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2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题15切线的有关计算与证明问题（试题+答案）
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2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题15切线的有关计算与证明问题
例1．（2023•白塔区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，∠BDC＝∠A，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CD与⊙O相切：
（2）若CE＝6，DE＝3，求AD的长．
【分析】（1）连接OD，由圆周角定理得出∠ODB+∠ADO＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ADO＝∠A，由∠BDC＝∠A，得出∠ADO＝∠BDC，进而得出∠ODC＝90°，即可证明CD是⊙O切线；
（2）先证明△AEC∽△CED，得出CEDE=AECE，把CE＝6，DE＝3，代入计算即可求出AD＝9．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠ODB+∠ADO＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠ADO＝∠BDC，
∴∠ODB+∠BDC＝90°，即∠ODC＝90°，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O切线；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠E＝∠ADB＝90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠E＝∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴CEDE=AECE，
∴EC2＝DE•AE，
∵CE＝6，DE＝3，
∴36＝3（3+AD），
∴AD＝9．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，掌握圆周角定理，切线的判定方法，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
例2．（2023•文山市一模）如图，AB＝BC，以BC为直径的⊙O，与AC交于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若GF＝3，GB＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质以及OE＝OC，可得∠A＝∠OEC，从而得到OE∥AB，进而得到OE⊥EG，即可；
（2）根据勾股定理求出BF的长，再由△BGF∽△OGE，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C．
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠OEC，
∴OE∥AB．
∵BA⊥GE，
∴OE⊥EG，
∵OE为半径，
∴EG是⊙O的切线．
（2）解：∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵GF＝3，GB＝5，
∴BF=BG2−GF2=4．
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴BFOE=BGOG，即4OE=55+OE，
∴OE＝20，
即⊙O的半径为20．
【点评】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
例3．（2023•武侯区模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，连接AC，BC，AD，CD，线段CD与AB相交于点E，过点D作∠ADF＝∠ACD，DF交CA的延长线于点F．
（1）求证：DF 是⊙O的切线；
（2）若DF∥AB，CE=4105，DE=10，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接BD，OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACD，而∠ACD＝∠ADF，则∠ADF＝∠ACD，所以∠ADF+∠ODA＝90°，则OD⊥DF，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理，由DF∥AB得到ACAF=45，设AC＝4x，AF＝5x，再证明△FAD∽△FDC，根据相似三角形的性质得到FD9x=5xFD=AD9105，先表示出FD＝35x，再计算出AD＝32，然后证明△OAD为等腰直角三角形得到OA=22AD＝3．
【解答】（1）证明：连接BD，OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ABD+∠ODA＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠ACD＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠ACD，
∴∠ADF+∠ODA＝90°，
即∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴OD为⊙O的半径，
∴DF 是⊙O的切线；
（2）解：∵DF∥AB，
∴ACAF=410510=45，
∴设AC＝4x，AF＝5x，
∵∠AFD＝∠DFC，∠FDA＝∠FCD，
∴△FAD∽△FDC，
∴FDFC=FAFD=ADCD，
即FD9x=5xFD=AD9105，
解得FD＝35x，
∴AD9105=5x35x，
解得AD＝32，
∵DF∥AB，OD⊥DF，
∴OD⊥AB，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴OA=22AD=22×32=3，
即⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
例4．（2023•文山州一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为点P，点E是线段AB上的动点．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EP是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）连接OD，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质得到OD∥AP，利用垂直的定义和平行线的性质得到OD⊥PD，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）过点C作CF⊥AB并延长交⊙O于点G，连接PG，交AB于点E，利用垂径定理和将军饮马模型可得点E为所求的点；利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理求得AC，AD，AP；连接BD，过点G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得线段AH，GH，PH，再利用勾股定理解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC．
∵DP⊥AC，
∴OD⊥DP，
∵OD为⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：在点E运动过程中，EC+EP存在最小值，这个最小值213．理由：
过点C作CF⊥AB并延长交⊙O于点G，连接PG，交AB于点E，如图，
∵AB为⊙O的直径，CG⊥AB，
∴CF＝FG，
即点C与点G关于AB轴对称，EC＝EG，
∴EC+EP＝EP+EG＝PG，此时CE+EP的值最小．
∵点C与点G关于AB轴对称，
∴AC＝AG．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝8，
∴AC＝4，BC＝43．
连接BD，过点G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB•cos30°＝43．
∴AP＝AD•cos30°＝6．
∵∠GAB＝∠GAC＝60°，
∴∠GAH＝60°．
∵AG＝AC＝4，
∴AH＝2，HG＝23，
∴HP＝AH+AP＝8．
∴PG=HG2+PH2=219．
∴EC+EP的最小值为219．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
1．（2023•南明区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．
（1）求证：BC∥EF；
（2）求证：EF是⊙O的切线；
（3）若BF＝10，OB＝15，求证：AE＝2BE．
【分析】（1）由圆周角定理及已知条件进行等量代换，然后利用内错角相等两直线平行证明即可；
（2）利用角平分线及圆周角定理得出E是BC的中点，再利用垂径定理及平行线的性质推导得出∠OEF为直角，即可证明；
（3）先证明△EBF∽△AEF，然后利用勾股定理计算得出AE，BE的长，再利用平行线所截线段成比例求出AD．
【解答】证明：（1）∵∠BEF＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE，
∴∠BEF＝∠CBE，
∴BC∥EF；
（2）如图：
连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴CE=BE，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（3）如图，∵OB＝15，BF＝10，则OE＝OB＝15，OF＝15+10＝25，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴EF2＝OF2﹣OE2＝252﹣152＝400，
解得：EF＝20，
∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴BEAE=BFEF=1020=12，
∴AE＝2BE，
【点评】本题主要考查平行的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形，掌握切线的证明，相似三角形的判定及计算是解决本题的关键．
2．（2023•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD为菱形，⊙O经过A、C两点，且与AD相切于点A，BC与⊙O相交于点E．
（1）证明：CD与⊙O相切；
（2）若菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，求CE的长．
【分析】（1）连接OC，OD，利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质得到∠OAD＝∠OCD，利用切线的性质定理得到∠OAD＝90°，则OC⊥CD，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）连接OC，OE，连接DO并延长，利用菱形的性质得到B，O，D在一条直线上，利用切线的性质定理和菱形的性质得到AF⊥BC，利用垂径定理得到EF＝FC=12EC；利用相似三角形的判定与性质得到AFCF=42=2，设CF＝x，则AF＝2x，BF＝BC﹣CF＝4﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OC，OD，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD．
在△AOD和△COD中，
AD=CDOD=ODOA=OC，
∴△AOD≌△COD（SSS），
∴∠OAD＝∠OCD．
∵⊙O与AD相切于点A，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切；
（2）解：连接OC，OE，连接DO并延长，如图，
