2023年湖南省长沙市中雅培萃学校中考二模数学试题（含解析）

2023年湖南省长沙市中雅培萃学校中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是（    ）

A． B． C． D．

2．“五一”长假期间，“网红长沙”火爆出圈，长沙市共接待国内外游客3 179 000人次，将用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．下列图标中是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

5．把点向左平移3个单位后得到点，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

6．下列说法正确的是（    ）

A．“明天降雨的概率为”，意味着明天一定有半天都在降雨

B．了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式

C．调查名学生的视力情况，名学生是总体

D．一组数据的方差越小，则这组数据的波动也越小

7．不等式组的解集在数轴上可表示为（    ）

A．   B．  

C．   D．  

8．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

9．习近平总书记近日对深化东西部协作和定点帮扶工作作出重要指示，指出全党要弘扬脱贫攻坚精神，乘势而上，继续奋斗，加快推进农业农村现代化，全面推进乡村振兴．某农村加工厂准备加工500个零件，在加工了100个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用6天完成了任务．若设该厂原来每天加工个零件，则由题意可列出方程（    ）

A． B． C． D．

10．小丽在张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得到的和都是，，，中的一个数，并且这个数都能取到．根据以上信息，下列判断错误的是(    )

A．最小的数一定是 B．最大的数可能是

C．四个数中一定有 D．四个数中一定有两个相等的数

二、填空题

11．分解因式：=______．

12．若是一元二次方程的一个根，则m的值是________．

13．如图，在中，，为斜边的中点，若，则________．

14．长沙市某中学为积极响应“书香长沙，全民阅读”活动，助力学生良好阅读习惯的养成，形成浓厚的阅读氛围，随机调查了51名学生平均每天的阅读时间，统计结果如表所示，则在本次调查中，学生阅读时间的中位数是______．

15．若扇形的半径为2，圆心角为，则扇形的面积为________．

16．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交于点D，E，若，则的度数是_________．

三、解答题

17．计算：．

18．先化简，再求值：，其中．

19．人教版初中数学八年级上册第64页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法：

①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；

②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．

请你根据提供的材料完成下面的问题．

(1)填空：① ，② ；

(2)求的度数．

20．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．本届亚运会赛事项目共有4个大类，分别是竞技性比赛、球类比赛、对抗性比赛、水上比赛．某体育爱好小组的同学想要了解该校学生最喜爱的赛事项目（只能选择一项），他们随机抽取了200名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．

请根据以上信息，回答下列问题：

(1)扇形统计图中，水上比赛所在扇形的圆心角度数为 ，球类比赛所占百分比为 ；

(2)补全条形统计图；

(3)甲、乙两名志愿者都将通过抽取卡片的方式决定所去服务的比赛项目，竞技性比赛、球类比赛、对抗性比赛、水上比赛分别用字母A，B，C，D表示．现把分别印有A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．志愿者甲从中随机抽取一张，记下字母后放回，志愿者乙再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求志愿者甲、乙抽到相同卡片的概率．

21．如图，在中，，为边的中点，过点作，，垂足分别为，．

(1)求证：；

(2)若，，求的周长．

22．“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．

（1）求柏树和杉树的单价各是多少元？

（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的3倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？

23．在矩形中，连接，延长至，使，过点作交延长线于点．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)连接，若，，求线段的长．

24．若关于的函数，当（，为常数，）时，函数的最大值与最小值之差恰为，我们称函数是在上的“和谐函数”．

(1)在下列关于的函数中，是在上的“和谐函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是在上的“和谐函数”的打“×”．

①（ ）；②（ ）；③（ ）；

(2)若一次函数（为常数，）是在上的“和谐函数”，求的值；

(3)若二次函数（，为常数，）是在上的“和谐函数”，与一次函数交于，两点，且满足，求这个“和谐函数”的解析式，并写出的取值范围．

25．如图，四边形是的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，．

(1)求证：；

(2)设，求的值（用含的式子表示）；

(3)若，求的长度．

参考答案：

1．B

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．

【详解】解：的相反数是，

故选：B．

【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．

2．C

【分析】将写成（，n为整数）的形式即可．

【详解】解：．

故选C．

【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．

3．C

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

4．A

【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方和合并同类项的法则分别进行计算即可．

【详解】解：∵，故A正确；

∵，故B错误；

∵，故C错误；

∵，故D错误．

故选：A．

【点睛】本题考查整式的加减乘除运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则、幂的乘方和合并同类项的法则是解题的关键．

