2023年湖北省咸宁市中考四模数学试题（含解析）

这是一份2023年湖北省咸宁市中考四模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省咸宁市中考四模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列选项中，属于随机事件的是（    ）
A．在一个只有白球的袋中，摸出红球 B．a是实数，则
C．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 D．两个负数相加和是负数
3．某种冠状病毒的直径是120纳米，1纳米=厘米，则这种冠状病毒的直径是（    ）厘米．
A． B． C． D．
4．如图，正三棱柱的主视图为（ ）．

A． B． C． D．
5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
6．如图，⊙的半径为4，弦，则圆心到弦的距离为（    ）

A．1 B． C． D．2
7．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，则旋转角的度数为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③时，随的增大而减小；④对于任意实数，总有，其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
9．计算：_______．
10．平面直角坐标系中，一点关于原点的对称点的坐标是______．
11．这组数据1，，0，2，1的方差为_______．
12．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____．
13．如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若B，则的周长为_______．
  
14．如图是放置在水平地面上的落地式话筒架，其支撑杆垂直于地面，活动杆固定在支挄杆上的点处，若，则活动杆端点离地面的高度的长为________（结果根据四舍五入法精确到，参考数据：，，）．
  
15．人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
16．如图，在四边形中，，点是四边形内一点，是的中点，连，若，则的最小值为________．
  

三、解答题
17．先化简，再求值：，其中．
18．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A、B两种树苗对某路段进路进行绿化改造．已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元：若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
19．某校为了解高一年级住校生在校期间的月生活支出情况，从高一年级600名住校学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的生活支出情况进行调查统计，并绘制成如下统计图表：
组别
月生活支出x（单位：元）
频数（人数）
频率
第一组
x＜300
4
0.10
第二组
300≤x＜350
2
0.05
第三组
350≤x＜400
16
n
第四组
400≤x＜450
m
0.30
第五组
450≤x＜500
4
0.10
第六组
x≥500
2
0.05
请根据图表中所给的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中共随机抽取了　 　名学生，图表中的m＝　 　，n　 　；
（2）请估计该校高一年级600名住校学生今年4月份生活支出低于350元的学生人数；
（3）现有一些爱心人士有意愿资助该校家庭困难的学生，学校在本次调查的基础上，经过进一步核实，确认高一（2）班有A，B，C三名学生家庭困难，其中A，B为女生，C为男生．李阿姨申请资助他们中的两名，于是学校让李阿姨从A，B，C三名学生中依次随机抽取两名学生进行资助，请用列表法（或树状图法）求恰好抽到A，B两名女生的概率．
20．如图，是的外接图，点D在延长线上，连接，满足．
  
(1)求证：与相切；
(2)若，的半径为，求的长．
21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点作轴，垂足为，求的面积．
(3)根据所给条件，请直接写出不等式的解集．
22．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，青春科技生态有限公司种植和销售一种有机绿色草皮．已知该草皮的成本是15元/，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两倍．经市场调查发现，某天该草皮的销售量与销售价格x（元/）的函数关系如图所示．

(1)求y与x间的函数解析式；
(2)求这一天销售草皮获得的利润w的最大值；
(3)若该公司按每销售草皮提取1元用于捐资助学，且保证捐款后每天的销售利润不低于7200元，直接写出该草皮销售价格的范围．
23．(1)问题发现
如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；
(2)类比引申
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF；
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程．

24．综合与探究：
已知：二次函数的图象的顶点为，与轴交于，A两点，与轴交于点，如图：

(1)求二次函数的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、在一个只有白球的袋中，摸出红球，是不可能事件；
B、a是实数，则，是必然事件；
C、任意选择某一电视频道，它正播放动画片，是随机事件；
D、两个负数相加和是负数，是必然事件；
故选：C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：120纳米＝120×10−7厘米＝1.2×10−5厘米，
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．B
【详解】试题分析：主视图是从物体的前面往后看到的平面图形，正三棱柱的主视图是矩形，中间有竖着的实线，故选B．
考点：几何体的三视图．
5．D
【分析】分别把，，代入反比例函数求出，，，即可比较大小．
【详解】解：分别把，，代入反比例函数得
，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，理解题意，求出，，的值是解题关键，本题也可以利用反比例函数的性质求解．
6．D
【分析】过O作于C，连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：过O作于C，连接，