由（1）知：△AOD≌△COD，
∴∠ADO＝∠CDO，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA＝BC，BD平分∠ADC，
∴DO的延长线经过点B，即B，O，D在一条直线上，
在△AOB和△COB中，
OA=OCOB=OBBA=BC，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠BAO＝∠BCO．
设AO的延长线交BC于点F，
∵OA⊥AD，BC∥AD，
∴AF⊥BC，
∴EF＝FC=12EC．
∵∠AFB＝∠OFC＝90°，
∴△ABF∽△COF，
∴ABOC=AFCF，
∵菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，
∴AFCF=42=2．
∴AF＝2CF．
设CF＝x，则AF＝2x，BF＝BC﹣CF＝4﹣x．
∵AF2+BF2＝AB2，
∴（4﹣x）2+（2x）2＝42，
解得：x＝0（不合题意，舍去）或x=85，
∴CF=85．
∴EC＝2CF=165．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，垂径定理，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
3．（2023•庐阳区校级一模）如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．
（1）求证：∠CEB＝∠ABD+∠CDB；
（2）如图2，连接OE、AD，若OE∥AD，且AB＝10，BD＝8，求BC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BAC＝∠CDB，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；
（2）由OE∥AD和点O为AB的中点，可得OE是△ADB的中位线，求得DE=BE=12BD，根据圆周角定理得∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，由勾股定理求得AD，AE，设BC＝x，EC＝y，在Rt△ABC和Rt△BCE中，根据勾股定理建立关于x、y的方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC，∠CDB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CDB，
∵∠CEB＝∠ABD+∠BAC，
∴∠CEB＝∠ABD+∠CDB；
（2）解：∵OE∥AD，点O为AB的中点，
∴OE为△ADB的中位线，
∴DE=BE=12BD=4，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，
∴AD=AB2−BD2=102−82=6，
∴AE=AD2+DE2=62+42=213，
设BC＝x，EC＝y，
在Rt△ABC和Rt△BCE中，
有AB2=AC2+BC2BE2=BC2+CE2，
即102=(213+y)+x242=x2+y2，
整理得：x2+y2+413y−48=0x2+y2=16，
∴16+413y−48=0，
解得：y=813，
∴y2=6413，
∴x2+6413=16，
解得：x=121313或x=−121313（舍去），
∴BC的长为121313．
【点评】本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，中位线的判定与性质，熟练掌握知识点，运用方程思想建立直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键．
4．（2023•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．
【分析】（1）连接OD，证明∠ADE+∠ODB＝90°，∠A+∠DBO＝∠A+∠ODB＝90°即可解决问题；
（2）连接CD，根据切线长定理可得DE＝EC，则AC＝10，根据圆周角定理可得∠BDC＝90°，由勾股定理可求出CD长为6，设BD＝x，则AB＝8+x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（8+x）2﹣102，则x2+62＝（8+x）2﹣102，解方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE+∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠DBO＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠DBO，
∴∠A+∠DBO＝∠A+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）解：如图，连接CD，
由（1）知，AE＝DE，
∵BC为⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线，∠BDC＝90°，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE＝EC，
∴AE＝EC，
∵DE＝5，
∴AC＝AE+EC＝10，
∵∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AD＝8，AC＝10，
∴CD=AC2−AD2=102−82=6，
设BD＝x，则AB＝AD+BD＝8+x，
在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2，即BC2＝x2+62，
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2，即BC2＝（8+x）2﹣102，
∴x2+62＝（8+x）2﹣102，
解得：x=92，
∴BC=x2+62=(92)2+62=152．
【点评】本题主要考查切线的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，通过勾股定理建立方程并求解．
5．（2023•韩城市一模）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的直径，垂足为O，E为BC上一点，连接AE交CD于点M，过点E作⊙O的切线，分别交DC、AB的延长线于F、G．
（1）求证：EF＝MF；
（2）若⊙O的半径为6，FE＝8，求AM的长．
【分析】（1）连接OE，由直角三角形的性质得出∠A+∠AMO＝90°，根据∠OEA+∠FEM＝90°，进而可得出结论；
（2）根据勾股定理可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵CD⊥AB，∠COA＝90°，∠A+∠AMO＝90°，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠OEF＝90°，即∠OEA+∠FEM＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA，
∴∠AMO＝∠FEM，
又∵∠AMO＝∠FME，
∴∠FEM＝∠FME，
∴FE＝FM；
（2）解：由（1）知∠OEF＝90°，
∵OE＝6，FE＝8，
∴OF=OE2+EF2=10，
由（1）知FE＝FM，
∴FM＝FE＝8，
∴OM＝OF﹣FM＝2，
∴在Rt△AOM中，AM=OA2+OM2=210，
即AM的长为 210．
【点评】本题考查的是切线的判定和性质，涉及到相似三角形的判定与性质、圆的有关性质，勾股定理等知识，构建相似三角形是解题的关键．
6．（2023•武昌区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF＝BF．
（1）求证：DF为半圆O的切线；
（2）若AC＝6，BC＝4，CF＝1，求半圆O的半径长．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODA＝∠A，由DF＝BF，得∠FDB＝∠B，则∠ODA+∠FDB＝∠A+∠B＝90°，所以∠ODF＝180°﹣（∠ODA+∠FDB）＝90°，即可证明DF是半圆O的切线；
（2）连接OF，设半圆O的半径长为r，由AC＝6，BC＝4，CF＝1，得DF＝BF＝BC﹣CF＝3，OC＝AC﹣OA＝6﹣r，根据据勾股定理得r2+32＝（6﹣r）2+12＝OF2，则r=73．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODA＝∠A，
∵DF＝BF，
∴∠FDB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA+∠FDB＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ODF＝180°﹣（∠ODA+∠FDB）＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，
∴DF是半圆O的切线．
（2）解：连接OF，设半圆O的半径长为r，
∵AC＝6，BC＝4，CF＝1，
∴DF＝BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3，OC＝AC﹣OA＝6﹣r，
∵∠ODF＝∠C＝90°，
∴OD2+DF2＝OC2+CF2＝OF2，
∴r2+32＝（6﹣r）2+12，解得r=73，
∴半圆O的半径长是73．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
7．（2023•靖江市模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点D，AE⊥BO交BO延长线于点E．
（1）求证：∠EOA＝∠EAB．
（2）若OE=5，AE=25，求OC的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到AB⊥OD，推出BO为∠ABC的角平分线，得到∠ABE＝∠OBC，由三角形内角和定理，对顶角的性质即可证明；
（2）由勾股定理求出AO的长，由△AEO∽△BEA求出BE的长，得到OB的长，由△BOC∽△AOE，即可求出OC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵⊙O与AB相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥OC，
∵OC＝OD，
∴BO为∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠OBC，
∵AE⊥BO，
∴∠E＝90°，
∴∠C＝∠E，
∴∠BOC＝∠BAE，
∵∠AOE＝∠BOC，
∴∠AOE＝∠BAE．
（2）解：∵OE=5，AE＝25，∠E＝90°，
∴OA=OE2+AE2=5，
∵∠AOE＝∠BAE，∠AEO＝∠AEB，
∴△AEO∽△BEA，
∴AE：BE＝OE：AE，
∴25：BE=5：25，
∴BE＝45，
∴OB＝BE﹣OE＝35，
∵∠C＝∠E，∠BOC＝∠AOE，
∴△BOC∽△AOE，
∴BO：AO＝OC：OE，
∴35：5＝OC：5，
∴OC＝3．
【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
8．（2023•河北区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，∠ABC＝30°．
（Ⅰ）如图①，若点E是弧BD的中点，求∠BAE的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点F，若DG∥CF交A于点G，AB＝8，求AF的长．
【分析】（Ⅰ）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理即可得到结论；
（Ⅱ）连接OD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝45°，推出四边形AGDF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF＝DG，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵点E是弧BD的中点，
∴BD=2BE，
∴∠BAE=12∠DCB=12×45°=22.5°，
