上海市2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷（含解析）

上海市2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、填空题

1．函数的定义域为______．

2．已知集合，或，则_________．

3．二项式的展开式中，含的项的系数为___．

4．已知向量，则向量的单位向量______．

5．求值：_________．

6．已知某地最近12天的平均气温（单位：℃）为12，13，17，19，12，16，15，17，15，18，14，18，则这12天平均气温的70%分位数为______℃.

7．已知角的终边经过点，则__________．

8．已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.

9．已知，且，则的最大值为___________

10．甲、乙两队比赛，每局甲胜的概率是，乙胜的概率也是.则在一次五局三胜制的比赛中，甲队以获胜的概率是___________.

11．已知为数列的前项和，，，平面内三个不共线的向量，，满足，若点，，在同一直线上，则______.

12．设为平面上一定点，为动点，则当由0变化到时，线段扫过的面积是______.

二、单选题

13．“”是“方程组有唯一解”的（    ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要

14．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（    ）

A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④

15．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

16．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（    ）

A．{a|a>4或a<－4} B．{a|－4<a<4}

C．{a|a≥4或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4}

三、解答题

17．若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.

(1)求和的调和中项；

(2)已知调和数列，，，求的通项公式.

18．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，△是边长为2的等边三角形，，．

(1)设中点，求证：平面；

(2)求平面和平面所成锐二面角的大小．

19．某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留框的通道，沿前侧内墙保留宽的空地，设矩形温室的一边长为，蔬菜种植面积为（如图所示.）

（1）建立关于的函数关系式；

（2）当矩形室温的长和宽分别为多少时，蔬菜的种植面积大，并求出最大值.

20．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元

(1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；

(2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．

21．已知函数的定义域为，值域为．若，则称为“型函数”；若，则称为“型函数”．

(1)设，，试判断是“型函数”还是“型函数”；

(2)设，，若既是“型函数”又是“型函数”，求实数的值；

(3)设，，若为“型函数”，求的取值范围．

参考答案：

1．

【分析】直接根据题意列出不等式即可.

【详解】由题意得，则定义域为，

故答案为：.

2．，或

【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.

【详解】因为集合，或，

所以，或，

故答案为：，或

3．

【分析】先写出二项式的展开式的通项，然后令的次数为求出，进而可得系数.

【详解】二项式的展开式的通项为，

令，得，

所以含的项的系数为.

故答案为：.

4．

【分析】计算出，从而可得出，即可求出向量的坐标.

【详解】，，

因此，向量的单位向量.

故答案为：.

【点睛】本题考查与非零向量同向的单位向量坐标的计算，熟悉结论“与非零向量同向的单位向量为”的应用是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

5．125

【分析】方法一，根据复数模的性质求解即可；方法二，先利用复数的乘法计算，再计算其模长.

【详解】方法一：根据复数模的性质.

方法二：，

所以.

故答案为：125.

6．17

【分析】先把数据由小到大进行排列，再求出70%分位数为第9个数据的气温，即可求解.

【详解】解：这12天的平均气温的数据按照从小到大的顺序排列为：

12，12，13，14，15，15，16，17，17，18，18，19，

，

这12天平均气温的70%分位数为第9个数据的气温，

即17℃.

故答案为：.

7．

【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的值．

【详解】设坐标原点为，

由题意可得：，

故.

故答案为：.

8．

【分析】根据圆锥侧面展开图与圆锥侧面的关系求出圆锥底面圆半径即可计算得解.

【详解】设圆锥底面圆半径为r，则该圆锥底面圆周长为，

因圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则半圆弧长为，

依题意，，解得，

显然圆锥的母线长，则圆锥侧面积，

所以圆锥的侧面积为.

故答案为：

9．

【分析】利用三角恒等变换的知识化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式以及一元二次不等式的解法求得正确答案.

【详解】因为

，

所以，

则，

所以，即，

即，即，

解得，所以的最大值为．

故答案为：

10．

【分析】分三种情况，甲胜第1、2、4场，胜第1、3、4场和胜第2、3、4场，求出相应的概率，相加后求出答案.

【详解】甲队以3:1获胜，说明只打4场比赛.

甲队获胜的可能有三种：

胜第1、2、4场；胜第1、3、4场；胜第2、3、4场.

每一种情况的概率为，

所以甲队获胜的概率就是把这三种情况的概率加起来，也就是，

故答案为：.