∵，过圆心O，＝，
∴，，
由勾股定理得：＝，
即圆心O到弦AB的距离为2，
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是能熟记垂直于弦的直径平分这条弦这个定理．
7．D
【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．C
【分析】①运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；②将点A的坐标代入即可解答；③根据函数图象即可解答；④运用作差法判定即可．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，
∵抛物线的顶点为，
∴，即
∵，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线经过点；
∴故②正确；
③∵抛物线的顶点为，且开口方向向下，
∴时，y随x的增大而减小，即③正确；
④∵，
∴
∴，则④正确；
综上，正确的共有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，灵活运用二次函数图象的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
9．/0.5
【分析】根据直接解答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角锐角三角函数值．熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
10．
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解：点 关于原点的对称点 的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
11．1.04
【分析】先求出该组数据的平均数，再根据方差公式求出其方差．
【详解】解：这组数据的平均数为：，
这组数据的方差为：，
故答案为：1.04．
【点睛】本题考查了方差的计算，方差，熟记方差公式是解题的关键．
12．
【详解】试题分析：，解得r=．
考点：弧长的计算．
13．
【分析】由题意得是的平分线，再由等腰三角形的性质得，，由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，求解即可．
【详解】解：由图中的尺规作图得：是的平分线，
∵，
∴是等腰三角形
∴，，
∴∠BEC=90°，
∴BC＝
∵点F为的中点，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出EF是解题的关键．
14．146
【分析】过点B作，垂足为F，根据已知可得四边形是矩形，从而可得，，进而可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
【详解】过点B作，垂足为F
  
∵，
∴
∴四边形是矩形
∴，
∴
在中，
∴（cm）
∴（cm）
∴话筒夹点D离地面的高度为146cm,
故答案为：146．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．5050
【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
…，


故答案为：5050
【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．
16．
【分析】取的中点为点，连接，取的中点为点，连接，根据直角三角形斜边上中点的性质以及三角形的中位线定理可得，由勾股定理可得，从而得到，在上取一点，使得，连接，则，从而即可得到，，，连接，当三点共线时，的值最小，连接，过点作于，连接，通过证明四边形是正方形，可得，从而即可证明，得到是等腰直角三角形，即可推出，，最后由勾股定理计算出，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，取的中点为点，连接，取的中点为点，连接，
  ，
，点为的中点，
，
为的中点，为的中点，
为的中位线，
，
在中，，，
，
为的中点，
，
在上取一点，使得，连接，
，
，
，
，，
，
连接，
当三点共线时，的值最小，
连接，过点作于，连接，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练在掌握三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
17．；
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：原式


当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．(1)A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元
(2)①购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；购进A种树苗53棵，B种树苗47棵


【分析】（1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，根据“购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元”列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，根据“购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元”列出相应的一元一次不等式组，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元；
（2）解：设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，
根据题意，得：，
解得：，
所以购买的方案有：
购进A种树苗51棵，B种树苗49棵
购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程组或不等式组．
19．（1）40、12、＝0.40；（2）90；（3）．
【分析】（1）由第一组的频数及其频率可得总人数，再根据频率＝频数÷总数可得m、n的值；
（2）用总人数乘以样本中第一、二组频率之和即可得；
（3）画树状图得出所有等可能结果，然后根据概率公式计算即可得解．
【详解】（1）本次调查的学生总人数为4÷0.1＝40人，m＝40×0.3＝12、n＝16÷40＝0.40，
故答案为40、12、＝0.40；
（2）600×（0.10+0.05）＝600×0.15＝90（人），
答：估计该校高一年级600名住校学生今年4月份生活支出低于350元的学生人数为90；
（3）画树状图如下：