故∠BAE的大小为22.5°；
（Ⅱ）连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠AOD＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥AB，
∵FD是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF∥AB，
∵DG∥CF
∴四边形AGDF是平行四边形，
∴AF＝DG，
∵∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AF∥DG，
∴∠DGA＝∠CAB＝60°，
∵AB＝8，
∴OD＝4，
∴DG=833，
∴AF＝DG=833，
故AF的长为833．
【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（2023•武汉模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，BC与AD相交于点F．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠ACB＝60°，AB＝33，BD＝23，求ACAF的值．
【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，再用三角形的外角的性质判断出∠DBE＝∠BED，即可得出结论；
（2）先判断出△BDE是等边三角形，得出DE＝BD＝23，进而得出DH=3，再根据勾股定理得出BH＝3，AH＝32，进而求出AD＝AH+DH＝32+3，再判断出△DBF∽△DAB，求出BF，最后判断出△ACF∽△BDF，即可求出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接BE，
∵点E是⊙O的内心，
∴AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∵点E是⊙O的内心，
∴BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBD+∠CBE＝∠CAD+∠ABE＝∠BAD+∠ABE＝∠BED，
∴DE＝DB；
（2）由（1）知，DE＝DB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝23，
如图，过点B作BH⊥AD于H，
则DH=12DE=3，
在Rt△BHD中，根据勾股定理得，BH=BD2−DH2=(23)2−(3)2=3，
在Rt△AHB中，根据勾股定理得，AH=AB2−BH2=(33)2−32=32，
∴AD＝AH+DH＝32+3，
∵∠ADB＝∠BDF，∠DBF＝∠DAB，
∴△DBF∽△DAB，
∴BDAD=BFAB，
∴BF=AB⋅BDAD=33×2332+3=1832+3，
∵∠ACF＝∠BDF，∠CAF＝∠DBF，
∴△ACF∽△BDF，
∴ACBD=AFBF，
∴ACAF=BDBF=2332+3=26−25．
【点评】此题主要考查了三角形的内心，相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形求出AD是解本题的关键．
10．（2023•市南区一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为BC的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上．
（1）EB是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若DB=12AC，则∠DBC的度数为 30 °．
【分析】（1）由圆周角定理得到∠C+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠EBA+∠OBA＝90°，即可证明问题；
（2）连接OD，得到△OBD是等边三角形，得到∠BOD＝60°，由D为BC的中点，得到∠COD＝∠BOD＝60°，由圆周角定理即可求出∠DBC的度数．
【解答】解：（1）EB是⊙O的切线，理由如下，
连接OB，
∵AC是圆的直径，
∴∠CBA＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠C+∠OBA＝90°，
∵∠EBA＝∠C，
∴∠EBA+∠OBA＝90°，
∴半径OB⊥BE，
∴EB是⊙O的切线；
（2）连接OD，
∵BD=12AC，
∴BD＝OD＝OB，
∴△OBD等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵D为BC的中点，
∴∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠DBC=12∠COD＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，关键是掌握切线的判定方法，圆周角定理．
11．（2023•范县一模）如图，⊙O的直径为AB，AP为⊙O的切线，F是AP上一点，过点F的直线与⊙O交于C，D两点，与AB交于点E，AC＝CE．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若 AC=52，AD＝4，求BE的长．
【分析】（1）先利用AC＝AE得到∠AEC＝∠EAC，再根据切线的性质得到∠BAP＝90°，然后根据等角的余角相等得到∠CAF＝∠CFA，从而得到AC＝FC；
（2）连接BC、BD，如图，先根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，再证明∠ADC＝∠CFA得到AF＝AD＝4，则利用勾股定理可计算出AE＝3，接着证明△FCA∽△FAD，利用相似比可计算出FD=325，所以DE=75，然后证明△BDE∽△CAE，从而利用相似比可计算出BE的长．
【解答】（1）证明：∵AC＝AE，
∴∠AEC＝∠EAC，
∵AP为⊙O的切线，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP＝90°，
∵∠AEC+∠CFA＝90°，∠EAC+∠CAF＝90°，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴AC＝FC；
（2）解：连接BC、BD，如图，
∵AB为直角，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠BAC+∠CAF＝90°，
∴∠ABC＝∠CAF，
∵∠CAF＝∠CFA，∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠CFA，
∴AF＝AD＝4，
∵AC=52，
∴CE＝CF=52，EF＝5，
在Rt△AEF中，AE=EF2−AF2=52−42=3，
∵∠AFC＝∠DFA，∠FAC＝∠FDA，
∴△FCA∽△FAD，
∴FC：FA＝FA：FD，即52：4＝4：FD，
解得FD=325，
∴DE＝FD﹣CF﹣CE=325−52−52=75，
∵∠BED＝∠AEC，∠BDE＝∠EAC，
∴△BDE∽△CAE，
∴BE：CE＝DE：AE，
即BE：52=75：3，
解得BE=76．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质．
12．（2023•城关区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB上，且以AD为直径的⊙O经过点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）当AD＝3BD，且BE＝4时，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，由OA＝OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AC与OE平行，利用两直线平行同位角相等得到∠OEB＝∠C，都为直角，可得出BC垂直于OE，即可得到BC与圆O相切；
（2）由于AD＝3BD，设BD＝2x，用x表示AD，AO、OD、OE、OB，在Rt△OBE中，根据勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，由此建立方程模型即可求解．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠OEA＝∠CAE，
∴OE∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE为半径，
∴BC是⊙O切线；
（2）解：∵AD＝3BD，
设BD＝2x，
则AD＝6x，
∴AO＝OD＝OE＝3x，
∴OB＝5x，
在Rt△OBE中，根据勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，
∴（3x）2+42＝（5x）2，
∴x＝1，
∴OE＝3x＝3，
∴⊙O半径为3．
【点评】此题考查了切线的判定，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
13．（2023•莱芜区一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE是⊙O的切线，DE⊥AC于E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠C＝30°，求AE的长．
【分析】（1）连接AD、OD，利用切线性质可得DE⊥OD，结合DE⊥AC，可得AC∥OD，再运用平行线性质和等腰三角形的判定和性质即可证得结论；
（2）连接AD，由AB是⊙O的直径，可得AB＝8，∠ADB＝∠ADC＝90°，利用等腰三角形性质可得∠B＝∠C＝30°，推出AD=12AB＝4，再根据直角三角形性质得出AE=12AD＝2．
【解答】（1）证明：如图，连接AD、OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴AC∥OD，
∴∠C＝∠ODB，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠C＝∠D，
∴AB＝AC；
（2）解：如图，连接AD，
∵⊙O的半径为4，AB是⊙O的直径，
∴AB＝8，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠C＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AD=12AB＝4，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠C+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，
∴AE=12AD＝2．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质是解决问题的关键．
14．（2023•包河区一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD于点M，连接OD．
（1）若∠ODB＝54°，求∠BAC的度数；
（2）AC，DB的延长线相交于点F，CE是⊙O的切线，交BF于点E，若CE⊥DF，求证：AC＝CD．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠OBD＝54°，求得∠DOB＝180°﹣∠OBD﹣∠ODB＝72°，根据垂径定理得到BC=BD，于是得到结论；
（2）连接OC，BC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据平行线的性质得到∠ACO＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，求得AB＝BF，根据等腰三角形的性质得到AC＝CF，等量代换得到结论．
【解答】（1）解：∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD＝54°，
∴∠DOB＝180°﹣∠OBD﹣∠ODB＝72°，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴∠BAC=12∠BOD＝36°，
故∠BAC的度数为36°；
（2）证明：连接OC，BC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥DF，
