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2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题(试题+答案)
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压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题
例1.(2023•海曙区一模)对于抛物线y=ax2﹣4x+3(a>0).
(1)若抛物线过点(4,3).
①求顶点坐标;
②当0≤x≤6时,直接写出y的取值范围为 ;
(2)已知当0≤x≤m时,1≤y≤9,求a和m的值.
例2.(2023春•上城区校级月考)设二次函数y=ax2+4ax+4a+1,a为常数,且a<0.
(1)写出该函数的对称轴和顶点坐标.
(2)若该函数图象经过点P(n,y1),Q(n+1,y2),当n≥1时,试比较y1和y2的大小关系.
(3)若该函数图象经过点P(x1,y1),Q(x2,y2),设n≤x1≤n+1,当x2≥3时均有y1≥y2,请求出实数n的取值范围.
例3.(2023春•顺义区校级月考)在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1)、点B(x2,y2)为抛物线y=ax2﹣2ax+a(a≠0)上的两点.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)当﹣2<x1<﹣1且1<x2<2时,试判断y1与y2的大小关系并说明理由;
(3)若当t﹣1<x1<t且t+1<x2<t+2时,存在y1=y2,求t的取值范围.
例4.(2023春•柯桥区月考)如图,已知二次函数y=x2+ax+a+1的图象经过点P(﹣2,3).
(1)求a的值和图象的顶点坐标.
(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.
①当m=2时,求n的值.
②当m≤x≤m+3时,该二次函数有最小值11,请根据图象直接写出m的值.
1.(2023•深圳模拟)对于“已知x+y=1,求xy的最大值”这个问题,小明是这样求解的:
∵x+y=1,∴y=1﹣x,∴;
∴,所以xy的最大值为.
请你按照这种方法计算:当2n+m=4(m>0,n>0)时,的最小值.
2.(2022秋•诸暨市期末)已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,3),(6,3).
(1)求b,c的值;
(2)当0≤x≤4时,求y的最大值与最小值之差;
(3)当k﹣4≤x≤k时,若y的最大值与最小值之差为8,求k的值.
3.(2022秋•漳州期末)已知二次函数y=x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过点(0,3)、(1,﹣2).
(1)求b、c的值;
(2)当3≤x≤m时,若y的最大值与最小值之和为1,求m的值.
4.(2023•来安县一模)已知关于x的二次函数y1=(x+2a)(x﹣2b)(其中a,b为常数).
(1)若a=1,该二次函数的图象经过点(﹣1,3),求b;
(2)若a=b﹣2.
①若(﹣1,m)和(3,n)是该二次函数图象上的点,比较m和n的大小;
②设一次函数y2=﹣x+2b,当函数y=y1+y2的图象经过点(c,0)时,探索b与c之间的数量关系,并加以推理.
5.(2023•北仑区一模)抛物线y=(x+1)(x﹣t)(t为常数)经过点A(4,5),B(m,n).
(1)求t的值;
(2)若n<5,求m的取值范围.
6.(2023•秦皇岛一模)已知y=ax2+bx+c过点A(2,0),B(3n﹣4,y1),C(5n+6,y2)三点,对称轴是直线x=1,关于x的方
程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若B点在直线x=1的左侧,C点在直线x=1的右侧,且y1>y2,求n的取值范围;
(3)若n<﹣5,试比较y1与y2的大小.
7.(2022•无为市三模)已知抛物线y=a(x﹣h)2+k经过点A(1,y1),B(2,y2),C(3,y3),连接AB、BC,令λ.
(1)若a>0,h=2,求λ的值;
(2)若h=1,λ,求a的值.
8.(2022•平谷区二模)在平面直角坐标系xOy中,点(﹣1,y1)、(1,y2)、(3,y3)是抛物线y=x2+bx+1上三个点.
(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标;
(2)当y1=y3时,求b的值;
(3)当y3>y1>1>y2时,求b的取值范围.
9.(2023•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2﹣2ax﹣3.
(1)求该抛物线的对称轴(用含a的式子表示);
(2)A(x1,y1),B(x2,y2)为该抛物线上的两点,若x1=1﹣2a,x2=a+1,且y1>y2,求a的取值范围.
10.(2022•海淀区校级模拟)二次函数y=ax2﹣2atx+c(a≠0)的图象经过A(﹣4,y1),B(﹣2,y2),C(1,y3),D(3,y4)四点.