由树状图知共有6种等可能结果，其中恰好抽到A，B两名女生的结果数为2，
所以恰好抽到A、B两名女生的概率 ；
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．也考查了列表法与树状图法求概率．
20．(1)见解析．
(2)

【分析】（1）连接并延长交于点E，连接，则，推导出，即可证明结论；
（2）连接并延长交于点F，连接，利用角的直角三角形特征解题计算即可求出结果．
【详解】（1）证明：连接并延长交于点E，连接，
则，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴与相切；
  
（2）证明：连接并延长交于点F，连接，
则，，，
∴，
∴
∴
  
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理，30°角的直角三角形的性质，掌握圆周角定理和作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为
(2)5
(3)或

【分析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值即可；
（2）根据，即可求解；
（3）利用图象找出所求不等式的解集即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵反比例函数过，
∴，
∴点坐标，
把A与B代入一次函数解析式得：
，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：∵点，轴，
∴，
根据题意得：；
（3）解：∵由图象得：当或时，反比例函数的图象位于一次函数的图象的下方，
∴的解集为或．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数性质是解本题的关键．
22．(1)
(2)最大值为12000元
(3)

【分析】（1）根据图象中的点，待定系数法求解析式即可；
（2）根据（1）的解析式，分，，两种情况列出的解析式，根据二次函数和一次函数的性质分别求得最大值；
（3）根据二次函数的性质解不等式求得当时的定价范围，解一元一次不等式求得当时的定价范围．
【详解】（1）解：根据函数图像可知，当时，，
当时，设
将代入得，

解得

综上所述，
（2）当时，

对称轴为
时，最大，
当时，

当时，取得最大值，最大值为12000元
综上所述，最大值为12000元
（3）①当时，

当
解得：
定价为
②当时，

解得
定价范围为
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）BD2+CE2=DE2，详见解析.
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到△ABF的位置，连接DF，证明△ADF≌△ADE，则DF=DE，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
【详解】(1)理由是：如图1，

∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F. D. G共线，
则∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°−45°=45°=∠EAF，
即∠EAF=∠FAG，
在△EAF和△GAF中，
AF=AF，∠EAF=∠GAF，AE=AG，
∴△AFG≌△AFE(SAS)，
∴EF=FG=BE+DF；
(2)∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，

∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F. D. G共线，
在△AFE和△AFG中，
AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF，
故答案为∠B+∠ADC=180°；
(3)BD2+CE2=DE2.
理由是：把△ACE旋转到△ABF的位置，连接DF，

则∠FAB=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
又∵∠FAB=∠CAE，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
则在△ADF和△ADE中，
AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE，
∴△ADF≌△ADE，
∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°，
∴∠BDF=90°，
∴△BDF是直角三角形,
∴BD2+BF2=DF2，
∴BD2+CE2=DE2.
24．(1)；
(2)；
(3)或或.

【分析】（1）利用待定系数法，设顶点式求出二次函数的表达式；
（2）根据轴对称最短路径问题得到点E的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，令代入计算得到答案；
（3）根据平行四边形的判定定理画出可能的图形，根据二次函数图象上点的坐标特征解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设函数表达式为.
∵图象过点，
∴当时，，
∴，
解得，，
∴函数表达式为，即；
（2）解方程，
得：，，
∴点的坐标为，点A的坐标为．
如图1，连接，
∵A、关于对称轴对称，点在对称轴上，
∴，
∴的周长，
当、、在同一直线上时，的周长最小．
设直线的函数解析式为.
则，解得，
∴直线的函数解析式为.
∵点的横坐标为，
所以点的坐标为；

（3）如图2，当点与点重合，点与点关于轴对称时，四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形，此时点的坐标为.
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
∴的纵坐标为：，
∴点的坐标为.
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
的纵坐标为：，
∴点的坐标为.
∴以A、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为：或或.

【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行四边形的判定、灵活运用分情况讨论思想、掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是解题的关键．