∴OC∥DF，
∴∠ACO＝∠F，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A＝∠F，
∴AB＝BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AF，
∴AC＝CF，
∵∠A＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠F，
∴CD＝CF，
∴AC＝CD．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．（2023•盐城一模）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，过点E作⊙O的切线，切点为点C，连接AC、BC，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：∠BCE＝∠DAC；
（2）若BE＝2，CE＝4，求⊙O的半径及AD的长．
【分析】（1）如图，连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用等角的余角相等得到∠BCE＝∠OCA，接着证明OC∥AD，然后根据平行线的性质和等量代换得到结论；
（2）设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r+2，利用勾股定理得到r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，所以OE＝5，AE＝8，OC＝3．再证明△OCE∽△ADE，然后利用相似比可计算出AD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
即∠OCB+∠BCE＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠BCE＝∠OCA，
∵OC⊥ED，AD⊥ED，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴∠BCE＝∠CAD；
（2）解：设⊙O半径为r，
则OC＝r，OE＝r+2，
在Rt△OEC中，
∵OC2+EC2＝OE2，
∴r2+42＝（r+2）2，
解得：r＝3，
∴OE＝5，AE＝8，OC＝3．
∵OC∥AD，
∴△OCE∽△ADE，
∴OCAD=OEAE，
即3AD=58，
解得：AD=245．
【点评】本题考查了切线的性质，掌握垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（2023•商河县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E，且边AC与⊙O切于点E，连接BE．
（1）求证：BE平分∠CBA；
（2）若AE＝2AF＝4，求BC的长．
【分析】（1）连接OE，利用等腰三角形性质可得∠OBE＝∠OEB，根据切线性质可得∠AEO＝90°，推出∠C＝∠AEO，再利用平行线判定定理可得OE∥BC，由平行线性质可得∠OEB＝∠CBE，推出∠OBE＝∠CBE，即可证得结论；
（2）设⊙O的半径为R，则OE＝OF＝R，由勾股定理得出（R+2）2＝42+R2，即可求出OE＝OF＝3，证明△OEA∽△BCA，得出比例线段OEBC=OAAB，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠AEO，
∴OE∥BC，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴BE平分∠CBA；
（2）解：∵AE＝2AF＝4，
∴AF＝2，
设⊙O的半径为R，则OE＝OF＝R，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，
即（R+2）2＝42+R2，
解得：R＝3，
∴BF＝6，
∴OA＝OF+AF＝5，
∵∠C＝∠OEA＝90°，
∴OE∥BC，
∴△OEA∽△BCA，
∴OEBC=OAAB，
∴3BC=58，
∴BC=245．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，运用切线性质及相似三角形的判定和性质是解此题的关键．
17．（2023•武侯区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为CB上一点，且CF=CA，连接BF并延长交射线DC于点E．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若DC=53EC，DA＝2，求⊙O的半径和EF的长．
【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质解答即可；
（2）设DC＝5a，则EC＝3a，DE＝8a，设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r，利用相似三角形的判定与性质列出比例式求得圆的半径和线段BE的长；连接AF，利用相似三角形的判定与性质证得△BAF∽△BDE，列出比例式求得BF，则EF＝BE﹣BF．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CF=CA，
∴∠ABC＝∠EBC．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠EBC，
∴OC∥BE．
∵ED为O的切线，
∴OC⊥DE，
∴DE⊥BE；
（2）解：∵DC=53EC，
∴设DC＝5a，则EC＝3a，
∴DE＝8a．
设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r．
∵OC∥BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴DCDE=DODB，
∴5a8a=2+r2+2r，
∴r＝3．
∴⊙O的半径为3；
∴AB＝6，DB＝8．
∵△DCO∽△DEB．
∴OCBE=DODB=58，
∴BE=245．
连接AF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥BE．
∵DE⊥BE，
∴AF∥DE，
∴△BAF∽△BDE，
∴BABD=BFBE，
∴BF245=68，
∴BF=185，
∴EF＝BE﹣BF=65．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和线段AF是解决此类问题常添加的辅助线．
18．（2023•甘井子区模拟）如图1，AB为⊙O直径，BC为弦，过点C作⊙O的切线，点D为切线上一点，点E为半径OB上一点，连接DE交BC于点F，且DC＝DF．
（1）求证：∠AED＝90°；
（2）如图2，延长DC交BA的延长线于点G，若E为OB的中点，DG＝10，DE＝6，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠DCF＝∠DFC，求得∠DCF＝∠BFE，于是得到结论；
（2）连接OC，根据切线的性质得到∠OCG＝90°，由（1）知，∠DEG＝90°，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB+∠DCB＝90°，
∵DC＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵∠DFC＝∠BFE，
∴∠DCF＝∠BFE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BFE+∠B＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴∠AED＝180°﹣∠BEF＝90°；
（2）解：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCG＝90°，
由（1）知，∠DEG＝90°，
∴∠OCG＝∠DEG，
∵∠G＝∠G，
∴△OCG∽△DEG，
∴OCDE=OGDG，
∵DG＝10，DE＝6，
∴EG=DG2−DE2=8，
设⊙O的半径为r，
∴OC＝OB＝r，
∵E为OB的中点，
∴OE=12r，
∴r6=8−12r10，
解得r=4813，
故⊙O的半径为4813．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．（2023•红桥区一模）在⊙O中，AB为直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，连接BC．
（Ⅰ）如图①，若∠P＝40°，求∠PBC的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作PC的垂线，垂足为D，交⊙O于点E，连接CE，若AB＝4，CE∥PB，求DE的长．
【分析】（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP＝90°，进而求出∠POC，然后利用三角形外角定理和等腰三角形的性质即可求得答案；
（Ⅱ）根据切线的性质得到OC⊥PC，推出四边形BECO是菱形，得到CE＝BE＝OB＝2，过O作OH⊥BE于H，根据垂径定理得到EH=12BE＝1，于是得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵⊙O与PC相切于点C，
∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠POC＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠PBC，
∴∠POC＝∠OCB+∠PBC＝2∠PBC＝50°，
∴∠PBC＝25°；
（Ⅱ）∵直径AB＝4，
∴OB＝2，
∵⊙O与PC相切于点C，
∴OC⊥PC，
∵BD⊥PD，
∴OC∥BD，即OC∥BE，
∵CE∥PB，即CE∥OB，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵OB＝OC，
∴四边形BECO是菱形，
∴CE＝BE＝OB＝2，
过O作OH⊥BE于H，
则四边形OHDC是矩形，EH=12BE＝1，
∴DH＝OC＝2，
∴DE＝DH﹣EH＝1．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（2023•宜兴市一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝9，EF＝12，求⊙O的半径和AD的长．
【分析】（1）连接OE，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，平行线的性质可得OE⊥EF，根据切线的判定定理可得结论；
（2）如图，设⊙O的半径为x，则OE＝OB＝x，根据勾股定理列方程可得x的值，证明△EBF∽△AEF，列比例式BEAE=BFEF=912=34，根据勾股定理列方程，依据BC∥EF，列比例式可得结论．
【解答】（1）直线EF是⊙O的切线．理由如下：
连接OE，OC，
∵AE平分∠CAE，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴CE=BE，
∴∠COE＝∠BOE，
∵OC＝OB，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OEF中，由勾股定理得：
OE2+EF2＝OF2，
∵OE＝OB，
∴OE2+EF2＝（OE+BF）2，
即：OE2+122＝（OE+9）2，
解得：OE=312，
∴⊙O的半径为312；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠OEF＝90°，
∴∠BEF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴BEAE=BFEF=912=34，
∴AE=43BE，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即BE2+(43BE)2=72，
解得：BE＝4.2，
∴AE＝5.6，
∵BC∥EF，
∴ABAF=ADAE，即716=AD5.6，
∴AD=4920．
∴⊙O的半径为312，AD的长为4920．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，圆周角定理以及三角形的外接圆与外心，掌握切线的判定定理是解（1）题的关键，证明△EBF∽△AEF，确定AE和BE的关系是解（2）题的关键．