11．8

【分析】由题意得出an﹣1+an+1＝an，由Sn为数列{an}的前n项和，a1＝2，a2＝4，得到数列{an}是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，由此能求出S2019

【详解】因为（1﹣an）（an﹣1+an+1）（n≥2，n∈N*），A，B，C在同一直线上， 则an﹣1+an+1+1﹣an＝1，∴an﹣1+an+1＝an，

∵Sn为数列{an}的前n项和，a1＝2，a2＝4，

∴数列{an}为：2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，…

即数列{an}是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，

∵2019＝6×336+3，

∴S2019＝336×（2+4+2﹣2﹣4﹣2）+2+4+2＝8．

故答案为：8

【点睛】本题考查数列的前n项和的求法，考查周期数列、共线向量性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

12．

【分析】由题意点P在半径为1，圆心在原点的单位圆上，结合图形，利用面积差求解即可.

【详解】由可知，点P在半径为1，圆心在原点的单位圆上，

如图，，点P运动到，则，

扇形面积为,

而，

,

故线段扫过的面积为,

故答案为：.

13．C

【分析】二元一次方程组有唯一解与系数行列式不为零互为充要条件可得正确结果.

【详解】解：由于二元一次方程组有唯一解，

则系数行列式，

故“”是“方程组有唯一解”的充要条件，

故选C.

【点睛】本题考查二元一次方程组有唯一解的充要条件，一般转化为系数行列式不等于零来处理，是基础题.

14．C

【分析】根据平面展开图可得原正方体，根据各点的分布逐项判断可得正确的选项．

【详解】由平面展开图可得原正方体如图所示：

由图可得：为异面直线，与不是异面直线，故①②错误；

连接，则为等边三角形，

而，故或其补角为与所成的角，

因为，故与所成的角为，故③正确；

因为，又平面，所以，故平面

又平面，所以，则④正确；

综上，正确命题的序号为：③④．

故选：C．

15．B

【分析】利用正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断．

【详解】由，

可得或，

即或，

所以由“”推不出“”，由“”可推出“”，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

16．A

【分析】由已知可得只需不等式x2＋ax＋4<0有解，即，计算即可得解.

【详解】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，

所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.

故选:A.

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；

（2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式.

【详解】（1）设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，

所以，解得：，

故和的调和中项为；

（2）依题意，是等差数列，设其公差为，

则，

所以，

故.

18．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、勾股定理进行证明即可；

（2）证明即为面和平面所成二面角的平面角，再解三角形即可．

【详解】（1）证明：取中点为，连接，，如下所示：

则在等边三角形中，，

又因为，，面，

所以面，因为面，

所以，又，

所以，，

所以，即，

又，、面，

所以面；

（2）设平面平面，又//，平面，

平面，所以//平面，又平面，所以//，

所以////，又，所以，又，所以，

所以即为面和平面所成二面角的平面角，

由（1）知，，所以△为等腰直角三角形，

故面和平面所成锐二面角为．

19．(1) (2) 当矩形温室的长为，宽为时，蔬菜的种植面积最大，最大值为

【分析】(1)由题得，化简即得解；（2）利用基本不等式求最值和长与宽.

【详解】（1）

（2）

当且仅当即时等号成立

当矩形温室的长为，宽为时，蔬菜的种植面积最大，最大值为

【点睛】本题主要考查函数的应用和解析式的求法，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

20．(1)

(2)38万部时，最大利润为7170万元.

【分析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果；

（2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润.

【详解】（1）依题意，生产万部手机，成本是（万元），

故利润，而，

故，

整理得，；

（2）时，，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为；

时，，

其中，在上单调递减，在上单调递增，因为 ，故 时，取得最小值

故在 时，y取得最大值

 而，

故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润为7170万元.

21．(1)是“型函数”；

(2)

(3)．

【分析】(1)利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；

(2)分和结合函数的单调性分类讨论求解；

(3)分不同的取值结合“型函数”的定义即可求范围.

【详解】（1）当时，，

当且仅当时取等号，

由于，

所以函数的值域为，

因为，所以，

所以是“型函数”；

（2），定义域为，

由题意得函数的值域也为，

显然，否则值域不可能由负到正，

当时，在上单调递增，

则，得；

当时，在上单调递减，

则，得；

（3），，

由题意得函数的值域，

当时，的最小值，

当时，的最小值，

当时，的最小值，

当时，的最大值，

当时，的最大值，

故满足的不等组为（无解）或

或或（无解），

因为，由点所在的可行域，

得当时，取最大值，最大值为2，

当与相切，

即时，取最小值，最小值为1，

因此的取值范围是．