(1)求二次函数的对称轴(用含的代数式表示);
(2)已知t=﹣1,若y2y3<0,请直接判断y1y4的正负性,即y1y4 0(填“>”或“<”);
(3)若y3>y2>y4,求t的取值范围并判断y1,y2的大小关系.
11.(2021•西湖区校级二模)已知:二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点P(﹣2,5).
(1)求b的值;
(2)设P1(m,y1)、P2(m+1,y2)、P3(m+2,y3)均在该函数图象上,
①当m=4时,y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长?请说明理由;
②当m取不小于5的任意实数时,y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长,请说明理由.
12.(2021•安徽二模)二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C.
(1)求a,b的值;
(2)点P为二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象上一动点,且位于第一象限,设△ABP的面积为S1,△CBP的面积为S2,记w=S1﹣2S2+1,求w的最小值.
13.(2023•龙湾区一模)如图,已知点C为二次函数y=x2﹣4x+1的顶点,点P(0,n)为y轴正半轴上一点,过点P作y轴的垂线交函数图象于点A,B(点A在点B的左侧).点M在射线PB上,且满足PM=1+n.过点M作MN⊥AB交抛物线于点N,记点N的纵坐标为yN.
(1)求顶点C的坐标.
(2)①若n=3,求MB的值.
②当0<n≤4时,求yN的取值范围.
14.(2022•香洲区校级三模)直线yx+1与x,y轴分别交于点A,B,抛物线的解析式为y=2x2﹣4ax+2a2+a.
(1)求出点A,B的坐标,用a表示抛物线的对称轴;
(2)若函数y=2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2,求a的值;
(3)取a=﹣1,将线段AB平移得到线段A'B',若抛物线y=2x2﹣4ax+2a2+a与线段A'B'有两个交点,求直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围.
15.(2022•柘城县校级三模)在平面直角坐标系xOy中,点(2,m)和点(6,n)在抛物线y=ax2+bx(a<0)上.
(1)若m=4,n=﹣12,求抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)已知点A(1,y1),B(4,y2)在该抛物线上,且mn=0.
①比较y1,y2,0的大小,并说明理由;
②将线段AB沿水平方向平移得到线段A'B',若线段A'B'与抛物线有交点,直接写出点A'的横坐标x的取值范围.
16.(2022•博望区校级一模)已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A(﹣1,0).
(1)求a的值;
(2)若点B(m,n)与点C(m+1,n+1)都在抛物线y=x2﹣2ax﹣3上,求m+n的值;
(3)若一次函数y=(k+1)x+k+1的图象与二次函数y=ax2﹣2ax﹣3的图象的交点坐标是(x1,y1),(x2,y2)且x1<0<x2时,求函数w=y1+y2的最小值.
17.(2022•海淀区校级模拟)在平面直角坐标系中,设二次函数y=(x+a)(x﹣a﹣1)(a>0),
(1)求二次函数对称轴;
(2)若当﹣1≤x≤3时,函数的最大值为4,求此二次函数的顶点坐标.
(3)抛物线上两点M(x1,y1),N(x2,y2)若对于t<x1<t+1,t+2<x2<t+3都有y1≠y2,求t的取值范围.
18.(2022•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1)、点B(x2,y2)为抛物线y=ax2﹣2ax+a(a≠0)上的两点.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)当﹣2<x1<﹣1且1<x2<2时,试判断y1与y2的大小关系并说明理由;
(3)若当t<x1<t+1且t+2<x2<t+3时,存在y1=y2,求t的取值范围.
19.(2022•萧山区二模)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+(a﹣1)x﹣1.
(1)若该函数的图象经过点(1,2),求该二次函数图象的顶点坐标.
(2)若(x1,y1),(x2,y2)为此函数图象上两个不同点,当x1+x2=﹣2时,恒有y1=y2,试求此函数的最值.
(3)当a<0且a≠﹣1时,判断该二次函数图象的顶点所在象限,并说明理由.
20.(2022•盈江县模拟)抛物线C1:y=x2+bx+c的对称轴为x=1,且与y轴交点的纵坐标为﹣3.
(1)求b,c的值;
(2)抛物线C2:y=﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P.
①求证:抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上;
②若m=8,点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点,过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F,求EF长度的最大值.
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