2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题15切线的有关计算与证明问题
例1．（2023•白塔区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，∠BDC＝∠A，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CD与⊙O相切：
（2）若CE＝6，DE＝3，求AD的长．
【分析】（1）连接OD，由圆周角定理得出∠ODB+∠ADO＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ADO＝∠A，由∠BDC＝∠A，得出∠ADO＝∠BDC，进而得出∠ODC＝90°，即可证明CD是⊙O切线；
（2）先证明△AEC∽△CED，得出CEDE=AECE，把CE＝6，DE＝3，代入计算即可求出AD＝9．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠ODB+∠ADO＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠ADO＝∠BDC，
∴∠ODB+∠BDC＝90°，即∠ODC＝90°，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O切线；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠E＝∠ADB＝90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠E＝∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴CEDE=AECE，
∴EC2＝DE•AE，
∵CE＝6，DE＝3，
∴36＝3（3+AD），
∴AD＝9．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，掌握圆周角定理，切线的判定方法，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
例2．（2023•文山市一模）如图，AB＝BC，以BC为直径的⊙O，与AC交于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若GF＝3，GB＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质以及OE＝OC，可得∠A＝∠OEC，从而得到OE∥AB，进而得到OE⊥EG，即可；
（2）根据勾股定理求出BF的长，再由△BGF∽△OGE，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C．
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠OEC，
∴OE∥AB．
∵BA⊥GE，
∴OE⊥EG，
∵OE为半径，
∴EG是⊙O的切线．
（2）解：∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵GF＝3，GB＝5，
∴BF=BG2−GF2=4．
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴BFOE=BGOG，即4OE=55+OE，
∴OE＝20，
即⊙O的半径为20．
【点评】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
例3．（2023•武侯区模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，连接AC，BC，AD，CD，线段CD与AB相交于点E，过点D作∠ADF＝∠ACD，DF交CA的延长线于点F．
（1）求证：DF 是⊙O的切线；
（2）若DF∥AB，CE=4105，DE=10，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接BD，OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACD，而∠ACD＝∠ADF，则∠ADF＝∠ACD，所以∠ADF+∠ODA＝90°，则OD⊥DF，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理，由DF∥AB得到ACAF=45，设AC＝4x，AF＝5x，再证明△FAD∽△FDC，根据相似三角形的性质得到FD9x=5xFD=AD9105，先表示出FD＝35x，再计算出AD＝32，然后证明△OAD为等腰直角三角形得到OA=22AD＝3．
【解答】（1）证明：连接BD，OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ABD+∠ODA＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠ACD＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠ACD，
∴∠ADF+∠ODA＝90°，
即∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴OD为⊙O的半径，
∴DF 是⊙O的切线；
（2）解：∵DF∥AB，
∴ACAF=410510=45，
∴设AC＝4x，AF＝5x，
∵∠AFD＝∠DFC，∠FDA＝∠FCD，
∴△FAD∽△FDC，
∴FDFC=FAFD=ADCD，
即FD9x=5xFD=AD9105，
解得FD＝35x，
∴AD9105=5x35x，
解得AD＝32，
∵DF∥AB，OD⊥DF，
∴OD⊥AB，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴OA=22AD=22×32=3，
即⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
例4．（2023•文山州一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为点P，点E是线段AB上的动点．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EP是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）连接OD，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质得到OD∥AP，利用垂直的定义和平行线的性质得到OD⊥PD，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）过点C作CF⊥AB并延长交⊙O于点G，连接PG，交AB于点E，利用垂径定理和将军饮马模型可得点E为所求的点；利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理求得AC，AD，AP；连接BD，过点G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得线段AH，GH，PH，再利用勾股定理解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC．
∵DP⊥AC，
∴OD⊥DP，
∵OD为⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：在点E运动过程中，EC+EP存在最小值，这个最小值213．理由：
过点C作CF⊥AB并延长交⊙O于点G，连接PG，交AB于点E，如图，
∵AB为⊙O的直径，CG⊥AB，
∴CF＝FG，
即点C与点G关于AB轴对称，EC＝EG，
∴EC+EP＝EP+EG＝PG，此时CE+EP的值最小．
∵点C与点G关于AB轴对称，
∴AC＝AG．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝8，
∴AC＝4，BC＝43．
连接BD，过点G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB•cos30°＝43．
∴AP＝AD•cos30°＝6．
∵∠GAB＝∠GAC＝60°，
∴∠GAH＝60°．
∵AG＝AC＝4，
∴AH＝2，HG＝23，
∴HP＝AH+AP＝8．
∴PG=HG2+PH2=219．
∴EC+EP的最小值为219．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
1．（2023•南明区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．
（1）求证：BC∥EF；
（2）求证：EF是⊙O的切线；
（3）若BF＝10，OB＝15，求证：AE＝2BE．
【分析】（1）由圆周角定理及已知条件进行等量代换，然后利用内错角相等两直线平行证明即可；
（2）利用角平分线及圆周角定理得出E是BC的中点，再利用垂径定理及平行线的性质推导得出∠OEF为直角，即可证明；
（3）先证明△EBF∽△AEF，然后利用勾股定理计算得出AE，BE的长，再利用平行线所截线段成比例求出AD．
【解答】证明：（1）∵∠BEF＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE，
∴∠BEF＝∠CBE，
∴BC∥EF；
（2）如图：
连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴CE=BE，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（3）如图，∵OB＝15，BF＝10，则OE＝OB＝15，OF＝15+10＝25，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴EF2＝OF2﹣OE2＝252﹣152＝400，
解得：EF＝20，
∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴BEAE=BFEF=1020=12，
∴AE＝2BE，
【点评】本题主要考查平行的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形，掌握切线的证明，相似三角形的判定及计算是解决本题的关键．
2．（2023•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD为菱形，⊙O经过A、C两点，且与AD相切于点A，BC与⊙O相交于点E．
（1）证明：CD与⊙O相切；
（2）若菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，求CE的长．
【分析】（1）连接OC，OD，利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质得到∠OAD＝∠OCD，利用切线的性质定理得到∠OAD＝90°，则OC⊥CD，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）连接OC，OE，连接DO并延长，利用菱形的性质得到B，O，D在一条直线上，利用切线的性质定理和菱形的性质得到AF⊥BC，利用垂径定理得到EF＝FC=12EC；利用相似三角形的判定与性质得到AFCF=42=2，设CF＝x，则AF＝2x，BF＝BC﹣CF＝4﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OC，OD，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD．
在△AOD和△COD中，
AD=CDOD=ODOA=OC，
∴△AOD≌△COD（SSS），
∴∠OAD＝∠OCD．
∵⊙O与AD相切于点A，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切；
（2）解：连接OC，OE，连接DO并延长，如图，
由（1）知：△AOD≌△COD，
∴∠ADO＝∠CDO，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA＝BC，BD平分∠ADC，
