mx（x＞0）的图象交于A（6，−12），B（12，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
（1）求y1与y2的解析式；
（2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为4，则t的值为 43 ．
【答案】（1）y2=−3x，y1＝x−132；
（2）12＜x＜6；
（3）43．
【分析】（1）将点A（6，−12）代入y2=mx（x＞0）中，求反比例函数的解析式；通过解析式求出B点坐标，然后将点A、B代入y1＝kx+b，即可求出一次函数的解析式；
（2）通过观察图象即可求解；
（3）由题意先求出直线DE的解析式为y＝x−132+t，过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，由∠OCA＝45°，求出FG=22t，再求出AC＝62，由平行线的性质可知S△ACD＝S△ACF，则12×62×22t=4，即可求t．
【详解】解：（1）将点A（6，−12）代入y2=mx（x＞0）中，
∴m＝﹣3，
∴y2=−3x，
∵B（12，n）在y2=−3x中，可得n＝﹣6，
∴B（12，﹣6），
将点A、B代入y1＝kx+b，
∴12k+b=−66k+b=−12，
解得k=1b=−132，
∴y1＝x−132；
（2）∵一次函数与反比例函数交点为A（6，−12），B（12，﹣6），
∴12＜x＜6时，y1＜y2；
（3）在y1＝x−132中，令x＝0，则y=−132，
∴C（0，−132），
∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度，
∴直线DE的解析式为y＝x−132+t，
∴F点坐标为（0，−132+t），
过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，
直线AB与x轴交点为（132，0），与y轴交点C（0，−132），
∴∠OCA＝45°，
∴FG＝CG，
∵FC＝t，
∴FG=22t，
∵A（6，−12），C（0，−132），
∴AC＝62，
∵AB∥DF，
∴S△ACD＝S△ACF，
∴12×62×22t=4，
∴t=43，
故答案为：43．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．
23．（2023•大庆一模）设函数y1=k1x，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）如图①，若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），B（3，1），
①求 y1，y2 的函数表达式；
②直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（2）如图②，若点C（1，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，点P在y轴上，求△PCD周长的最小值．
【答案】（1）①y1=3x，y2＝﹣x+4；
②0＜x＜1或x＞3；
（2）△PCD周长的最小值为 13+5．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②利用函数图象分析比较；
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求得n＝4，即可求得C（1，4），D（2，2），作C点关于y轴的对称点C′，连接C′D，交y轴于点P，此时△PCD周长的最小，最小值为C′D+CD．
【详解】解：（1）①把点B（3，1）代入 y1=k1x，得 k1＝3，
∴y1 的函数表达式为 y1=3x，
把点A（1，m）代入 y1=3x，得m＝3，
把点A（1，3），B（3，1）代入 y2＝k2x+b，得 k2+b=33k2+b=1，
解得k2=−1b=4，
∴y2 的函数表达式为 y2＝﹣x+4；
②观察图象，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；
（2）点C（1，n）向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，可得点D的坐标为（2，n﹣2）．
∵C，D两点均在 y3 上，
∴2（n﹣2）＝n，解得n＝4，
此时点C（1，4），D（2，2），CD=(2−1)2+(2−4)2=5，
∵点C关于y轴的对称点C′为（﹣1，4），
∴CD=(2+1)2+(2−4)2=13，
∴△PCD周长的最小值为 13+5．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，理解反比例函数和一次函数的图象性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解题是关键．
24．（2023•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0）、D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．
（1）点B的坐标（ ﹣3，1 ）；
（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（﹣3，1）；
（2）t=92，y=6x；
（3）存在，Q(8，34)或(4，32)或(−4，−32)．
【分析】（1）先求出OA＝6，OG＝7，DG＝3，再判断△DGA≌△AHB，得DG＝AH＝3，BH＝AG＝1，即可得出答案；
（2）先根据运动表示出点B′，D′的坐标，进而求出k，t，即可得出结论；
（3）先求出点B′，D′的坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出解，即可得出结论．
【详解】解：（1）过点B，D作BH⊥x轴，DG⊥x轴交于点H，G，
∵点A（﹣6，0），D（﹣7，3），
∴OA＝6，OG＝7，DG＝3，
∴AG＝OG﹣OA＝1．
∵∠DAG+∠BAH＝90°，∠DAG+∠GDA＝90°，
∴∠GDA＝∠BAH．
又∠DGA＝∠AHB＝90°，AD＝AB，
∴△DGA≌△AHB（AAS），
∴DG＝AH＝3，BH＝AG＝1，
∴点B的坐标是（﹣3，1）；
故答案为：﹣3，1；
（2）由（1），得点B（﹣3，1），D（﹣7，3），
∴运动t秒时，点D′（﹣7+2t，3），B′（﹣3+2t，1）．
设反比例函数的关系式为y=kx，
∵点B′，D′在反比例函数图象上，
∴k＝（﹣7+2t）×3＝（﹣3+2t）×1，
解得t=92，k＝6，
∴反比例函数的关系式为y=6x；
（3）存在，理由：由（2）知，点D′（﹣7+2t，3），B′（﹣3+2t，1），t=92，
∴D′（2，3），B′（6，1），反比例函数关系式为y=6x，
设点Q(m，6m)，点P（0，s）．
以点PQB′D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当PQ与B′D′是对角线时，
∴12(0+m)=12(2+6)，12(s+6m)=12(3+1)，
解得m＝8，s=134，
∴Q(8，34)，P(0，134)；
②当PB′与QD′是对角线时，
∴12(0+6)=12(2+m)，12(s+1)=12(6m+3)，
解得m＝4，s=72，
∴Q(4，32)，P(0，72)；
③当PD′与QB′是对角线时，
∴12(0+2)=12(m+6)，12(s+3)=12(6m+1)，
解得m＝﹣4，s=−72，
∴Q(−4，−32)，P(0，−72)．
综上所述：Q(8，34)或Q(4，32)或Q(−4，−32)．
【点睛】本题属于反比例函数的综合题目，主要考查了待定系数法，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
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