5．C

【分析】根据：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题．

【详解】解：将点向左平移3个单位长度，可得到，

故选：C．

【点睛】本题考查坐标平移，记住坐标平移的规律是解决问题的关键．

6．D

【分析】根据概率的意义、全面调查与抽样调查、方差分别对每一项进行分析，即可得出答案．

【详解】解：A、明天降雨的概率是50%，表示明天有可能降雨，不能说明明天一定有半天都在降雨，故本选项错误；

B、了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用抽样调查方式，故本选项错误；

C、调查名学生的视力情况，名学生的视力情况是总体，故本选项错误；

D、一组数据的方差越小，则这组数据的波动也越小，故本选项正确；

故选：D．

【点睛】此题主要考查了概率的意义、全面调查与抽样调查、方差，正确理解概念是解决本题的关键．

7．A

【分析】分别求出两个不等式的解集，再求交集即可．

【详解】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

因此该不等式组的解集为，

在数轴上表示为：

故选A．

【点睛】本题考查解一元一次不等式组、用数轴表示不等式组的解集，解题的关键是注意用数轴表示解集时实心点和空心点的区别．

8．B

【分析】根据圆内接四边形对角互补即可求解．

【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．

9．D

【分析】根据共用6天完成任务，等量关系为：用老机器加工100个零件用的时间+用新机器加工400个零件用的时间，即可列出方程．

【详解】解：设该厂原来每天加工x个零件，

根据题意得：．

故选：D．

【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

10．B

【分析】分别列出两数相加为，，，的所有可能性求解．

【详解】解：相加得3的两个整数可能为：，

相加得的两个整数可能为：，或，

相加得的两个整数可能为：，或，．

相加得的两个整数可能为：，或，或，．

每次所得两个整数和最小是，

最小两个数字为，，

每次所得两个整数和最大是，

最大数字为，

∴四个正整数分别为，，，．

最小的数一定是，四个正整数中一定有．四个数中一定有两个相等的数，故A,C,D正确，B错误

故选：B．

【点睛】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．

11．x（x+2）（x﹣2）

【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．

【详解】解：

=

=x（x+2）（x﹣2）．

故答案为：x（x+2）（x﹣2）．

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键．

12．

【分析】把代入方程求解即可．

【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．

13．/

【分析】直接根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解即可；

【详解】∵，为斜边的中点，，

∴ ，

故答案为：．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，正确掌握知识点是解题的关键；

14．1

【分析】根据中位数及表格可直接进行求解．

【详解】由题意可得：样本总数为51名学生，

∴，

∴中位数应在从小到大排列的第26名，

∴由表格可得中位数为1；

故答案为1．

【点睛】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的求法是解题的关键．

15．

【分析】根据扇形面积计算公式计算即可．

【详解】解：．

故答案为：

【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，掌握扇形面积计算公式是解题的关键．

16．/84度

【分析】由作图可知，为线段的垂直平分线，则，，由，得，根据，计算求解即可．

【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和．解题的关键在于确定角度之间的数量关系．

17．

【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可．

【详解】原式

【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．

18．；5

【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．

【详解】原式

当时，原式

【点睛】本题考查分式的加减运算以及乘除运算法则，掌握基本运算法则是解题的关键．

19．(1)1；

(2)