∴DO的延长线经过点B，即B，O，D在一条直线上，
在△AOB和△COB中，
OA=OCOB=OBBA=BC，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠BAO＝∠BCO．
设AO的延长线交BC于点F，
∵OA⊥AD，BC∥AD，
∴AF⊥BC，
∴EF＝FC=12EC．
∵∠AFB＝∠OFC＝90°，
∴△ABF∽△COF，
∴ABOC=AFCF，
∵菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，
∴AFCF=42=2．
∴AF＝2CF．
设CF＝x，则AF＝2x，BF＝BC﹣CF＝4﹣x．
∵AF2+BF2＝AB2，
∴（4﹣x）2+（2x）2＝42，
解得：x＝0（不合题意，舍去）或x=85，
∴CF=85．
∴EC＝2CF=165．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，垂径定理，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
3．（2023•庐阳区校级一模）如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．
（1）求证：∠CEB＝∠ABD+∠CDB；
（2）如图2，连接OE、AD，若OE∥AD，且AB＝10，BD＝8，求BC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BAC＝∠CDB，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；
（2）由OE∥AD和点O为AB的中点，可得OE是△ADB的中位线，求得DE=BE=12BD，根据圆周角定理得∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，由勾股定理求得AD，AE，设BC＝x，EC＝y，在Rt△ABC和Rt△BCE中，根据勾股定理建立关于x、y的方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC，∠CDB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CDB，
∵∠CEB＝∠ABD+∠BAC，
∴∠CEB＝∠ABD+∠CDB；
（2）解：∵OE∥AD，点O为AB的中点，
∴OE为△ADB的中位线，
∴DE=BE=12BD=4，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，
∴AD=AB2−BD2=102−82=6，
∴AE=AD2+DE2=62+42=213，
设BC＝x，EC＝y，
在Rt△ABC和Rt△BCE中，
有AB2=AC2+BC2BE2=BC2+CE2，
即102=(213+y)+x242=x2+y2，
整理得：x2+y2+413y−48=0x2+y2=16，
∴16+413y−48=0，
解得：y=813，
∴y2=6413，
∴x2+6413=16，
解得：x=121313或x=−121313（舍去），
∴BC的长为121313．
【点评】本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，中位线的判定与性质，熟练掌握知识点，运用方程思想建立直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键．
4．（2023•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．
【分析】（1）连接OD，证明∠ADE+∠ODB＝90°，∠A+∠DBO＝∠A+∠ODB＝90°即可解决问题；
（2）连接CD，根据切线长定理可得DE＝EC，则AC＝10，根据圆周角定理可得∠BDC＝90°，由勾股定理可求出CD长为6，设BD＝x，则AB＝8+x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（8+x）2﹣102，则x2+62＝（8+x）2﹣102，解方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE+∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠DBO＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠DBO，
∴∠A+∠DBO＝∠A+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）解：如图，连接CD，
由（1）知，AE＝DE，
∵BC为⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线，∠BDC＝90°，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE＝EC，
∴AE＝EC，
∵DE＝5，
∴AC＝AE+EC＝10，
∵∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AD＝8，AC＝10，
∴CD=AC2−AD2=102−82=6，
设BD＝x，则AB＝AD+BD＝8+x，
在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2，即BC2＝x2+62，
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2，即BC2＝（8+x）2﹣102，
∴x2+62＝（8+x）2﹣102，
解得：x=92，
∴BC=x2+62=(92)2+62=152．
【点评】本题主要考查切线的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，通过勾股定理建立方程并求解．
5．（2023•韩城市一模）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的直径，垂足为O，E为BC上一点，连接AE交CD于点M，过点E作⊙O的切线，分别交DC、AB的延长线于F、G．
（1）求证：EF＝MF；
（2）若⊙O的半径为6，FE＝8，求AM的长．
【分析】（1）连接OE，由直角三角形的性质得出∠A+∠AMO＝90°，根据∠OEA+∠FEM＝90°，进而可得出结论；
（2）根据勾股定理可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵CD⊥AB，∠COA＝90°，∠A+∠AMO＝90°，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠OEF＝90°，即∠OEA+∠FEM＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA，
∴∠AMO＝∠FEM，
又∵∠AMO＝∠FME，
∴∠FEM＝∠FME，
∴FE＝FM；
（2）解：由（1）知∠OEF＝90°，
∵OE＝6，FE＝8，
∴OF=OE2+EF2=10，
由（1）知FE＝FM，
∴FM＝FE＝8，
∴OM＝OF﹣FM＝2，
∴在Rt△AOM中，AM=OA2+OM2=210，
即AM的长为 210．
【点评】本题考查的是切线的判定和性质，涉及到相似三角形的判定与性质、圆的有关性质，勾股定理等知识，构建相似三角形是解题的关键．
6．（2023•武昌区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF＝BF．
（1）求证：DF为半圆O的切线；
（2）若AC＝6，BC＝4，CF＝1，求半圆O的半径长．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODA＝∠A，由DF＝BF，得∠FDB＝∠B，则∠ODA+∠FDB＝∠A+∠B＝90°，所以∠ODF＝180°﹣（∠ODA+∠FDB）＝90°，即可证明DF是半圆O的切线；
（2）连接OF，设半圆O的半径长为r，由AC＝6，BC＝4，CF＝1，得DF＝BF＝BC﹣CF＝3，OC＝AC﹣OA＝6﹣r，根据据勾股定理得r2+32＝（6﹣r）2+12＝OF2，则r=73．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODA＝∠A，
∵DF＝BF，
∴∠FDB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA+∠FDB＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ODF＝180°﹣（∠ODA+∠FDB）＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，
∴DF是半圆O的切线．
（2）解：连接OF，设半圆O的半径长为r，
∵AC＝6，BC＝4，CF＝1，
∴DF＝BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3，OC＝AC﹣OA＝6﹣r，
∵∠ODF＝∠C＝90°，
∴OD2+DF2＝OC2+CF2＝OF2，
∴r2+32＝（6﹣r）2+12，解得r=73，
∴半圆O的半径长是73．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
7．（2023•靖江市模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点D，AE⊥BO交BO延长线于点E．
（1）求证：∠EOA＝∠EAB．
（2）若OE=5，AE=25，求OC的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到AB⊥OD，推出BO为∠ABC的角平分线，得到∠ABE＝∠OBC，由三角形内角和定理，对顶角的性质即可证明；
（2）由勾股定理求出AO的长，由△AEO∽△BEA求出BE的长，得到OB的长，由△BOC∽△AOE，即可求出OC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵⊙O与AB相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥OC，
∵OC＝OD，
∴BO为∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠OBC，
∵AE⊥BO，
∴∠E＝90°，
∴∠C＝∠E，
∴∠BOC＝∠BAE，
∵∠AOE＝∠BOC，
∴∠AOE＝∠BAE．
（2）解：∵OE=5，AE＝25，∠E＝90°，
∴OA=OE2+AE2=5，
∵∠AOE＝∠BAE，∠AEO＝∠AEB，
∴△AEO∽△BEA，
∴AE：BE＝OE：AE，
∴25：BE=5：25，
∴BE＝45，
∴OB＝BE﹣OE＝35，
∵∠C＝∠E，∠BOC＝∠AOE，
∴△BOC∽△AOE，
∴BO：AO＝OC：OE，
∴35：5＝OC：5，
∴OC＝3．
【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
8．（2023•河北区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，∠ABC＝30°．
（Ⅰ）如图①，若点E是弧BD的中点，求∠BAE的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点F，若DG∥CF交A于点G，AB＝8，求AF的长．
【分析】（Ⅰ）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理即可得到结论；
（Ⅱ）连接OD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝45°，推出四边形AGDF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF＝DG，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵点E是弧BD的中点，
∴BD=2BE，
∴∠BAE=12∠DCB=12×45°=22.5°，
故∠BAE的大小为22.5°；
（Ⅱ）连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠AOD＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥AB，
∵FD是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF∥AB，
∵DG∥CF
∴四边形AGDF是平行四边形，
∴AF＝DG，
∵∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AF∥DG，
∴∠DGA＝∠CAB＝60°，
∵AB＝8，
∴OD＝4，
∴DG=833，
∴AF＝DG=833，
故AF的长为833．
【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（2023•武汉模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，BC与AD相交于点F．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠ACB＝60°，AB＝33，BD＝23，求ACAF的值．
【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，再用三角形的外角的性质判断出∠DBE＝∠BED，即可得出结论；
（2）先判断出△BDE是等边三角形，得出DE＝BD＝23，进而得出DH=3，再根据勾股定理得出BH＝3，AH＝32，进而求出AD＝AH+DH＝32+3，再判断出△DBF∽△DAB，求出BF，最后判断出△ACF∽△BDF，即可求出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接BE，
∵点E是⊙O的内心，
∴AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∵点E是⊙O的内心，
∴BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBD+∠CBE＝∠CAD+∠ABE＝∠BAD+∠ABE＝∠BED，
∴DE＝DB；
（2）由（1）知，DE＝DB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝23，
如图，过点B作BH⊥AD于H，
则DH=12DE=3，
在Rt△BHD中，根据勾股定理得，BH=BD2−DH2=(23)2−(3)2=3，
在Rt△AHB中，根据勾股定理得，AH=AB2−BH2=(33)2−32=32，
∴AD＝AH+DH＝32+3，
∵∠ADB＝∠BDF，∠DBF＝∠DAB，
∴△DBF∽△DAB，
∴BDAD=BFAB，
∴BF=AB⋅BDAD=33×2332+3=1832+3，
∵∠ACF＝∠BDF，∠CAF＝∠DBF，
∴△ACF∽△BDF，
∴ACBD=AFBF，
∴ACAF=BDBF=2332+3=26−25．
【点评】此题主要考查了三角形的内心，相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形求出AD是解本题的关键．
10．（2023•市南区一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为BC的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上．
（1）EB是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若DB=12AC，则∠DBC的度数为 30 °．
【分析】（1）由圆周角定理得到∠C+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠EBA+∠OBA＝90°，即可证明问题；
（2）连接OD，得到△OBD是等边三角形，得到∠BOD＝60°，由D为BC的中点，得到∠COD＝∠BOD＝60°，由圆周角定理即可求出∠DBC的度数．
【解答】解：（1）EB是⊙O的切线，理由如下，
连接OB，
∵AC是圆的直径，
∴∠CBA＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠C+∠OBA＝90°，
∵∠EBA＝∠C，
∴∠EBA+∠OBA＝90°，
∴半径OB⊥BE，
∴EB是⊙O的切线；
（2）连接OD，
∵BD=12AC，
∴BD＝OD＝OB，
∴△OBD等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵D为BC的中点，
∴∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠DBC=12∠COD＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，关键是掌握切线的判定方法，圆周角定理．
11．（2023•范县一模）如图，⊙O的直径为AB，AP为⊙O的切线，F是AP上一点，过点F的直线与⊙O交于C，D两点，与AB交于点E，AC＝CE．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若 AC=52，AD＝4，求BE的长．
【分析】（1）先利用AC＝AE得到∠AEC＝∠EAC，再根据切线的性质得到∠BAP＝90°，然后根据等角的余角相等得到∠CAF＝∠CFA，从而得到AC＝FC；
（2）连接BC、BD，如图，先根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，再证明∠ADC＝∠CFA得到AF＝AD＝4，则利用勾股定理可计算出AE＝3，接着证明△FCA∽△FAD，利用相似比可计算出FD=325，所以DE=75，然后证明△BDE∽△CAE，从而利用相似比可计算出BE的长．
【解答】（1）证明：∵AC＝AE，
∴∠AEC＝∠EAC，
∵AP为⊙O的切线，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP＝90°，
∵∠AEC+∠CFA＝90°，∠EAC+∠CAF＝90°，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴AC＝FC；
（2）解：连接BC、BD，如图，
∵AB为直角，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠BAC+∠CAF＝90°，
∴∠ABC＝∠CAF，
∵∠CAF＝∠CFA，∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠CFA，
∴AF＝AD＝4，
∵AC=52，
∴CE＝CF=52，EF＝5，
在Rt△AEF中，AE=EF2−AF2=52−42=3，
∵∠AFC＝∠DFA，∠FAC＝∠FDA，
∴△FCA∽△FAD，
∴FC：FA＝FA：FD，即52：4＝4：FD，
解得FD=325，
∴DE＝FD﹣CF﹣CE=325−52−52=75，
∵∠BED＝∠AEC，∠BDE＝∠EAC，
∴△BDE∽△CAE，
∴BE：CE＝DE：AE，
即BE：52=75：3，
解得BE=76．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质．
12．（2023•城关区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB上，且以AD为直径的⊙O经过点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）当AD＝3BD，且BE＝4时，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，由OA＝OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AC与OE平行，利用两直线平行同位角相等得到∠OEB＝∠C，都为直角，可得出BC垂直于OE，即可得到BC与圆O相切；
（2）由于AD＝3BD，设BD＝2x，用x表示AD，AO、OD、OE、OB，在Rt△OBE中，根据勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，由此建立方程模型即可求解．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠OEA＝∠CAE，
∴OE∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE为半径，
∴BC是⊙O切线；
（2）解：∵AD＝3BD，
设BD＝2x，
则AD＝6x，
∴AO＝OD＝OE＝3x，
∴OB＝5x，
在Rt△OBE中，根据勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，
∴（3x）2+42＝（5x）2，
∴x＝1，
∴OE＝3x＝3，
∴⊙O半径为3．
【点评】此题考查了切线的判定，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
13．（2023•莱芜区一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE是⊙O的切线，DE⊥AC于E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠C＝30°，求AE的长．
【分析】（1）连接AD、OD，利用切线性质可得DE⊥OD，结合DE⊥AC，可得AC∥OD，再运用平行线性质和等腰三角形的判定和性质即可证得结论；
（2）连接AD，由AB是⊙O的直径，可得AB＝8，∠ADB＝∠ADC＝90°，利用等腰三角形性质可得∠B＝∠C＝30°，推出AD=12AB＝4，再根据直角三角形性质得出AE=12AD＝2．
【解答】（1）证明：如图，连接AD、OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴AC∥OD，
∴∠C＝∠ODB，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠C＝∠D，
∴AB＝AC；
（2）解：如图，连接AD，
∵⊙O的半径为4，AB是⊙O的直径，
∴AB＝8，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠C＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AD=12AB＝4，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠C+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，
∴AE=12AD＝2．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质是解决问题的关键．
14．（2023•包河区一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD于点M，连接OD．
（1）若∠ODB＝54°，求∠BAC的度数；
（2）AC，DB的延长线相交于点F，CE是⊙O的切线，交BF于点E，若CE⊥DF，求证：AC＝CD．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠OBD＝54°，求得∠DOB＝180°﹣∠OBD﹣∠ODB＝72°，根据垂径定理得到BC=BD，于是得到结论；
（2）连接OC，BC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据平行线的性质得到∠ACO＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，求得AB＝BF，根据等腰三角形的性质得到AC＝CF，等量代换得到结论．
【解答】（1）解：∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD＝54°，
∴∠DOB＝180°﹣∠OBD﹣∠ODB＝72°，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴∠BAC=12∠BOD＝36°，
故∠BAC的度数为36°；
（2）证明：连接OC，BC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥DF，
∴OC∥DF，
∴∠ACO＝∠F，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A＝∠F，