【分析】（1）根据折叠判断线段关系即可计算比值；

（2）由（1）可知，可得到，即可得到，然后在根据折叠计算即可．

【详解】（1）由折叠可知：，

∴，；

（2）在中，，

∴，

∴，

由折叠可得：．

【点睛】本题主要考查折叠的性质，根据折叠得到对应的边角关系是解题的关键．

20．(1)；

(2)见解析

(3)见解析；

【分析】（1）先求出水上比赛人数，再利用它的占比乘以即可求出水上比赛所在扇形的圆心角度数，将即可求出球类比赛所占百分比．

（2）求出球类比赛女生人数即可补全图形．

（3）通过列表求出一共有16种等可能的情况，其中志愿者甲、乙抽到相同卡片的情况有4种，再利用概率公式即可求解．

【详解】（1）；；

水上比赛人数为（人），

水上比赛所在扇形的圆心角度数为；

球类比赛所占百分比为．

（2）球类比赛女生人数为：（人）

补全条形统计图如下图所示：

（3）列表如下：

由表格可知，一共有16种等可能的情况，其中志愿者甲、乙抽到相同卡片的情况有4种，

所以，

答：甲乙抽到相同卡片的概率是．

【点睛】本题考查了条形图与扇形图、利用列表或画树状图并根据概率公式求概率，解题关键是读懂题目包含的信息，牢记概率计算公式．

21．(1)见解析

(2)12

【分析】（1）由，为边的中点，可得，，，证明；

（2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可．

【详解】（1）证明：∵，为边的中点，

∴，，

又∵，

∴；

（2）解：∵，，

∴是等边三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴的周长为，

∴的周长为12．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

22．（1）柏树每棵200元，杉树每棵150元；（2）柏树需购买60棵，杉树需购买20棵．

【分析】（1）设柏树每棵x元，杉树每棵y元，根据“购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元”即可列出关于x与y的方程组，解方程组即得结果；

（2）设柏树需购买m棵，则杉树需购买（80－m）棵，根据柏树的棵数不少于杉树的3倍可得关于m的不等式，解不等式即可求出m的范围，然后用含m的代数式表示出购树总费用，再利用一次函数的性质解答即可．

【详解】解：（1）设柏树每棵x元，杉树每棵y元，根据题意得：

，解得：，

答：柏树每棵200元，杉树每棵150元．

（2）设柏树需购买m棵，则杉树需购买（80－m）棵，此次购树费用为w元，根据题意得：

m≥3（80－m），解得：m≥60，

则w=200m+150（80－m）=50m+12000，

∵50＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m=60时，w最小，此时80－60=20；

答：要使此次购树费用最少，柏树需购买60棵，杉树需购买20棵．

【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，属于常考题型，正确理解题意、找准相等与不等关系是解题的关键．

23．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据矩形性质先判定四边形是平行四边形，然后有即可证明菱形；

（2）先根据矩形性质得到和的长度，然后用勾股定理算出即为，然后算出的长度，在利用勾股定理计算即可．

【详解】（1）证明：由矩形可得：，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴平行四边形是菱形；

（2）解：在矩形中，，，，

在中，，

由（1）得：，

∴，

在中，．

【点睛】本题主要考查矩形的性质和菱形的判定，掌握相关图形的基本性质，并能结合勾股定理计算线段长度是解题的关键．

24．(1)√；×；√

(2)

(3)

【分析】（1）根据给出的“和谐函数”的新定义逐一进行计算判断即可；

（2）在和两种情况下，根据函数性质在最大值和最小值情况下，根据新定义计算求解即可；

（3）首先求出对称轴，根据函数的增减性，表示出最大值和最小值，根据有两个交点，用判别式和根与系数的关系求出最后结果即可．

【详解】（1）解：①，在上为减函数，

最大值为当时，，最小值为当时，，

，

，是在上的“和谐函数”；

②，在上为增函数，

最大值为当时，，最小值为当时，，

，

，不是在上的“和谐函数”；

③，对称轴为，在上为减函数，

最大值为当时，，最小值为当时，，

，

，是在上的“和谐函数”，

故答案为：√；×；√；

（2）①若，随增大而增大，

当时，，

当时，

，

解得：，

②若，随增大而减小，

，

解得：，

综上所述，；

（3）对称轴为：，

，，

当时，随增大而增大，

当时，，

当时，，

，

，

，

，

，

联立，

得：，    

，

，，

，

，

，

，

解得：，（舍），

．

【点睛】本题是函数的综合题，理解函数的新定义，涉及反比例函数、二次函数、一次函数的性质，二次函数与系数的关系，能够将函数性质和新定义相结合，利用分类讨论的思想是解答本题的关键．

25．(1)见解析

(2)

(3)

【分析】（1）由矩形性质可得,然后证明即可得出结论；

（2）由（1）得，求出长，表示出，求出比值即可；

（3）由题可证得：，，可得，，过点作于点，在中，运用勾股定理求出的长度．

【详解】（1）在圆内接矩形中，

为直径

为切线

（2）由（1）得：

（3）

设交于点，连接，

∵，，

∴，

，

，

，，

过点作于点，

在中，

，

作于G，∵，

∴，

又∵，

∴，

在直角三角形中，，

解得：或（舍）

【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形判定与性质，圆切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，熟练运用相似三角形性质列出方程是解题的关键．