∴AB＝BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AF，
∴AC＝CF，
∵∠A＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠F，
∴CD＝CF，
∴AC＝CD．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．（2023•盐城一模）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，过点E作⊙O的切线，切点为点C，连接AC、BC，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：∠BCE＝∠DAC；
（2）若BE＝2，CE＝4，求⊙O的半径及AD的长．
【分析】（1）如图，连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用等角的余角相等得到∠BCE＝∠OCA，接着证明OC∥AD，然后根据平行线的性质和等量代换得到结论；
（2）设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r+2，利用勾股定理得到r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，所以OE＝5，AE＝8，OC＝3．再证明△OCE∽△ADE，然后利用相似比可计算出AD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
即∠OCB+∠BCE＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠BCE＝∠OCA，
∵OC⊥ED，AD⊥ED，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴∠BCE＝∠CAD；
（2）解：设⊙O半径为r，
则OC＝r，OE＝r+2，
在Rt△OEC中，
∵OC2+EC2＝OE2，
∴r2+42＝（r+2）2，
解得：r＝3，
∴OE＝5，AE＝8，OC＝3．
∵OC∥AD，
∴△OCE∽△ADE，
∴OCAD=OEAE，
即3AD=58，
解得：AD=245．
【点评】本题考查了切线的性质，掌握垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（2023•商河县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E，且边AC与⊙O切于点E，连接BE．
（1）求证：BE平分∠CBA；
（2）若AE＝2AF＝4，求BC的长．
【分析】（1）连接OE，利用等腰三角形性质可得∠OBE＝∠OEB，根据切线性质可得∠AEO＝90°，推出∠C＝∠AEO，再利用平行线判定定理可得OE∥BC，由平行线性质可得∠OEB＝∠CBE，推出∠OBE＝∠CBE，即可证得结论；
（2）设⊙O的半径为R，则OE＝OF＝R，由勾股定理得出（R+2）2＝42+R2，即可求出OE＝OF＝3，证明△OEA∽△BCA，得出比例线段OEBC=OAAB，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠AEO，
∴OE∥BC，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴BE平分∠CBA；
（2）解：∵AE＝2AF＝4，
∴AF＝2，
设⊙O的半径为R，则OE＝OF＝R，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，
即（R+2）2＝42+R2，
解得：R＝3，
∴BF＝6，
∴OA＝OF+AF＝5，
∵∠C＝∠OEA＝90°，
∴OE∥BC，
∴△OEA∽△BCA，
∴OEBC=OAAB，
∴3BC=58，
∴BC=245．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，运用切线性质及相似三角形的判定和性质是解此题的关键．
17．（2023•武侯区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为CB上一点，且CF=CA，连接BF并延长交射线DC于点E．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若DC=53EC，DA＝2，求⊙O的半径和EF的长．
【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质解答即可；
（2）设DC＝5a，则EC＝3a，DE＝8a，设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r，利用相似三角形的判定与性质列出比例式求得圆的半径和线段BE的长；连接AF，利用相似三角形的判定与性质证得△BAF∽△BDE，列出比例式求得BF，则EF＝BE﹣BF．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CF=CA，
∴∠ABC＝∠EBC．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠EBC，
∴OC∥BE．
∵ED为O的切线，
∴OC⊥DE，
∴DE⊥BE；
（2）解：∵DC=53EC，
∴设DC＝5a，则EC＝3a，
∴DE＝8a．
设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r．
∵OC∥BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴DCDE=DODB，
∴5a8a=2+r2+2r，
∴r＝3．
∴⊙O的半径为3；
∴AB＝6，DB＝8．
∵△DCO∽△DEB．
∴OCBE=DODB=58，
∴BE=245．
连接AF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥BE．
∵DE⊥BE，
∴AF∥DE，
∴△BAF∽△BDE，
∴BABD=BFBE，
∴BF245=68，
∴BF=185，
∴EF＝BE﹣BF=65．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和线段AF是解决此类问题常添加的辅助线．
18．（2023•甘井子区模拟）如图1，AB为⊙O直径，BC为弦，过点C作⊙O的切线，点D为切线上一点，点E为半径OB上一点，连接DE交BC于点F，且DC＝DF．
（1）求证：∠AED＝90°；
（2）如图2，延长DC交BA的延长线于点G，若E为OB的中点，DG＝10，DE＝6，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠DCF＝∠DFC，求得∠DCF＝∠BFE，于是得到结论；
（2）连接OC，根据切线的性质得到∠OCG＝90°，由（1）知，∠DEG＝90°，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB+∠DCB＝90°，
∵DC＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵∠DFC＝∠BFE，
∴∠DCF＝∠BFE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BFE+∠B＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴∠AED＝180°﹣∠BEF＝90°；
（2）解：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCG＝90°，
由（1）知，∠DEG＝90°，
∴∠OCG＝∠DEG，
∵∠G＝∠G，
∴△OCG∽△DEG，
∴OCDE=OGDG，
∵DG＝10，DE＝6，
∴EG=DG2−DE2=8，
设⊙O的半径为r，
∴OC＝OB＝r，
∵E为OB的中点，
∴OE=12r，
∴r6=8−12r10，
解得r=4813，
故⊙O的半径为4813．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．（2023•红桥区一模）在⊙O中，AB为直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，连接BC．
（Ⅰ）如图①，若∠P＝40°，求∠PBC的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作PC的垂线，垂足为D，交⊙O于点E，连接CE，若AB＝4，CE∥PB，求DE的长．
【分析】（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP＝90°，进而求出∠POC，然后利用三角形外角定理和等腰三角形的性质即可求得答案；
（Ⅱ）根据切线的性质得到OC⊥PC，推出四边形BECO是菱形，得到CE＝BE＝OB＝2，过O作OH⊥BE于H，根据垂径定理得到EH=12BE＝1，于是得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵⊙O与PC相切于点C，
∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠POC＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠PBC，
∴∠POC＝∠OCB+∠PBC＝2∠PBC＝50°，
∴∠PBC＝25°；
（Ⅱ）∵直径AB＝4，
∴OB＝2，
∵⊙O与PC相切于点C，
∴OC⊥PC，
∵BD⊥PD，
∴OC∥BD，即OC∥BE，
∵CE∥PB，即CE∥OB，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵OB＝OC，
∴四边形BECO是菱形，
∴CE＝BE＝OB＝2，
过O作OH⊥BE于H，
则四边形OHDC是矩形，EH=12BE＝1，
∴DH＝OC＝2，
∴DE＝DH﹣EH＝1．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（2023•宜兴市一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝9，EF＝12，求⊙O的半径和AD的长．
【分析】（1）连接OE，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，平行线的性质可得OE⊥EF，根据切线的判定定理可得结论；
（2）如图，设⊙O的半径为x，则OE＝OB＝x，根据勾股定理列方程可得x的值，证明△EBF∽△AEF，列比例式BEAE=BFEF=912=34，根据勾股定理列方程，依据BC∥EF，列比例式可得结论．
【解答】（1）直线EF是⊙O的切线．理由如下：
连接OE，OC，
∵AE平分∠CAE，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴CE=BE，
∴∠COE＝∠BOE，
∵OC＝OB，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OEF中，由勾股定理得：
OE2+EF2＝OF2，
∵OE＝OB，
∴OE2+EF2＝（OE+BF）2，
即：OE2+122＝（OE+9）2，
解得：OE=312，
∴⊙O的半径为312；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠OEF＝90°，
∴∠BEF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴BEAE=BFEF=912=34，
∴AE=43BE，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即BE2+(43BE)2=72，
解得：BE＝4.2，
∴AE＝5.6，
∵BC∥EF，
∴ABAF=ADAE，即716=AD5.6，
∴AD=4920．
∴⊙O的半径为312，AD的长为4920．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，圆周角定理以及三角形的外接圆与外心，掌握切线的判定定理是解（1）题的关键，证明△EBF∽△AEF，确定AE和BE的关系是解（2）题的关键．
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